2009年重庆市高考数学试卷（理科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】 7页

‎2009年重庆市高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1. 直线y=x+1‎与圆x‎2‎‎+y‎2‎=1‎的位置关系为（ ）‎ A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 ‎2. 已知复数z的实部为‎-1‎，虚部为‎2‎，则‎5iz‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎2-i B.‎2+i C.‎-2-i D.‎‎-2+i ‎3. ‎(x+2‎‎)‎‎6‎的展开式中x‎3‎的系数是（ ）‎ A.‎20‎ B.‎40‎ C.‎80‎ D.‎‎160‎ ‎4. 已知‎|a‎→‎|=1，|b‎→‎|=6，a⋅‎‎→‎(b‎→‎-a‎→‎)=2‎，则向量a‎→‎与向量b‎→‎的夹角是（ ）‎ A.π‎6‎ B.π‎4‎ C.π‎3‎ D.‎π‎2‎ ‎5. 不等式‎|x+3|-|x-1|≤a‎2‎-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）‎ A.‎(-∞, -1]∪[4, +∞)‎ B.‎‎(-∞, -2]∪[5, +∞)‎ C.‎[1, 2]‎ D.‎‎(-∞, 1]∪[2, +∞)‎ ‎6. 锅中煮有芝麻馅汤圆‎6‎个，花生馅汤圆‎5‎个，豆沙馅汤圆‎4‎个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取‎4‎个汤圆，则每种汤圆都至少取到‎1‎个的概率为（ ）‎ A.‎8‎‎91‎ B.‎25‎‎91‎ C.‎48‎‎91‎ D.‎‎60‎‎91‎ ‎7. 设‎△ABC的三个内角A，B，C，向量m‎→‎‎=(‎3‎sinA,sinB)‎，n‎→‎‎=(cosB,‎3‎cosA)‎，若m‎→‎‎⋅n‎→‎=1+cos(A+B)‎，则C＝（ ）‎ A.π‎6‎ B.π‎3‎ C.‎2π‎3‎ D.‎‎5π‎6‎ ‎8. 已知limx→∞‎‎(‎2‎x‎2‎x+1‎-ax-b)=2‎，其中a，b∈R，则a-b的值为（ ）‎ A.‎-6‎ B.‎-2‎ C.‎2‎ D.‎‎6‎ ‎9. 三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有 （ ）条．‎ A.‎1‎ B.‎2‎ C.‎3‎ D.‎1‎或‎2‎ ‎10. 已知三角函数f(x)=sin2x-cos2x，其中x为任意的实数．求此函数的周期为（ ）‎ A.‎2π B.π C.‎4π D.‎‎-π 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11. 若A={x∈R||x|<3}‎，B={x∈R|‎2‎x>1}‎，则A∩B=‎________．‎ ‎12. 若f(x)=a+‎‎1‎‎2‎x‎+1‎是奇函数，则a=‎________．‎ ‎13. 将‎4‎名大学生分配到‎3‎个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种（用数字作答）．‎ ‎14. 设a‎1‎＝‎2‎，an+1‎‎=‎‎2‎an‎+1‎，bn‎=‎‎|an+2|‎‎|an-1|‎，n∈‎N‎+‎，则数列‎{bn}‎的通项公式bn＝________．‎ ‎15. 已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎的左、右焦点分别为F‎1‎‎(-c, 0)‎，F‎2‎‎(c, 0)‎，若双曲线上存在一点P使sinPF‎1‎F‎2‎sinPF‎2‎F‎1‎‎=‎ac，则该双曲线的离心率的取值范围是________．‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16. 设函数f(x)=sin(πx‎4‎-π‎6‎)-2cos‎2‎πx‎8‎+1‎．‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求f(x)‎的最小正周期．‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎若y＝g(x)‎与y＝f(x)‎的图象关于直线x＝‎1‎对称，求当x∈[0,‎4‎‎3‎]‎时y＝g(x)‎的最大值．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎17. 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各‎2‎株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为‎2‎‎3‎和‎1‎‎2‎，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的‎4‎株大树中：‎ ‎(1)‎两种大树各成活‎1‎株的概率；‎ ‎(2)‎成活的株数ξ的分布列与期望．‎ ‎18. 设函数f(x)=ax‎2‎+bx+k(k>0)‎在x=0‎处取得极值，且曲线y=f(x)‎在点（‎1, f(1)‎）处的切线垂直于直线x+2y+1=0‎．‎ ‎（I）求a，b的值；‎ ‎（II）若函数g(x)=‎exf(x)‎，讨论g(x)‎的单调性．‎ ‎19. 如图，在四棱锥S-ABCD中，AD // BC且AD⊥CD；平面CSD⊥‎平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2‎；E为BS的中点，CE=‎2‎，AS=‎‎3‎，求：‎ ‎（1）点A到平面BCS的距离；‎ ‎（2）二面角E-CD-A的大小．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎20. 已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为y=‎‎4‎‎3‎‎3‎，离心率e=‎‎3‎‎2‎，M是椭圆上的动点 ‎（1）若C，D的坐标分别是‎(0,-‎3‎)，(0,‎3‎)‎，求‎|MC|⋅|MD|‎的最大值；‎ ‎（2）如题（20）图，点A的坐标为‎(1, 0)‎，B是圆x‎2‎‎+y‎2‎=1‎上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：OQ‎→‎‎=OM‎→‎+‎ON‎→‎，QA‎→‎‎⋅BA‎→‎=0‎、求线段QB的中点P的轨迹方程．‎ ‎21. 设m个不全相等的正数a‎1‎，a‎2‎，…，am‎(m≥7)‎依次围成一个圆圈，‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎若m＝‎2009‎，且a‎1‎，a‎2‎，…，a‎1005‎是公差为d的等差数列，而a‎1‎，a‎2009‎，a‎2008‎，…，a‎1006‎是公比为q＝d的等比数列；数列a‎1‎，a‎2‎，…，am的前n项和Sn‎(n≤m)‎满足：S‎3‎＝‎15‎，S‎2009‎＝S‎2007‎‎+12‎a‎1‎，求通项an‎(n≤m)‎；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎若每个数an‎(n≤m)‎是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a‎1‎‎+...+a‎6‎+a‎7‎‎2‎+...+am‎2‎>ma‎1‎a‎2‎am．‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2009年重庆市高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1.B ‎2.A ‎3.D ‎4.C ‎5.A ‎6.C ‎7.C ‎8.D ‎9.D ‎10.B 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11.‎‎{x|00)‎，故f‎'‎‎(x)=2ax+b 又f(x)‎在x=0‎处取得极值，故f‎'‎‎(x)=0‎，‎ 从而b=0‎，‎ 由曲线y=f(x)‎在（‎1, f(1)‎）处的切线与直线x+2y+1=0‎相互垂直可知该切线斜率为‎2‎，‎ 即f‎'‎‎(1)=2‎，有‎2a=2‎，从而a=1‎ ‎（II）由‎(I)‎知：‎ g(x)=exx‎2‎‎+k(k>0)‎‎、‎g'(x)=ex‎(x‎2‎-2x+k)‎‎(x‎2‎+k‎)‎‎2‎(k>0)‎ 令g‎'‎‎(x)=0‎，有x‎2‎‎-2x+k=0‎ ‎（1）当‎△=4-4k<0‎，即当k>1‎时，g‎'‎‎(x)>0‎在R上恒成立，故函数g(x)‎在R上为增函数 ‎（2）当‎△=4-4k=0‎，即当k=1‎时，g'(x)=ex‎(x-1‎‎)‎‎2‎‎(x‎2‎+k‎)‎‎2‎>0(x≠1)‎，K=1‎时，g(x)‎在R上为增函数 ‎(3)△=4-4k>0‎‎，即当‎00‎，故g(x)‎在‎(-∞,1-‎1-k)‎上为增函数 当x∈(1-‎1-k，1+‎1-k)‎时，g‎'‎‎(x)<0‎，故g(x)‎在‎(1-‎1-k，1+‎1-k)‎上为减函数 当x∈(1+‎1-k，+∞)‎时，g‎'‎‎(x)>0‎，故g(x)‎在‎(1+‎1-k，+∞)‎上为增函数 ‎19.解：（1）因为AD // BC，且BC⊂‎平面BCS，‎ 所以AD // ‎平面BCS，‎ 从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离．‎ 因为平面CSD⊥‎平面ABCD，AD⊥CD，‎ 故AD⊥‎平面CSD，从而AD⊥SD，‎ 由AD // BC，得BC⊥DS，又由CS⊥DS知DS⊥‎平面BCS，‎ 从而DS为点A到平面BCS的距离，‎ 因此在Rt△ADS中DS=AS‎2‎-AD‎2‎=‎3-1‎=‎‎2‎ ‎（2）如图，过E电作EG⊥CD，交CD于点G，‎ 又过G点作GH⊥CD，交AB于H，‎ 故‎∠EGH为二面角E-CD-A的平面角，‎ 记为θ，过E点作EF // BC，交CS于点F，连接GF，‎ 因平面ABCD⊥‎平面CSD，GH⊥CD，‎ 易知GH⊥GF，故θ=π‎2‎-∠EGF．‎ 由于E为BS边中点，故CF=‎1‎‎2‎CS=1‎，‎ 在Rt△CFE中，EF=CE‎2‎-CF‎2‎=‎2-1‎=1‎，‎ 因EF⊥‎平面CSD，又EG⊥CD 故由三垂线定理的逆定理得FG⊥CD，‎ 从而又可得‎△CGF∼△CSD，‎ 因此GFDS‎=‎CFCD而在Rt△CSD中，‎ CD=CS‎2‎+SD‎2‎=‎4+2‎=‎‎6‎‎，‎ 故GF=CFCD⋅DS=‎1‎‎6‎⋅‎2‎=‎‎1‎‎3‎ 在Rt△FEG中，‎tanEGF=EFFG=‎‎3‎ ‎ 7 / 7‎ 可得‎∠EGF=‎π‎3‎，故所求二面角的大小为θ=‎π‎6‎ ‎20.解：（1）由题设条件知焦点在y轴上，‎ 故设椭圆方程为y‎2‎a‎2‎‎+x‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎．‎ 设c=‎a‎2‎‎-‎b‎2‎，由准线方程y=‎‎4‎‎3‎‎3‎得．‎ 由e=‎‎3‎‎2‎得ca‎=‎‎3‎‎2‎，解得a=2‎，c=‎‎3‎，‎ 从而b=1‎，椭圆方程为x‎2‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎．‎ 又易知C，D两点是椭圆x‎2‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎的焦点，‎ 所以，‎‎|MC|+|MD|=2a=4‎ 从而‎|MC|⋅|MD|≤(‎|MC|+|MD|‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎2‎‎2‎=4‎，‎ 当且仅当‎|MC|=|MD|‎，‎ 即点M的坐标为‎(±1, 0)‎时上式取等号，‎|MC|⋅|MD|‎的最大值为‎4‎．‎ ‎（2）如图‎(20)‎图，设M(xm, ym)‎，B(xB, yB)Q(xQ, yQ)‎．‎ 因为N(xN，0)，OM‎→‎+ON‎→‎=‎OQ‎→‎，‎ 故xQ‎=2‎xN，yQ‎=‎yM，xQ‎2‎‎+yQ‎2‎=(2xM‎)‎‎2‎+(yM‎)‎‎2‎=4‎  ①‎ 因为QA‎→‎‎⋅BA‎→‎=0‎，‎ ‎(1-xQ-yQ)‎‎•‎‎(1-xN-yN)‎ ‎=(1-xQ)(1-xN)+yQyN=0‎‎，‎ 所以xQxN‎+yQyN=xN+xQ-1‎．②‎ 记P点的坐标为‎(xP, yP)‎，因为P是BQ的中点 所以‎2xP=xQ+‎xP，‎‎2yP=yQ+‎yP 由因为xN‎2‎‎+yN‎2‎=1‎，结合①，②得 xP‎2‎‎+yP‎2‎=‎1‎‎4‎((xQ+xN‎)‎‎2‎+(yQ+yN‎)‎‎2‎)‎ ‎=‎1‎‎4‎(xQ‎2‎+xN‎2‎+yQ‎2‎+yn‎2‎+2(xQxN+yQyN))‎ ‎=‎1‎‎4‎(5+2(xQ+xN-1))=‎3‎‎4‎+‎xP 故动点P的轨迹方程为‎(x-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+y‎2‎=1‎ ‎21.（I）因a‎1‎，a‎2009‎，a‎2008‎，a‎1006‎是公比为d的等比数列，‎ 从而a‎2009‎＝a‎1‎d，a‎2008‎＝a‎1‎d‎2‎，‎ 由S‎2009‎＝S‎2007‎‎+12‎a‎1‎得a‎2008‎‎+‎a‎2009‎＝‎12‎a‎1‎，‎ 解得d＝‎3‎或d＝‎-4‎（舍去）．‎ ‎∴ d＝‎3‎，‎ 又S‎3‎＝‎3a‎1‎+3d＝‎15‎．解得a‎1‎＝‎‎2‎ 从而当n≤1005‎时，an＝a‎1‎‎+(n-1)d＝‎2+3(n-1)‎＝‎‎3n-1‎ 当‎1006≤n≤2009‎时，由a‎1‎，a‎2009‎，a‎2008‎‎...‎a‎1006‎是公比为d的等比数列 得an＝a‎1‎d‎2011-n-1‎＝‎a‎1‎d‎2010-n‎(1006≤n≤2009)‎ 因此an‎=‎‎3n-1,n≤1005‎‎2⋅‎3‎‎2010-n,1006≤n≤2009‎ ‎(II)‎由题意an‎2‎＝an-1‎‎2‎an+1‎‎2‎‎(16‎又m＝‎6k，由④和⑥得 a‎7‎‎2‎‎++‎am‎2‎‎＝‎‎(a‎7‎‎2‎++a‎12‎‎2‎)++(a‎6k-5‎‎2‎++a‎6k‎2‎)‎ ‎＝‎‎(k-1)(a‎1‎‎2‎++a‎6‎‎2‎)‎ ‎=(k-1)(a‎1‎‎2‎+‎1‎a‎1‎‎2‎+a‎2‎‎2‎+‎1‎a‎2‎‎2‎+a‎3‎‎2‎+‎1‎a‎3‎‎2‎)≥6(k-1)‎ 因此由⑤得a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎++a‎6‎+a‎7‎‎2‎++am‎2‎>6+6(k-1)‎＝‎6k＝m＝‎ma‎1‎a‎2‎a‎3‎am ‎ 7 / 7‎