【数学】2020届一轮复习北师大版立体几何小题部分作业 20页

‎1、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（   ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎3、如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（  ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意得，该多面体为如下几何体，其中BD,ED,CD两两互相垂直，最长的棱长为，故选C．‎ ‎4、如图，在棱长为的正方体中，给出以下结论：‎ ‎① 直线与所成的角为；‎ ‎② 若是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是；‎ ‎③ 若是线段上的动点，且，则四面体的体积恒为.‎ 其中，正确结论的个数是(   )‎ A.个 B.个 C.个 D.个 ‎【答案】D ‎③连接，设到平面的距离为，则，到直线的距离为，则四面体的体积，正确．‎ ‎∴正确的命题是①②③．‎ ‎5、一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为(   )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎6、某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（   ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎7、一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（  ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】B ‎8、如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图所示，还原几何体的直观图是棱长为3的正方体中的四棱锥，因此该几何体的外接球的半径，该几何体的外接球的表面积为，选C.‎ ‎9、《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓，高丈尺，容纳米斛（丈=尺，斛为容积单位，斛≈立方尺，），则圆柱底面周长约为（   ）‎ A.丈尺 B.丈尺 C.丈尺 D.丈尺 ‎【答案】B ‎10、已知四面体的四个顶点都在球的球面上，若平面，，且，，则球的表面积为（   ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵平面，，在四面体的基础上构造长方体如图，‎ 可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的对角线就是外接球的直径，即，∴，‎ ‎∴球的表面积。‎ ‎11、如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎12、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到一种名为 “刍甍”的五面体，如图所示，四边形是矩形，棱，，，和都是边长为的等边三角形，则这个几何体的体积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎ ‎13、如图，正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线和所成角的大小是（  ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 补一个相同的正三棱柱，如图所示，把正三棱柱补成直四棱柱，‎ 设棱长为，取中点，则，所以为异面直线和所成的角，‎ 在中，,在中，‎ 由余弦定理得：，所以。‎ ‎14、在四棱锥中，底面是菱形，底面，是棱上一点．若，则当的面积为最小值时，直线与平面所成的角为（   ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎15、已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形,，，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（   ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎16、如图，在棱长为的正方体中，给出以下结论：‎ ‎① 直线与所成的角为；‎ ‎② 若是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是；‎ ‎③ 若是线段上的动点，且，则四面体的体积恒为.‎ 其中，正确结论的个数是(   ) ‎ A.个 B.个 C.个 D.个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎①中，每条边都是，即为等边三角形，∴与所成角为，又，∴直线与所成的角为，正确；②由正方体可得平面平面，当点位于上，且使平面时，直线与平面所成角的正弦值最大为，当与重合时，连接交平面所得斜线最长，直线与平面所成角的正弦值最小等于，∴直线与平面所成角的正弦值的取值范围是，正确；‎ ‎③连接，设到平面的距离为，则，到直线的距离为，则四面体的体积为，正确．‎ ‎∴正确的命题是①②③．‎ ‎17、如图，在矩形中，，，点为的中点，现分别沿将翻折，使得点重合于，此时二面角的余弦值为（   ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎18、如图所示，在直三棱柱中，，⊥，，分别是，的中点，给出下列结论：①⊥平面；②⊥；③平面平面；其中正确结论的序号是______．‎ ‎【答案】①②③‎ ‎19、已知三条不重合的直线，两个不重合的平面，有下列命题：‎ ‎①若且，则； ‎ ‎②若且，则；‎ ‎③若，则；‎ ‎④若，则.‎ 其中真命题的个数是_______．‎ ‎【答案】2　‎ ‎【解析】‎ ‎①中与可能相交；②对；③中要求与为两异面直线时才成立；④为面面垂直的性质定理，正确．‎ ‎20、已知四边形是矩形，.沿将折起到，使平面平面，是的中点，是上一点，给出下列结论：‎ ‎①存在点，使得平面;‎ ‎②存在点，使得平面;‎ ‎③存在点，使得平面;‎ ‎④存在点，使得平面;‎ 其中正确的结论是______.（写出所以正确结论的序号）‎ ‎【答案】①②③‎ ‎21、设是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：‎ ‎①；‎ ‎②；    ‎ ‎③； ‎ ‎④.‎ 其中，正确的命题是________.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎①中平行于同一平面的两平面平行是正确的；②中可能平行，相交或直线在平面内；③中由面面垂直的判定定理可知结论正确；④中可能线面平行或线在面内.‎ ‎22、如图，在直角梯形中，，，分别是的中点，将三角形沿折起，下列说法正确的是________.（填上所有正确的序号）‎ ‎①不论折至何位置（不在平面内）都有平面；‎ ‎②不论折至何位置都有；‎ ‎③不论折至何位置（不在平面内）都有；‎ ‎④在折起过程中，一定存在某个位置，使.      ‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ 将三角形沿折起后几何体如图所示：‎ ‎ ‎ ‎①为分别是的中点，所以不论折至何位置（不在平面内）都有，∴平面所以①正确；‎ ‎②,则，所以②正确；‎ ‎③与是异面直线，所以③错；‎ ‎④当时，因为,∴平面,∴,所以存在某个位置，使，所以④正确；故答案为①②④．‎ ‎23、已知空间四边形中, , , ,若平面平面,则该几何体的外接球表面积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎24、设、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，则的一个充分条件为________.‎ ‎①，，；      ‎ ‎②，，；‎ ‎③，，；    ‎ ‎④，，．‎ ‎【答案】②、③‎ ‎【解析】‎ ‎①中由已知条件可知或在内或斜交或平行；‎ ‎②由可知、平行，由可得；‎ ‎③由面面垂直的性质可得成立；‎ ‎④由可知、平行或相交只有平行时才有.‎ ‎25、如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，则该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（   ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出该圆锥的侧面展开图，如下图所示：‎ 该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理可得，‎ ‎∴．设底面圆的半径为，则有，∴．故项正确．‎ ‎26、已知空间个球，它们的半径均为，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这个球都外切，则这个小球的半径（   ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可知，小球球心为正四面体的中心，到顶点的距离为，从而所求小球的半径. 故选. ‎ ‎27、 三棱锥中,底面, ,点分别是的中点，则点到平面的距离为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图,以所在直线为轴,所在直线轴,建立空间直角坐标系,‎ 则, ,‎ 设平面的一个法向量,则取,则平面的一个法向量,则点到平面的距离为．‎ ‎28、如图，长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，则异面直线与的夹角的余弦值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎29、如图，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，，则直线与平面所成角的正弦值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图建立空间直角坐标系，‎ 由，得，‎ 则，，，，，‎ 设，则，，‎ 由，可得：，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，取，，‎ 则，故所求正弦值为.‎ ‎30、棱长为1的正方体中, 为的中点,则平面与平面所成二面角的余弦值为________.‎ ‎【答案】‎ 设平面的一个法向量为,则.‎ 令,则.又平面的一个法向量为,‎ 所以.‎