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- 2021-06-30 发布
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高三第五次模拟考试试题
文科数学
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
2.若复数,其中是虚数单位,则复数的模为( )
A. B. C. D.2
3. 某学生在一门功课的22次考试中,所得分数如下茎叶
图所示,则此学生该门功课考试分数的极差与中位数和
为( )
A.117 B.118 C.118.5 D.119.5
4. 设∈R,则是直线与直线垂直的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 设,,,则的大小关系是( ).
A. B. C. D.
6. 函数的部分图象如右图所示,其中A、B两点之间的距离为5,则 ( )
A.2 B. C. D.-2
7. 执行如图所示的程序框图,若输入,,输出的,则空白判断框内应填的条件为( )
A. B. C. D.
8.已知点为平面区域上的一个动点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 在区间[-2,2]上随机取一个数b,若使直线与圆+=a有交点的概率为,则a =( )
A. B. C. 1 D.2
10. 设四边形ABCD为平行四边形,,.若点M,N满足,,则( )(A)20 (B)15 (C)9 (D)6
11. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正
三角形,则这个几何体的外接球的表面积为 ( )
A. B.
C. D.
12. 函数在定义域内可导,若,且当时,,设,,,则( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题5分,满分20分)
13. 抛物线y=4的焦点坐标为 .
14. 若,则 。
15. 从1,2,3,4,5这5个数中任取两个,则这两个数正好相差1的概率是________.
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,点O为坐标原点,点P在双曲线右支上,△PF1F2内切圆的圆心为M,圆M与x轴相切于点A,过F2作直线PM的垂线,垂足为B. 则 |OA|+2|OB|= .
三、解答题
17. (本小题满分12分) 已知数列的前n项和为,且,,数列满足,.
(1)求和的通项公式; (2)求数列{}的前n项和 .
X
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
18. (本小题满分12分) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产耗能y(吨标准煤)的几组对应数据。
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法
求出y关于x的线性回归方程
(2)已知技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(1)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(回归直线方程是:,其中,)
19. (本小题满分12分) 如图所示,在四棱锥中,是边长为2的正方形,且平面,且.
(1)求证:平面平面;
(2)求点到平面的距离.
20. (本小题满分12分) 已知椭圆C: (a>b>0)的上顶点E与其左、右焦点F1、F2构成面积为1的直角三角形。
(1)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若斜率为的直线与圆相切,与(Ⅰ)中所求的轨迹C交于不同的两点,且(其中是坐标原点)求的取值范围.
21. (本小题满分12分)已知函数f(x)=x(ax) (aR)
(1)当时,求函数的最小值;
(2)设,若对任意的,都有,求整数的最大值.
请考生在第22~23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。
22.(本小题满分10分) 选修4-4:极坐标与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:(φ为参数,实数a>0),曲线C2:(φ为参数,实数b>0).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α与C1交于O,A两点,与C2交于O,B两点.当α=0时,|OA|=2;当α=时,|OB|=4.
(Ⅰ)求a,b的值及曲线C1 和C2极坐标方程; (Ⅱ)求2|OA|2+|OA|·|OB|的最大值
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=k-,x∈R且f(x+3)≥0的解集为.
(1)求k的值;
(2)若a,b,c是正实数,且++=1,求证:a+b+c≥1
五模文科数学答案
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
A
B
A
B
C
B
C
D
B
13.(0.) 14. 15. 16. 3
17、解析:(1) 由Sn=,得 当n=1时,;
当n2时,,n∈.
由an=4log2bn+3,得,n∈ ………………………6分
(2)由(1)知,n∈
所以,
,
,n∈. ………………………12分
18.(本小题满分12分)(1)对照数据,计算得:
已知
所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为:
因此,所求的线性回归方程为……………………8分
(2)由(1)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗约为
……………………12分
19. (1)证明:正方形∴,,,∴,,∴,,
∴,,
∴.……………………5分
(2),,,∵,,∴,,∵, ,
∴,,∵,,
∴,,
设点到平面的距离为,则,
………………12分
20.解:(Ⅰ)由题意知 b=c=1 a=
故轨迹C方程是
(Ⅱ)设直线
直线与圆相切
联立
所以
或,
故所求范围为.
21.(1)当时,,定义域为.
,令,可得.·······2分
列表:
所以,函数的最小值为.·······5分
(2)由题意对任意的恒成立,
可得对任意的恒成立.
即对任意的恒成立.
记,得,·······6分
设,,则在是单调增函数,
又,,且在上的图象是不间断的,
所以,存在唯一的实数,使得,·······8分
当时,,,在上递减;
当时,,,在上递增.
所以当时,有极小值,即为最小值,·······10分
又,故,所以,
由知,,又,,所以整数的最大值为3.·······12分
22. 解(Ⅰ)由曲线C1:(φ为参数,实数a>0),
化为普通方程为(x-a)2+y2=a2,展开为:x2+y2-2ax=0,
其极坐标方程为ρ2=2aρcos θ,即ρ=2acos θ,由题意可得当θ=0时,|OA|=ρ=2,∴a=1. 曲线C1极坐标方程为ρ=2cos θ······· 2分
曲线C2:(φ为参数,实数b>0),
化为普通方程为x2+(y-b)2=b2,展开可得极坐标方程为ρ=2bsin θ,
由题意可得当θ=时,|OB|=ρ=4,∴b=2.
曲线C2极坐标方程为ρ=4sin θ······· 4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得C1,C2的极坐标方程分别为ρ=2cos θ,ρ=4sin θ.
∴2|OA|2+|OA|·|OB|=8cos2θ+8sin θcos θ=4sin 2θ+4cos 2θ+4
=4sin+4, ······· 8分
∵2θ+∈,∴4sin+4的最大值为4+4,
当2θ+=,θ=时取到最大值. ·······10分
23. 解(1)因为f(x)=k-,所以f(x+3)≥0等价于:
由≤k有解,得k≥0,且其解集为
又f(x+3)≥0的解集为,故k=1. ······ 5分
(2)由(1)知++=1,又a,b,c是正实数,由均值不等式得
a+2b+3c=(a+2b+3c)=3++++++=
3+++≥3+2+2+2=9,
当且仅当a=2b=3c时取等号.
也即a+b+c≥1. ······10分
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