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- 2021-06-30 发布
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普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研
2019.12
考生注意:
1. 本试卷共4页,21道试题,满分150分. 考试时间120分钟.
2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.
3. 答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.
一、填空题(本大题共有12题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对前6题得4分、后6题得5分,否则一律得零分.
1.若抛物线的焦点坐标为,则实数的值为 .
2. .
3. 不等式的解集为 .
4. 已知为虚数单位,若复数是实数,则实数的值为 .
5. 设函数(且),若其反函数的零点为,则_______.
6. 展开式中含项的系数为__________(结果用数值表示).
7. 各项都不为零的等差数列()满足,数列是等比数列,且,则 _ .
8.设椭圆:,直线过的左顶点交轴于点,交于点,若是等腰三角形(为坐标原点),且,则的长轴长等于_________.
9. 记为的任意一个排列,则为偶数的排列的个数共有________.
10. 已知函数是偶函数,若方程在区间上有解,则实数的取值范围是___________.
11. 设是边长为的正六边形的边上的任意一点,长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦,则的取值范围为___________.
12. 若、两点分别在函数与的图像上,且关于直线对称,则称、是与的一对“伴点”(、与、视为相同的一对).
已知,,若与存在两对“伴点”,则实数的取值范围为 .
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
13. “”是“”成立的 ………………………( )
充分非必要条件 必要非充分条件
充要条件 既非充分也非必要条件
14. 设集合,,若⊆,则对应的实数对有 …( )
对 对 对 对
15. 已知两个不同平面,和三条不重合的直线,,,则下列命题中正确的是 ……( )
若,,则
若,在平面内,且,,则
若,,是两两互相异面的直线,则只存在有限条直线与,,都相交
若,分别经过两异面直线,,且,则必与或相交
16. 若直线:经过第一象限内的点,则的最大值为 ……( )
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
第17题图
如图所示的三棱锥的三条棱,,两两互相垂直,,点在棱上,且().
(1)当时,求异面直线与所成角的大小;
(2)当三棱锥的体积为时,求的值.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
设函数.
(1)当时,解不等式;
(2)若函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
第19题图
某居民小区为缓解业主停车难的问题,拟对小区内一块扇形空地进行改建.如图所示,平行四边形区域为停车场,其余部分建成绿地,点在围墙弧上,点和点分别在道路和道路上,且米,,设.
(1)求停车场面积关于的函数关系式,并指出的取值范围;
(2)当为何值时,停车场面积最大,并求出最大值(精确到平方米).
20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知双曲线:的焦距为,直线()与交于两个不同的点、,且时直线与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
(1)求双曲线的方程;
(2)若坐标原点在以线段为直径的圆的内部,求实数的取值范围;
(3)设、分别是的左、右两顶点,线段的垂直平分线交直线于点,交直线于点,求证:线段在轴上的射影长为定值.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
数列与满足,,是数列的前项和().
(1)设数列是首项和公比都为的等比数列,且数列也是等比数列,求的值;
(2)设,若且对恒成立,求的取值范围;
(3)设,,(,),若存在整数,,且,使得成立,求的所有可能值.
普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研评分标准(参考)
一、填空题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、选择题
13
14
15
16
三、解答题
17.(1)当时,,取棱的中点,连接、,
则,即是异面直线与所成角或其补角,……………… 2分
又,,两两互相垂直,则,即是正三角形,
17题图
则. ………………………… 5分
则异面直线与所成角的大小为.…………………… 6分
(2)因为,,两两互相垂直,
所以平面,…………… 3分
则,
即, …………………………… 7分
又(),,则.………………… 8分
说明:利用空间向量求解请相应评分.
18.(1)当时,由得,…………………2分
令,则,即,…………………4分
即,则所求的不等式的解为.……………………6分
(2)任取,因为函数在区间上单调递增,
所以在上恒成立, ………………2分
则恒成立,
即,,…………………4分
又,则,
即对恒成立,…………………………6分
又,即,
则所求的实数的取值范围为.………………………………8分
19.(1)由平行四边形得,在中,,,
则,即,
即,,……………………………4分
则停车场面积,
即,其中.………………………6分
(2)由(1)得,
即,
……………………4分
则. ……………………6分
因为,所以,
则时,平方米.
故当时,停车场最大面积为平方米. ……………………………8分
说明:(1)中过点作的垂线求平行四边形面积,请相应评分.
20.(1)当直线与的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形,由根据双曲线的性质得,,又焦距为,则, …………………3分
解得,,则所求双曲线的方程为.……………………………4分
(2)设,,由,得,
则,,且,
………………………………………………………………2分
又坐标原点在以线段为直径的圆内,则,即,
即,即,
则, ……………………………4分
即,则或,
即实数的取值范围. …………………6分
(3)线段在轴上的射影长是. 设,由(1)得点,
又点是线段的中点,则点, ……………2分
直线的斜率为,直线的斜率为 ,又,
则直线的方程为,即,
又直线的方程为,联立方程,
消去化简整理,得,又,
代入消去,得,
即,则,
即点的横坐标为, ……………5分
则. 故线段在轴上的射影长为定值. ……6分
说明:看作是在或方向上投影的绝对值,请相应评分.
21.(1) 由条件得,,即,………………1分
则,,设等比数列的公比为,
则,又,则. …………………………3分
当,时,,,
则满足题意,
故所求的的值为. ………………………………………4分
(2)当时,, ,,,
以上个式子相加得,, ………2分
又,则,
即. 由知数列是递增数列,………4分
又,要使得对恒成立,
则只需,即,则. …………………6分
(3) 由条件得数列是以为首项,为公差的等差数列,
则,,
则. ………………………………2分
则,
当时,,
即时,,
则当时,与矛盾. ………………………4分
又,即时,.
当时,,
又,
即当,时,,与矛盾.
又,则或,
当时,,解得;
当时,,解得.
综上得的所有可能值为和. …………………………………8分
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