高考数学复习练习第1部分 专题六 第四讲 预测演练提能 4页

‎1．某中学经市人民政府批准建分校，工程从2011年年底开工到2014年年底完工，分三期完成．经过初步招标淘汰后，确定由甲、乙两家建筑公司承建，且每期工程由两公司之一独立承建，必须在建完前一期工程后再建后一期工程．已知甲公司获得第一期、第二期、第三期工程承包权的概率分别为，，.‎ ‎(1)求甲、乙两公司各至少获得1期工程的概率；‎ ‎(2)求甲公司获得的工程期数ξ的分布列和数学期望E(ξ)．‎ 解：(1)由题意，甲、乙两公司获得第一期、第二期、第三期工程承包权是相互对立的，所以乙公司获得第一期、第二期、第三期工程承包权的概率分别为，，.‎ 法一：记“甲、乙两公司各至少获得1期工程”为事件A，记“甲公司获得1期工程，乙公司获得2期工程”为事件B，记“甲公司获得2期工程，乙公司获得1期工程”为事件C.‎ P(B)＝××＋××＋××＝；‎ P(C)＝××＋××＋××＝.‎ 因为事件A包含事件B和事件C，且事件B，C互斥，‎ 所以P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.‎ 法二：记“甲、乙两公司各至少获得1期工程”为事件A，记其对立事件为，则表示事件“甲公司获得3期工程或乙公司获得3期工程”．‎ 则P(A)＝1－P()＝1－＝.‎ ‎(2)由题意知，ξ表示甲公司获得的工程期数，其所有可能的取值为0,1,2,3.‎ P(ξ＝0)＝××＝；‎ P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝；‎ P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝；‎ P(ξ＝3)＝××＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎2．(2013·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果互相独立．‎ ‎(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；‎ ‎(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．‎ 解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3.‎ 由题意知，各局比赛结果相互独立，‎ 故P(A1)＝3＝，‎ P(A2)＝C2×＝，‎ P(A3)＝C22×＝.‎ 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.‎ ‎(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，‎ 由题意，知各局比赛结果相互独立，‎ 所以P(A4)＝C22×＝.‎ 由题意，知随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，‎ 根据事件的互斥性得 P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，‎ 又P(X＝1)＝P(A3)＝，‎ P(X＝2)＝P(A4)＝，‎ P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．‎ 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．‎ ‎(1)求这批产品通过检验的概率；‎ ‎(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．‎ 解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)‎ ‎＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)‎ ‎＝×＋×＝.‎ ‎(2)X可能的取值为400,500,800，并且 P(X＝400)＝1－－＝，P(X＝500)＝，‎ P(X＝800)＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎400‎ ‎500‎ ‎800‎ P E(X)＝400×＋500×＋800×＝506.25.‎ ‎4．(2013·湖南高考)某人在如图所示的直角边长为‎4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过‎1米．‎ ‎(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；‎ ‎(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．‎ 解：(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有CC＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．‎ 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为＝.‎ ‎(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．‎ 因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，‎ P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，‎ 所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．‎ 记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3. ‎ 由P(X＝k)＝，得P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.‎ 故所求的分布列为 Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ P 所求的数学期望为 E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝＝46.‎