【数学】2020届数学文一轮复习第八章第4讲直线、平面平行的判定与性质作业 8页

‎1．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．m∥l1且n∥l2　　　　 B.m∥β且n∥l2‎ C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α 解析：选A.由m∥l1，m⊂α，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，l1，l2⊂β，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．‎ ‎2．已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，以下命题正确的是(　　)‎ ‎①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；‎ ‎②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则l⊥n；‎ ‎③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；‎ ‎④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n.‎ A．①③ B.③④‎ C．②④ D．③‎ 解析：选D.①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α，β相交；‎ ‎②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则l⊥n或l∥n或l，n异面；‎ ‎③正确；‎ ‎④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n或m∥n或m，n异面．‎ ‎3.‎ 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　)‎ A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 解析：选B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EFBD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HGBD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．‎ ‎4.‎ 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：‎ ‎①FG∥平面AA1D1D；‎ ‎②EF∥平面BC1D1；‎ ‎③FG∥平面BC1D1；‎ ‎④平面EFG∥平面BC1D1.‎ 其中推断正确的序号是(　　)‎ A．①③ B.①④‎ C．②③ D．②④‎ 解析：选A.因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，‎ 因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故①正确；‎ 因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误；‎ 因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，‎ 所以FG∥BC1，因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，‎ 所以FG∥平面BC1D1，故③正确；‎ 因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.‎ ‎5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；‎ ‎②若m∥l，且m∥α，则l∥α；‎ ‎③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；‎ ‎④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．1 B.2‎ C．3 D．4‎ 解析：选B.由题易知①正确；②错误，l也可以在α内；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例说明，故选B.‎ ‎6.‎ 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：‎ ‎①没有水的部分始终呈棱柱形；‎ ‎②水面EFGH所在四边形的面积为定值；‎ ‎③棱A1D1始终与水面所在平面平行；‎ ‎④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．‎ 其中正确的命题是________．‎ 解析：由题图，显然①是正确的，②是错误的；‎ 对于③，因为A1D1∥BC，BC∥FG，‎ 所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，‎ 所以A1D1∥平面EFGH(水面)．‎ 所以③是正确的；‎ 对于④，因为水是定量的(定体积V)，‎ 所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V.‎ 所以BE·BF＝(定值)，即④是正确的．‎ 答案：①③④‎ ‎7．棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．‎ 解析：由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为.‎ 答案： ‎8．已知平面α∥β，P∉α且P∉ β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．‎ 解析：如图1，因为AC∩BD＝P，‎ 图1‎ 所以经过直线AC与BD可确定平面PCD.‎ 因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，‎ β∩平面PCD＝CD，‎ 所以AB∥CD.所以＝，‎ 即＝，所以BD＝.‎ 如图2，同理可证AB∥CD.‎ 图2‎ 所以＝，即＝，‎ 所以BD＝24.综上所述，BD＝或24.‎ 答案：或24‎ ‎9．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，E，F分别是线段A1D，BC1的中点．延长D1A1到点G，使得D1A1＝A1G.证明：GB∥平面DEF.‎ 证明：连接A1C，B1C，则B1C，BC1交于点F.‎ 因为CBD1A1，D1A1＝A1G，‎ 所以CBA1G，所以四边形BCA1G是平行四边形，所以GB∥A1C.‎ 又GB⊄平面A1B1CD，A1C⊂平面A1B1CD，‎ 所以GB∥平面A1B1CD.又点D，E，F均在平面A1B1CD内，所以GB∥平面DEF.‎ ‎10.‎ 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：‎ ‎(1)BF∥HD1；‎ ‎(2)EG∥平面BB1D1D；‎ ‎(3)平面BDF∥平面B1D1H.‎ 证明：‎ ‎(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，‎ 所以HD1∥MC1.‎ 又因为MC1∥BF，‎ 所以BF∥HD1.‎ ‎(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，‎ 则OEDC，又D1GDC，‎ 所以OED1G，所以四边形OEGD1是平行四边形，所以GE∥D1O.‎ 又GE⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，所以EG∥平面BB1D1D.‎ ‎(3)由(1)知BF∥HD1，又BD∥B1D1，B1D1，HD1⊂平面B1D1H，BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，‎ 所以平面BDF∥平面B1D1H.‎ ‎1.‎ 如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的为(　　)‎ A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AC∥截面PQMN D．异面直线PM与BD所成的角为45°‎ 解析：选B.因为截面PQMN是正方形，‎ 所以PQ∥MN，QM∥PN，‎ 则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，‎ 所以PQ∥AC，QM∥BD，‎ 由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；‎ 由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故C正确；‎ 由BD∥PN，‎ 所以∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，D正确；‎ 由上面可知：BD∥PN，MN∥AC.‎ 所以＝，＝，‎ 而AN≠DN，PN＝MN，‎ 所以BD≠AC.B错误．故选B.‎ ‎2．设α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确条件的序号都填上)．‎ 解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故填入的条件为①或③.‎ 答案：①或③‎ ‎3.‎ 如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是 BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)‎ 解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，‎ 所以平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，‎ 所以MN∥平面B1BDD1.‎ 答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)‎ ‎4.‎ 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC＝，AC＝4，M为AA1的中点，点P为BM的中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC，则PQ的长度为________．‎ 解析：由题意知，AB＝8，过点P作PD∥AB交AA1于点D，连接DQ，则D为AM的中点，PD＝AB＝4.‎ 又因为＝＝3，‎ 所以DQ∥AC，∠PDQ＝，DQ＝AC＝3，‎ 在△PDQ中，‎ PQ＝＝.‎ 答案： ‎5．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．‎ ‎(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；‎ ‎(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．‎ 解： (1)点F，G，H的位置如图所示．‎ ‎(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：‎ 因为ABCDEFGH为正方体，‎ 所以BC∥FG，BC＝FG，‎ 又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，‎ 于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.‎ 又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，‎ 所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.‎ 又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.‎ ‎6．如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．‎ ‎(1)求证：BE∥平面DMF；‎ ‎(2)求证：平面BDE∥平面MNG.‎ 证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.‎ ‎(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，‎ 所以DE∥平面MNG.‎ 又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，‎ 所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，‎ 所以BD∥平面MNG，‎ 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.‎