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- 2021-06-30 发布
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第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
[考纲传真] (教师用书独具)1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
(对应学生用书第136页)
[基础知识填充]
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．
dr⇔相离．
(2)代数法：
2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
d＜|r1－r2|(r1≠r2)
[知识拓展]
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤相离：4条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2
项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )
(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )
(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切 B．直线过圆心
C．直线不过圆心，但与圆相交 D．相离
B [依题意知圆心为(－1,0)，到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝0，所以直线过圆心．]
3．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.
∵3－20)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
【导学号：79140280】
A．21 B．19
C．9 D．－11
(1)B (2)C [(1)法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．∵圆M截直线所得线段长度为2，
∴＝2.又a>0，∴a＝2.
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，
圆心M(0,2)，半径r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交．
法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)⇔x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴M(0，a)，r1＝a.
∵圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度为2，∴圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝＝，解得a＝2.
以下同法一．
(2)圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m＜25)．从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C．]
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