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  • 2021-06-30 发布

2019应届理科数学试卷答案完整

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‎2019‎~‎2020学年度高三年级12月份月考 应届理科数学试卷 命题人:李大乐 审题人:‎ 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项符合题意)‎ ‎1. ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知定义在R上的函数f(x)‎满足f(x+6)=f(x)‎,且y=f(x+3)‎为偶函数,若f(x)‎在‎(0,3)‎内单调递减,则下面结论正确的是( )‎ A.f(-4.5)0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:‎ ‎(1)xy的最小值;‎ ‎(2)x+y的最小值.‎ ‎20.在直角梯形PBCD中,A为PD的中点,如图.将△PAB沿AB折到△SAB的位置,使SB⊥BC,点E在SD上,且,如图.‎ ‎(Ⅰ)求证:SA⊥平面ABCD;‎ ‎(Ⅱ)求二面角E﹣AC﹣D的正切值.‎ ‎21.已知以为首项的数列满足:().‎ ‎(1)当时,且,写出、;‎ ‎(2)若数列(,)是公差为的等差数列,求的取值范围;‎ ‎22已知函数f(x)=λln x-e-x(λ∈R).‎ ‎(1)若函数f(x)是单调函数,求λ的取值范围;‎ ‎(2)求证:当00,y>0,‎ 则1=+≥2=,得xy≥64,‎ 当且仅当x=4y,即x=16,y=4时等号成立..........................................6分 ‎(2)解法一:由2x+8y-xy=0,得x=,‎ 因为x>0,所以y>2,‎ 则x+y=y+=(y-2)++10≥18,‎ 当且仅当y-2=,即y=6,x=12时等号成立.........................................12分 解法二:由2x+8y-xy=0,得+=1,‎ 则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18,当且仅当y=6,x=12时等号成立.‎ ‎.........................................12分 ‎20.(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(法一)(1)由题意可知,翻折后的图中SA⊥AB①,易证BC⊥SA②,由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD;.........................................4分 ‎(2)(三垂线法)由考虑在AD上取一点O,使得 ,从而可得EO∥SA,所以EO⊥平面ABCD,过O作OH⊥AC交AC于H,连接EH,∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角,在Rt△AHO中求解即可 ‎(法二:空间向量法)‎ ‎(1)同法一 ‎(2)以A为原点建立直角坐标系,易知平面ACD的法向为,求平面EAC的法向量,代入公式求解即可 解法一:(1)证明:在题平面图形中,由题意可知,BA⊥PD,ABCD为正方形,‎ 所以在翻折后的图中,SA⊥AB,SA=2,四边形ABCD是边长为2的正方形,‎ 因为SB⊥BC,AB⊥BC,SB∩AB=B 所以BC⊥平面SAB,‎ 又SA⊂平面SAB,‎ 所以BC⊥SA,‎ 又SA⊥AB,BC∩AB=B 所以SA⊥平面ABCD,‎ ‎(2)在AD上取一点O,使,连接EO 因为,所以EO∥SA 因为SA⊥平面ABCD,‎ 所以EO⊥平面ABCD,‎ 过O作OH⊥AC交AC于H,连接EH,‎ 则AC⊥平面EOH,‎ 所以AC⊥EH.‎ 所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角,.‎ 在Rt△AHO中,‎ ‎∴,‎ 即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分 解法二:(1)同方法一 ‎(2)解:如图,以A为原点建立直角坐标系,A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2),E(0,)‎ ‎∴平面ACD的法向为.........................................6分 设平面EAC的法向量为=(x,y,z),‎ 由,‎ 所以,可取 所以=(2,﹣2,1)..........................................9分 所以 所以 即二面角E﹣AC﹣D的正切值为.........................................12分 ‎21.(1),;(2)‎ ‎【解析】(1)因为以为首项的数列满足:,,,‎ 所以,所以;由得;...........4分 ‎(2)因为数列(,)是公差为的等差数列,‎ 所以,所以,.......................6分 所以,所以,‎ 所以, .........................................8分 故,所以,‎ 因为, .........................................10分 所以由题意只需:,故..........................................12分 ‎22.解 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),‎ ‎∵f(x)=λln x-e-x,∴f′(x)=+e-x=,‎ ‎∵函数f(x)是单调函数,∴f′(x)≤0或f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,....2分 ‎①当函数f(x)是单调递减函数时,f′(x)≤0,‎ ‎∴≤0,即λ+xe-x≤0,λ≤-xe-x=-,‎ 令φ(x)=-,则φ′(x)=,‎ 当01时,φ′(x)>0,‎ 则φ(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,‎ ‎∴当x>0时,φ(x)min=φ(1)=-,∴λ≤-;.........................................4分 ‎②当函数f(x)是单调递增函数时,f′(x)≥0,‎ ‎∴≥0,即λ+xe-x≥0,λ≥-xe-x=-,‎ 由①得φ(x)=-在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又φ(0)=0,x→+∞时,φ(x)<0,∴λ≥0.‎ 综上,λ≤-或λ≥0..........................................6分 ‎(2)证明:由(1)可知,当λ=-时,f(x)=-ln x-e-x在(0,+∞)上单调递减,∵0f(x2),即-ln x1-e-x1>-ln x2-e-x2,‎ ‎∴e-x2-e-x1>ln x1-ln x2.‎ 要证e1-x2-e1-x1>1-.只需证ln x1-ln x2>1-,即证ln >1-,‎ 令t=,t∈(0,1),则只需证ln t>1-,.........................................10分 令h(t)=ln t+-1,则当00,即ln t>1-,得证....................12分