2013莆田3月份质检理数试卷(2) 10页

‎2013年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．‎ ‎1．设全集，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知平面向量，若，则实数的值等于（ ）‎ A．2 B．‎-2 C． D．‎ ‎3．“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎ ‎4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序。若输入（为虚数单位），则输出的结果是（ ）‎ A．1 B． C．-1 D．‎ ‎5．若某几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同，则该几何体的正视图不可能的是（ ）‎ ‎6．任意画一个正方形，再将这个正方体各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示。若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．抛物线与过其焦点且垂直于轴的直线的直线相交于、两点，其准线与轴的交点为，则过三点的圆的标准方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在中，角所对的边分别为。若，且，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若不等式组表示的平面区域是一个等腰三角形区域，则直线 的倾斜角的大小是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．对于函数，，若满足对任意正数，总存在正数，使得对任意，，只要，就有，则称函数在定义域D内具有性质P。下列四个函数：①； ②；‎ ‎③； ④‎ 其中在定义域内具有性质P的函数的序号是（ ）‎ A．①② B．①③ C．②④ D．③④‎ 二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卷的相应位置．‎ ‎11．若，则 。‎ ‎12．的展开式中的系数是 。‎ ‎13．已知、为实数，，若函数是奇函数，则的最小值是 。‎ ‎14．一组数据如茎叶图所示。若从中剔除2个数据，使得新数据组的平均数不变且方差最小，则剔除的2个数据的积等于 。‎ ‎15．已知P是双曲线右支上异于顶点的一点，、分别是双曲线的左、右焦点，是的内切圆的圆心。若，则 。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 数列的前项和为，对，点恒在直线上，点恒在抛物线上，其中为常数。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求直线与抛物线所围成的封闭图形的面积。‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 某数学兴趣小组共10名学生，参加一次只有5道填空题的测试。填空第题的难度计算公式为（其中为答对该题的人数，为参加测试的总人数）。该次测试每道填空题的考前预估难度及考后实测难度的数据如下表：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 考前预估难度 ‎0.9‎ ‎0.8‎ ‎0.7‎ ‎0.6‎ ‎0.4‎ 考后实测难度 ‎0.8‎ ‎0.8‎ ‎0.7‎ ‎0.7‎ ‎0.2‎ ‎（1）定义描述填空题难度预估值与实测值偏离程度的统计量为，若，则称填空题的难度预估是合理的，否则为不合理。请你判断该次测试中填空题的难度预估是否合理？并说明理由；‎ ‎（2）从该小组中随机抽取2个考生，记被抽取的考生中第5题答对的人数为，求的分布列及数学期望。‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 已知为实数，函数。‎ ‎（1）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围。‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ 如图，正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为2，P为棱CD上的一点，且三棱锥A- CP D1的体积为。‎ ‎（1）求CP的长；‎ ‎（2）求直线AD与平面APD1所成的角的正弦值；‎ ‎（3）请直接写出正方体的棱上满足C‎1M∥平面APD1的所有点M的位置，并任选其中的一点予以证明。‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知直线过椭圆的两个顶点。‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）F为椭圆E的左焦点，且P 椭圆上的动点，过点M作直线PF的垂线，垂足为N，当变化时，线段PN的长度是否为定值？若是，请写出这个定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由。‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 湄洲湾港被誉为“世界不多，中国少有”的天然良港。港口各泊位每天的水深（水面与洋底的距离）（单位：米）与时间（单位：小时）的函数关系近似地满足。在通常情况下，港口各泊位能正常进行额定吨位的货船的装卸货任务，而当货船的吨位超过泊位的额定吨位时，货船需在涨潮时驶入航道，靠近码头卸货，在落潮时返回海洋。‎ 该港口某五万吨级泊位接到一艘七万吨货船卸货的紧急任务，货船将凌晨0点在该泊位开始卸货。已知该泊位当天的最低水深‎12米，最大水深‎20米，并在凌晨3点达到最大水深。‎ ‎（1）求该泊位当天的水深f(x)的解析式；‎ ‎（2）已知该货船的吃水深度（船底与水面的距离）为12。‎5米，安全条例规定，当船底与洋底距离不足1。‎5米时，货船必须停止卸货，并将船驶向较深的水域。据测算，一个装卸小队可使货船吃水深度以每小时0。‎1米的速度减少。‎ ‎（Ⅰ）如果只安排一装卸小队进行卸货，那么该船在什么时间必须停止卸货，并将船驶向较深的水域（精确到小时）？‎ ‎（Ⅱ）如果安排三个这样的装卸小队同时执行该货船的卸货任务，问能否连续不间断的完成卸货任务？说明你的理由。‎