2019应届理科数学试卷答案完整 5页

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2021-06-30 发布

2019应届理科数学试卷答案完整

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‎2019‎~‎2020学年度高三年级12月份月考应届理科数学试卷命题人：李大乐审题人：‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)‎ ‎1．（）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知定义在R上的函数f(x)‎满足f(x+6)=f(x)‎,且y=f(x+3)‎为偶函数，若f(x)‎在‎(0,3)‎内单调递减，则下面结论正确的是（）‎ A．f(-4.5)0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：‎ ‎(1)xy的最小值；‎ ‎(2)x＋y的最小值．‎ ‎20．在直角梯形PBCD中，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图．‎ ‎（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．‎ ‎21．已知以为首项的数列满足：（）.‎ ‎（1）当时，且，写出、；‎ ‎（2）若数列（，）是公差为的等差数列，求的取值范围；‎ ‎22已知函数f(x)＝λln x－e-x(λ∈R)．‎ ‎(1)若函数f(x)是单调函数，求λ的取值范围；‎ ‎(2)求证：当00，y>0，‎ 则1＝＋≥2＝，得xy≥64，‎ 当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．.........................................6分 ‎(2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，‎ 因为x>0，所以y>2，‎ 则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，‎ 当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．........................................12分解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，‎ 则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立．‎ ‎.........................................12分 ‎20.（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；.........................................4分 ‎（2）（三垂线法）由考虑在AD上取一点O，使得，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可 ‎（法二：空间向量法）‎ ‎（1）同法一 ‎（2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，‎ 所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，‎ 因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B 所以BC⊥平面SAB，‎ 又SA⊂平面SAB，‎ 所以BC⊥SA，‎ 又SA⊥AB，BC∩AB=B 所以SA⊥平面ABCD，‎ ‎（2）在AD上取一点O，使，连接EO 因为，所以EO∥SA 因为SA⊥平面ABCD，‎ 所以EO⊥平面ABCD，‎ 过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，‎ 则AC⊥平面EOH，‎ 所以AC⊥EH．‎ 所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，．‎ 在Rt△AHO中，‎ ‎∴，‎ 即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分解法二：（1）同方法一 ‎（2）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）‎ ‎∴平面ACD的法向为.........................................6分设平面EAC的法向量为=（x，y，z），‎ 由，‎ 所以，可取所以=（2，﹣2，1）．.........................................9分所以所以即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分 ‎21.（1），；（2）‎ ‎【解析】(1)因为以为首项的数列满足：，，，‎ 所以，所以；由得；...........4分 ‎(2)因为数列（，）是公差为的等差数列，‎ 所以，所以，.......................6分所以，所以，‎ 所以， .........................................8分故，所以，‎ 因为， .........................................10分所以由题意只需：，故..........................................12分 ‎22.解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，‎ ‎∵f(x)＝λln x－e-x，∴f′(x)＝＋e－x＝，‎ ‎∵函数f(x)是单调函数，∴f′(x)≤0或f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，....2分 ‎①当函数f(x)是单调递减函数时，f′(x)≤0，‎ ‎∴≤0，即λ＋xe－x≤0，λ≤－xe－x＝－，‎ 令φ(x)＝－，则φ′(x)＝，‎ 当01时，φ′(x)>0，‎ 则φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴当x>0时，φ(x)min＝φ(1)＝－，∴λ≤－；.........................................4分 ‎②当函数f(x)是单调递增函数时，f′(x)≥0，‎ ‎∴≥0，即λ＋xe－x≥0，λ≥－xe－x＝－，‎ 由①得φ(x)＝－在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，x→＋∞时，φ(x)<0，∴λ≥0.‎ 综上，λ≤－或λ≥0..........................................6分 ‎(2)证明：由(1)可知，当λ＝－时，f(x)＝－ln x－e－x在(0，＋∞)上单调递减，∵0f(x2)，即－ln x1－e-x1>－ln x2－e-x2，‎ ‎∴e-x2－e-x1>ln x1－ln x2.‎ 要证e1-x2－e1-x1>1－.只需证ln x1－ln x2>1－，即证ln >1－，‎ 令t＝，t∈(0,1)，则只需证ln t>1－，.........................................10分令h(t)＝ln t＋－1，则当00，即ln t>1－，得证．...................12分

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