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- 2021-06-30 发布
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第二章 第6节
1.(2020·呼和浩特市模拟)已知点在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)是( )
A.定义域内的减函数 B.奇函数
C.偶函数 D.定义域内的增函数
解析:B [∵点在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,∴a-1=1,解得a=2,∴2b=,解得b=-3,
∴f(x)=x-3,
∴函数f(x)是定义域上的奇函数,且在(-∞,0),
(0,+∞)上是减函数.]
2.(2020·唐山市一模)已知a=3-,b=2-,c=ln 3,则( )
A.a<c<b B.a<b<c
C.b<c<a D.b<a<c
解析:D [∵a=3-,b=2-=4-,又y=x-在(0,+∞)上单调递减.
∴b<a<1,又c=ln 3>1,则b<a<c,故选D.]
3.幂函数y=xm2-4m(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:C [∵y=xm2-4m (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点,
∴m2-4m<0,即00时,函数f(x)在对称轴右侧单调递增,不满足题意;当a<0时,函数f(x)的图象的对称轴为x=-,∵函数f(x)在区间[-1,+∞)上单调递减,∴-≤-1,得-3≤a<0.综上可知,实数a的取值范围是[-3,0].]
5.(2020·黔东南州一模)二次函数y=-x2-4x(x>-2)与指数函数y=x的交点个数有( )
A.3个 B.2个
C.1个 D.0个
解析:C [因为二次函数y=-x2-4x=-(x+2)2+4(x>-2),
且x=-1时,y=-x2-4x=3,y=x=2,
则在坐标系中画出y=-x2-4x(x>-2)与y=x的图象:
由图可得,两个函数图象的交点个数是1个.]
6.若函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,则实数a等于 ________ .
解析:函数f(x)=x2-ax-a的图象为开口向上的抛物线,∴函数的最大值在区间的端点取得,∵f(0)=-a,f(2)=4-3a,∴或
解得a=1.
答案:1
7.已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈N*)的图象与x轴、y轴无交点且关于原点对称,则m= ________ .
解析:由题意知m2-2m-3为奇数且m2-2m-3<0,由m2-2m-3<0得-1<m<3,又m∈N*,故m=1,2.
当m=1时,m2-2m-3=1-2-3=-4(舍去).
当m=2时,m2-2m-3=22-2×2-3=-3,∴m=2.
答案:2
8.已知二次函数f(x)=ax2-2x+c的值域为[0,+∞),则+的最小值为 ________ .
解析:由二次函数f(x)=ax2-2x+c的值域为[0,+∞),
可得判别式Δ=4-4ac=0,
即有ac=1,且a>0,c>0,
所以+≥2=2×3=6,
当且仅当=,即有c=,a=3,取得最小值6.
答案:6
9.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)-ax-3在[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围.
解:(1)由题意m2-5m+7=1,解得m=2或m=3,
若m=2,与f(x)是偶函数矛盾,舍去,
所以m=3,所以f(x)=x2.
(2)g(x)=f(x)-ax-3=x2-ax-3,g(x)的对称轴是x=,若g(x)在[1,3]上不是单调函数,
则1<<3,解得2x+k在区间[-3,-1]上恒成立,试求k的范围.
解:(1)由题意知
解得所以f(x)=x2+2x+1,
由f(x)=(x+1)2知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1].
(2)由题意知,x2+2x+1>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,即k
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