高考数学专题复习练习第八章 第十节 直线与圆锥的位置关系[理] 7页

第八章 第十节 直线与圆锥的位置关系[理]‎ 课下练兵场 命 题 报 告 ‎　　　　难度及题号 知识点　‎ 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题(题号)‎ 直线与圆锥曲线的位置关系 ‎1、3‎ ‎5、7、8、9‎ 相交弦的问题 ‎2、4‎ ‎6‎ 综合应用 ‎10‎ ‎11、12‎ 一、选择题 ‎1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 (　　)‎ A．[－，]　　　　　B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4]‎ 解析：设直线方程为y＝k(x＋2)，与抛物线联立方程组，整理得ky2－8y＋16k＝0.当k＝0时，直线与抛物线有一个交点．当k≠0时，由Δ＝64－64k2≥0，解得－1≤k≤1.所以－1≤k≤1.‎ 答案：C ‎2．(2010·西城模拟)设斜率为1的直线l与椭圆C：＋＝1相交于不同的两点A、B，则使|AB|为整数的直线l共有 (　　)‎ A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 解析：设直线AB的方程为y＝x＋b，代入椭圆C：＋＝1，可得3x2＋4bx＋2b2－4＝0，由Δ＝16b2－12(2b2－4)>0，可得b2<6，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝×＝×＝，分别取b2＝，，时，可分别得|AB|＝2,1,3，此时对应的直线l有6条．‎ 答案：C ‎3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线与椭圆有一个交点P，且PF2⊥x轴，则此椭圆的离心率e为 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：在Rt△PF‎2F1中，∠PF‎1F2＝30°，|F‎1F2|＝‎2c，|PF1|＝2|PF2|，根据椭圆的定义得|PF2|＝a，|PF1|＝a，又|PF1|2－|PF2|2＝|F‎1F2|2，即a2－a2＝‎4c2，∴e＝＝.‎ 答案：A ‎4．过抛物线y2＝4x的焦点F作两条弦AB和CD，且AB⊥x轴，|CD|＝2|AB|，则弦CD所在直线的方程是 (　　)‎ A．x－y－1＝0‎ B．x－y－1＝0或x＋y－1＝0‎ C．y＝(x－1)‎ D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)‎ 解析：依题意知AB为抛物线的通径，|AB|＝2p＝4，|CD|＝2|AB|＝8，显然满足条件的直线CD有两条，验证选项B，由得：x2－6x＋1＝0，x1＋x2＝6，此时|CD|＝x1＋x2＋p＝8，符合题意．同理，x＋y－1＝0也符合题意．‎ 答案：B ‎5．已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F‎1F2为斜边作等腰直角三角形F1MF2，如果线段MF1的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是 (　　)‎ A.＋ B.－ C. D. 解析：记双曲线的焦距为‎2c.依题意知点M在y轴上，不妨设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，M在y轴正半轴上，则有F1(－c,0)，M(0，c)，线段MF1的中点坐标是(－，)．又线段MF1的中点在双曲线上，于是有－＝1，即－＝4，－＝4，(e2)2－6e2＋4＝0，e2＝3±.又e2>1，因此e2＝3＋，注意到()2＝3＋，e＝.‎ 答案：C ‎6．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为 (　　)‎ A．2 B. C. D. 解析：设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)＞0，即t2＜5.弦长|AB|＝4×≤.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7．若斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．‎ 解析：由题意易知两交点的横坐标为－c，c，纵坐标分别为－，，所以由＝⇒2b2＝ac＝2(a2－c2)，即2e2＋e－2＝0，解得e＝(负根舍去)．‎ 答案： ‎8．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是 ________.‎ 解析：由y2＝8x知2p＝8，p＝4.‎ 设B点坐标为(xB，yB)，由AB直线过焦点F，‎ ‎∴直线AB方程为y＝(x－2)，‎ 把点B(xB，yB)代入上式得：‎ yB＝(xB－2)＝(－2)，‎ 解得yB＝－2，∴xB＝，‎ ‎∴线段AB中点到准线的距离为＋2＝.‎ 答案： ‎9．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.‎ 解析：根据抛物线的焦半径公式得1＋＝5，p＝8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(0,1)，且它的离心率与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)过点A且斜率为k的直线l与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上，且满足＝＋，求k的值．‎ 解：(1)∵双曲线－y2＝1的离心率为，‎ ‎∴椭圆的离心率为.‎ 又∵b＝1，∴a＝2.‎ ‎∴椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m，n)．‎ 由　得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝－，x1·x2＝0.‎ ‎∵＝＋，‎ ‎∴m＝(x1＋x2)，n＝(y1＋y2)，‎ ‎∵点M在椭圆上，∴m2＋4n2＝4，‎ ‎∴(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2‎ ‎＝[(x＋4y)＋3(x＋4y)＋2x1x2＋8y1y2]‎ ‎＝[4＋12＋8y1y2]＝4.‎ ‎∴y1y2＝0，‎ ‎∴(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1‎ ‎＝k·(－)＋1＝0，‎ 即k2＝，∴k＝±.‎ 此时Δ＝(8k)2－4(1＋4k2)×0＝64k2＝16＞0‎ ‎∴k的值为±.‎ ‎11．(2010·大连模拟)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴为短轴的倍，直线y＝x与椭圆交于A、B两点，C为椭圆的右顶点，·＝.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若椭圆上两点E、F使＋＝λ，λ∈(0,2)，求△OEF面积的最大值．‎ 解：(1)根据题意，a＝b，C(a,0)，‎ 设A(t，t)，则t>0，＋＝1.‎ 解得t2＝＝b2，即t＝b，‎ ‎∴＝(b，b)，＝(a,0)，‎ ‎·＝ab＝b2＝，‎ ‎∴b＝1，a＝，‎ ‎∴椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，EF中点为M(x0，y0)，‎ ‎∵＋＝λ，‎ ‎∴ ‎∵E、F在椭圆上，则 由①－②得＋y－y＝0，‎ ‎∴kEF＝＝－×＝－，‎ ‎∴直线EF的方程为y－λ＝－(x－λ)，‎ 即x＝－3y＋λ，代入＋y2＝1，‎ 整理得4y2－2λy＋λ2－1＝0，‎ ‎∴y1＋y2＝λ，y1y2＝，‎ ‎∴|EF|＝＝|y1－y2|‎ ‎＝·＝·，‎ 又∵原点O(0,0)到直线EF的距离为h＝，‎ ‎∴S△OEF＝|EF|h＝ ‎＝ ≤ ×＝，‎ 当λ＝时等号成立，所以△OEF面积的最大值为.‎ ‎12．已知椭圆C1的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为e＝，点P为椭圆上一动点，点F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，且△PF‎1F2面积的最大值为.‎ ‎(1)求椭圆C1的方程；‎ ‎(2)设椭圆短轴的上端点为A，点M为动点，且||2，·，·成等差数列，求动点M的轨迹C2的方程；‎ ‎(3)过点M作C2的切线l交C1于Q、R两点，求证：·＝0.‎ 解：(1)设椭圆C1的方程为＋＝1(a>b>0)，c＝，则＝，所以a＝2b.‎ 由椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，‎ ‎△PF‎1F2的面积最大，故|F‎1F2|b＝bc＝，‎ 解得a＝2，b＝1.‎ 故所求椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知A(0,1)，F1(－，0)，F2(，0)，‎ 设M(x，y)，则＝(－，1)，＝(x－，y)，‎ ‎＝(x，y－1)，＝(－，－1)．‎ 由已知条件得x(x－)＋y(y－1)＝－x－y，整理，得M的轨迹C2的方程为x2＋y2＝.‎ ‎(3)证明：l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋m，代入椭圆方程并整理，得 ‎(1＋4k2)x2＋8mkx＋‎4m2‎－4＝0，‎ Δ＝(8mk)2－16(m2－1)(1＋4k2)>0.‎ 设Q(x1，y1)，R(x2，y2)，则 x1＋x2＝－，x1·x2＝，‎ 所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)‎ ‎＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，‎ ‎·＝x1x2＋y1y2‎ ‎＝(1＋k2)x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2‎ ‎＝－＋m2＝.‎ 又l与C2相切，所以＝，‎ 即‎5m2‎－4k2－4＝0.‎ 所以·＝0.‎ 当l的斜率不存在时，l的方程为x＝±，带入椭圆方程得Q(，)，R(，－)或Q(－，)，‎ R(－，－)，此时，·＝－＝0.‎ 综上所述，·＝0.‎