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- 2021-06-30 发布
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§4.5 简单的三角恒等变换
考情考向分析 三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,重在考查化简、求值,公式的正用、逆用以及变式运用,此处为C级要求,填空、解答题均有可能出现,中低档难度.
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β(C(α-β))
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β(C(α+β))
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β(S(α-β))
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β(S(α+β))
tan(α-β)=(T(α-β))
tan(α+β)=(T(α+β))
2.二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α;
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
tan 2α=.
概念方法微思考
1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系?
提示 诱导公式可以看成和差公式中β=k·(k∈Z)时的特殊情形.
2.怎样研究形如f(x)=asin x+bcos x函数的性质?
提示 先根据辅助角公式asin x+bcos x=·sin(x+φ),将f(x)化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,再结合图象研究函数的性质.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( √ )
(2)对任意角α都有1+sin α=2.( √ )
(3)y=3sin x+4cos x的最大值是7.( × )
(4)公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立.( × )
题组二 教材改编
2.[P109T6]若cos α=-,α是第三象限的角,则sin= .
答案 -
解析 ∵α是第三象限角,∴sin α=-=-,
∴sin=-×+×=-.
3.[P111T2]sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°= .
答案
解析 sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°
=sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin 77°cos 58°
=(-cos 77°)·(-sin 58°)+sin 77°cos 58°
=sin 58°cos 77°+cos 58°sin 77°
=sin(58°+77°)=sin 135°=.
4.[P117T1]tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°= .
答案
解析 ∵tan 60°=tan(10°+50°)=,
∴tan 10°+tan 50°=tan 60°(1-tan 10°tan 50°)
=-tan 10°tan 50°,
∴原式=-tan 10°tan 50°+tan 10°tan 50°=.
题组三 易错自纠
5.化简:= .
答案 1
解析 因为sin 40°α,
所以α+β∈,所以cos(α+β)=-.
于是cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=-×+×=.
(2)设α为锐角,若cos=,则sin的值为 .
答案
解析 因为α为锐角,且cos=,
所以sin= =,
所以sin=sin 2
=2sincos=2××=.
(3)(2019·如皋调研)已知cos α=,α∈(-π,0),tan(α+β)=1,则tan β的值为 .
答案 -3
解析 ∵cos α=,α∈(-π,0),
∴sin α=-,
∴tan α=-2,
故tan β=tan[(α+β)-α]==-3.
命题点2 三角函数式的变换
例2 (1)化简: (0<θ<π);
(2)求值:-sin 10°.
解 (1)由θ∈(0,π),得0<<,∴cos >0,
∴==2cos .
又(1+sin θ+cos θ)
=
=2cos
=-2cos cos θ,
故原式==-cos θ.
(2)原式=-sin 10°
=-sin 10°·
=-sin 10°·
=-2cos 10°=
=
=
==.
引申探究
化简: (0<θ<π).
解 ∵0<θ<π,∴0<<,∴=2sin ,
又1+sin θ-cos θ=2sin cos +2sin2
=2sin ,
∴原式=
=-cos θ.
命题点3 公式的逆用与变形
例3 (1)已知sin α+cos β=,sin β-cos α=,则sin(α-β)= .
答案 -
解析 ∵sin α+cos β=,sin β-cos α=,
∴(sin α+cos β)2=,(sin β-cos α)2=,
即sin2α+2sin αcos β+cos2β=,①
sin2β-2sin βcos α+cos2α=.②
①+②得sin2α+2sin αcos β+cos2β+sin2β-2sin βcos α+cos2α=(sin2α+cos2α)+(cos2β+sin2β)+2(sin αcos β-sin βcos α)=1+1+2sin(α-β)=2+2sin(α-β)=,则sin(α-β)=-.
(2)已知α-β=,tan α-tan β=3,则cos(α+β)的值为 .
答案 -
解析 ∵tan α-tan β=-==3,且α-β=,∴cos αcos β=,
又cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,∴sin αsin β=-,
那么cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-.
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.
(2)常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=-等.
跟踪训练 (1)计算:= .(用数字作答)
答案
解析 =
===.
(2)已知α∈,β∈,且cos α=,cos(α+β)=-,则sin β= .
答案
解析 由已知可得sin α=,sin(α+β)=,
∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=.
(3)若sin x+cos x=,则tan= .
答案 ±
解析 由sin x+cos x=,得2sin=,
即sin=,所以cos=±,
所以tan=±,
即tan=tan=±.
用联系的观点进行三角变换
三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.
例 (1)设α为锐角,若cos=,则sin的值为 .
答案
解析 ∵α为锐角且cos=>0,
∴α+∈,∴sin=.
∴sin=sin
=sin 2cos -cos 2sin
=sincos-
=××-
=-=.
(2)(1+tan 17°)·(1+tan 28°)的值为 .
答案 2
解析 原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°·tan 28°
=1+tan 45°(1-tan 17°·tan 28°)+tan 17°·tan 28°
=1+1=2.
(3)已知sin α=,α∈,则= .
答案 -
解析 =
=cos α-sin α,
∵sin α=,α∈,
∴cos α=-,∴原式=-.
(4)已知cos=,则cos-sin2= .
答案
解析 由题意可知cos-sin2
=-cos+cos2-1=--.
1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= .
答案
解析 sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°
=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=.
2.已知α是第二象限角,且tan α=-,则sin 2α= .
答案 -
解析 因为α是第二象限角,且tan α=-,
所以sin α=,cos α=-,
所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-.
3.若sin α=,则sin-cos α= .
答案
解析 sin-cos α=sin αcos +cos αsin -cos α=×=.
4.已知sin 2α=,则cos2= .
答案
解析 因为cos2=
==,
所以cos2===.
5.已知α为锐角,若sin=,则cos= .
答案
解析 由于α为锐角,且sin=,
则cos=,
则cos=cos
=coscos+sinsin
=×+×=.
6.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)的值为 .
答案
解析 因为α∈,所以2α∈(0,π),
因为cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=-,
所以sin 2α==,
而α,β∈,所以α+β∈(0,π),
所以sin(α+β)==,
所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]
=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)
=×+×=.
7.设a=cos 50°cos 127°+cos 40°sin 127°,b=(sin 56°-cos 56°),c=,则a,b,c的大小关系是 .
答案 a>c>b
解析 a=sin 40°cos 127°+cos 40°sin 127°
=sin(40°+127°)=sin 167°=sin 13°,
b=(sin 56°-cos 56°)=sin 56°-cos 56°
=sin(56°-45°)=sin 11°,
c==cos239°-sin239°=cos 78°=sin 12°,
∵sin 13°>sin 12°>sin 11°,∴a>c>b.
8.的值是 .
答案
解析 原式=
=
==.
9.= .
答案
解析 =
===.
10.(2018·江苏省海安高级中学月考)已知α为三角形内角,sin α+cos α=,则cos 2α= .
答案 -
解析 由已知得2sin αcos α=(sin α+cos α)2-(sin2α+cos2α)=-1=-,
又α为三角形内角,
∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0,
∴sin α-cos α=
==,
∴cos 2α=-(sin α-cos α)(sin α+cos α)=-.
11.化简:·= .
答案
解析 原式=tan(90°-2α)·
=··
=··=.
12.已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,则sin= .
答案
解析 依题意可将已知条件变形为
sin[(α-β)-α]=-sin β=,sin β=-.
又β是第三象限角,所以cos β=-.
所以sin=-sin
=-sin βcos -cos βsin
=×+×=.
13.若α∈,且3cos 2α=sin,则sin 2α的值为 .
答案 -
解析 由3cos 2α=sin可得
3(cos2α-sin2α)=(cos α-sin α),
又由α∈可知,cos α-sin α≠0,
于是3(cos α+sin α)=,
所以1+2sin αcos α=,
故sin 2α=2sin αcos α=-1=-.
14.(2018·江苏省五校联考)已知sin=,则sin+sin2= .
答案
解析 由条件得sin=sin
=sin=,
又sin2=cos2
=cos2=1-sin2=,
∴sin+sin2=+=.
15.化简:·= .
答案 -4
解析 原式=·=·
=-4·tan(45°+15°)=-4.
16.已知α,β∈,且sin +cos =,sin(α-β)=-,则sin β= .
答案
解析 由sin +cos=,平方可得sin α=.
∵α∈,
∴cos α=-.
又∵-<α-β<,sin(α-β)=-,
∴cos(α-β)=.
故sin β=sin[α-(α-β)]
=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
=×-×=.