高考数学模拟试卷3 (15) 15页

- 1 - 高考数学训练题（第 51 套） 1. 设集合 ， ,若 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 设复数 在复平面内对应的点为 ,过原点和点 的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列 是等差数列， 为正整数，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 对任意非零实数 ，若 ※ 的运算原理如图所示，则 ※ =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在直角坐标系 中，已知三点 若向量 与 在向量 方向上的投影 相同，则 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6. 若张三每天的工作时间在 6 小时至 9 小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时 - 2 - 间不少于 7 小时的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题 若 , ,则 // ；命题 若 , , ,则 ，下列是真命 题的是( ) A. B. C. D. 8. 若长度为定值 4 的线段 AB 的两端点分别在 x 轴正半轴和 y 轴正半轴上移动，P（x,y）为 △OAB 的外心轨迹上一点，则 x+y 的最大值为（ ） A. 1 B. 4 C. D. 2 9. .已知 满足 若 有最大值 4，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.一块“堑堵”形石材表 示的三视图如图所示.将该石材切削、打磨，加工成若干个相同的球，并尽量使每个球的体积 最大，则所剩余料体积为（ ） A. 288- B. 288- C. 288- D. 288- 11. 设 分别是双曲线 的左、右焦点， 是 的右支上的点，射线 平 分 ,过原点 作 的平行线交 于点 ,若 ,则双曲线 的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 12. 对于函数 ，下列说法正确的有（ ） - 3 - ① 在 处取得极大值 ；② 有两个不同的零点； ③ ；④若 在 上恒成立，则 . A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 13. 在 的二项展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则二项展开式常数项等于 _________. 14. 在平面直角坐标系 中，点 在单位圆 上，设 ，且 ．若 ，则 的值为________. 15. 已知实数 ，函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 _________. 16. 已知数列 的首项 =1，函数 有唯一零点，则数列 的前 项的和为_________. 17. 函数 在它的某一个周期内的单调递减区间是 ．将 的图象先向左平移 个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）， 所得到的图象对应的函数记为 （1）求 的解析式； （2）设 的三边 、 、 满足 ，且边 所对角为 ，若关于 的方程 有两个不同 的实数解，求实数 的取值范围． 18. 如图，在 Rt 中， ，点 、 分别在线段 、 上，且 ，将 沿 折起到 的位置，使得二面角 的大小为 . （1）求证： ； （2）当点 为线段 的靠近 点的三等分点时，求 与平面 所成角 的正弦值. - 4 - 19. 2017 年 5 月，来自“一带一路”沿线的 20 国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、 扫码支付、共享单车和网购。为拓展市场，某调研组对甲、乙两个品牌的共享单车在 5 个城 市的用户人数进行统计，得到如下数据： 城市 品牌 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 甲品牌（百万） 4 3 8 6 12 乙品牌（百万） 5 7 9 4 3 （Ⅰ）如果共享单车用户人数超过 5 百万的城市称为“优质潜力城市”，否则“非优”，请 据此判断是否有 85%的把握认为“优质潜力城市”与共享单车品牌有关？ （Ⅱ）如果不考虑其它因素，为拓展市场，甲品牌要从这 5 个城市中选出 3 个城市进行大规 模宣传．. 20. 如图，已知抛物线 ，其焦点到准线的距离为 2，圆 ，直线 与圆和抛物线自左至右顺次交于四点 、 、 、 , （1）若线段 、 、 的长按此顺序构成一个等差数列，求正数 的值； （2）若直线 过抛物线焦点且垂直于直线 ，直线 与抛物线交于点 、 ，设 、 的中点 分别为 、 ，求证：直线 过定点. 21. 已知函数 ， . （1）设函数 ，试讨论函数 零点的个数； - 5 - （2）若 ， ，求证： 22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 参数方程为 （ 为参数），曲线 C2 的参数方程为 （ 为参数）， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 C1, C2 的极坐标方程； （2）若射线 分别交 C1, C2 于 两点， 求 的最大值. 23. 选修 4-5：不等式选讲 (1)解关于 的不等式 (2)关于 的不等式 有解，求实数 的范围。 - 6 - 高考数学训练题（第 51 套） 1.【答案】C 【解析】 ， ，且 ， ， 故选 C. 2.【答案】D 【解析】直线的倾斜角为 ，复数 在复平面对应的点是 ，原点 ， 斜率 ，可得 ，故选 D. 3. 【答案】A 【解析】若 ，则 ，即 ，若“ ”则 时， 时， ，不一定成立， “ ”是“ ”的充分 不必要条件，故选 A. 4. 【答案】A 【解析】 则输出 故选 5.【答案】D 【解析】向量 在向量 方向上的投影相同， ， ， ， 在直线 上， 的最小值为原点到直线 距离的平方，因为 ，所以 的最小值为 ，故选 D. 6. 【答案】D - 7 - 【解析】 设第一天工作的时间为 小时，第二天工作的时间为 小时，则 ，因为连续两天平均 工作时间不少于 小时，所以 ，即 ， 表示的区域面积为 ，其中满 足 的区域面积为 张三连续两天平均工作时间不少于 小时的概率 是 ，故选 D...................... 7. 【答案】D 【解析】若 , ,则 或 ，故 假， 真， ， , 则 ，正确，故 为 真， 为假， 为真，故选 D. 8. 【答案】D 【解析】 为直角三角形， 外心就是 的中点， ，即 在以原点为圆 心，以 为半径的圆上，设 ， ，当 时， “=”成立，故选 D. 9. 【答案】B 【解析】如图， 即 时， 解得 故选 10. 【答案】C 【解析】由三视图知，该直三棱柱的底面直角三角形，直角边为 与 ，要使每个球的体积最大， 则球与三个侧面相切，求得三角形内切圆半径为 ，则球的直径为 ，由于棱柱高为 最多 - 8 - 可加工成 个半径为 的球，剩余体积为 ，故选 C. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力， 属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将 其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”， 还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三 视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 11. 【答案】A 【解析】设双曲线的右顶点为 ，当点 时，射线 直线 ，此时 ，即 ， 当 与 重合时， ，由 ，即有 ，由离心率公式 ，故选 A. 【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的 考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ;② 构造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的 统一定义求解．本题中，根据 ,建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出 之间的 关系，求出离心率 ． 12. 【答案】B 【解析】 在 上递增，在 上递减， 在 处有极大值 ，①正确； 时， 时， 在 上有唯 一零点，在 上没有零点，②错误； 关于 对称的函数为 ， ， ，函数 在 上递减， ， ，③正确； 等价于 在 上递增，在 上递减， ， ，④正确，所以正确的命题个数为 ，故选 B. 【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的极值值以及不等式恒成立 问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数 恒成立( 可)或 恒成立（ 即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值 或 恒成立；④ 讨论参数.本题第四个命题的判断就是利用方法 ① 求得 的 范围的. 13. 【答案】112 - 9 - 【解析】 的二项展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大， ， 展开式的通 项公式为 ，当 时， ，故它的常数项是 ，故答案为 . 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的 问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命 题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系 数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 14. 【答案】 【解析】由三角函数的定义可知 ， ， ， ，故答案为 . 15.【答案】 【解析】 在 上单调递增， ，即 ， 由 ，得 ， 时， ，综上， ，故答案为 . 16.【答案】 （或 ） 【解析】 是偶函数，零点关于原点对称，而 有唯一零点， 该零点只能为 ，即 ，得 为公比是 的等比数列，由此 ， ， ，两 式相减 ， - 10 - ，设 ， ，两式相减 ， ，故答案为 . 17. 【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）函数 一个周期内的单调递减区间是 ，可得周期，进而可得 ,由 ，可得 ，平移得 ,放缩可得 ；（2） ，可得 ，结合图象 可得 . 试题解析：（1）由函数 在它的某一个周期内的单调递减区间是 可得 ,又 ， . （2） ， ，由图象可得 . 18【答案】（1）见解析（2） 【解析】试题分析：（1）由等腰三角形的性质可得 ， ,翻折后垂直关系没 变，仍有 , 平面 ，从而得 ； (2) 二面角 的平面角，由余弦定理得 ,由勾股定理可得 , 两两垂直，以 为原 点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量与 的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果. 试题解析：（1） ,翻折后垂直关系没变，仍有 , . (2) , 二面角 的平面角， - 11 - ，又 ,由余弦定理得 , , , 两两垂直. 以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图直角坐标系. 则 设平面 的法向量 由 可得 . 故 PC 与平面 PEF 所成的角的正弦值为 . 【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的 一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相 应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求 出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19.【答案】（1）没有 85%的理由（2）① ，②见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先列出列联表，然后根据公式求出 ， 与临界值比较即可得结果；（Ⅱ）①令事件 为“城市 I 被选中”；事件 为“城市 II 被选中”， 则 ,由条件概率公式可得结果；②随机变量 的所有可能取值为 , 根据古典概型概率公式结合组合知识求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进 而利用期望公式可得 的数学期望. - 12 - 试题解析：（Ⅰ）根据题意列出 列联表如下： 优质城市 单车品牌 优质城市 非优质城市 合计 甲品牌（个） 3 2 5 乙品牌（个） 2 3 5 合计 5 5 10 ， 所以没有 85%的把握认为“优质潜力城市”与“共享单车”品牌有关． （Ⅱ）①令事件 为“城市 I 被选中”；事件 为“城市 II 被选中”， 则 , 所以 ． ②随机变量 的所有可能取值为 , ； ； ．故 的分布列为 1 2 3 . 【方法点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望及独立性检验的应用，属于 难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）根据公式 计算 的值；(3) 查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断. （注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错 - 13 - 误.） 20.【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）由焦点到准线的距离为 可得 ，于是圆的半径为 ，联立 得 ， ， ，从而可得结果；（2）由 （1）可得 ， 替换 可得 ， ，求得直线方程为 ，所以直线 过定点（0,3）. 试题解析：（1）由题意可得 ，所以 ,圆的半径为 1，设 ， ，由 得 ， ， (2) ， 当 时直线 l1 与抛物线没有交点，所以 用 替换 可得 ， 所以 的直线方程为 ， 化简得 ，所以直线 过定点（0,3）. 21. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析：（1）先证明 时 ，此时无零点；当 ，分两种情况 讨论 的范围，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得函数 零点的个数；（2） 要证明 ，要证 ， ， - 14 - 只需证明要证 ， ，只需证明 , 利用导数研究函数 的单调性，可证明 的最小值大于零，从而可得结果. 试题解析：（1）函数 F（x）的定义域为 ．当 时， ， 所以 ．即 F（x）在区间 上没有零点．当 时， ，令 ． 只要讨论 h（x）的零点即可． 当 时， ，h （x）是减函数；当 时， ，h（x）是增函数．所以 h（x）在区间 最 小值为 ． 显然，当 时， ,所以 是 的唯一的零点；当 时， ，所以 F（x）没有零点；当 时， ，所以 F（x）有 两个零点． （2）若 ， ，要证 ，即要证 ， 下证要证 ， ， 设 ，令 ， 在 上单调递减，在 上单调递增. 在 上只有一个零点 ， ， 在 上单调递减，在 上单调递增. = ，又 ， - 15 - ，即证. 22. 【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）先将曲线 参数方程与曲线 的参数方程化为直角坐标方程，然后利 用利用 即可得曲线 ， 的极坐标方程；（2）设 ， ，利用二倍角公式及两角差的余弦 公式化简后，根据三角函数的有界性可得结果. 试题解析：（1）在直角坐标系 中，曲线 ，曲线 ， 所以曲 线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ， . （2）设 ， 时， 有最大值 . 23. 【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：(1)分类讨论 和 两种情况求解(2)分类讨论去绝对值，求分 段函数的最小值 解析：（1） 或 解得 或 所以原不等式的解集是 （2）依题意，求 的最小值， 所以 最小值 9.