福建省三明市第一中学2019届高三下学期开学考试 数学（理）试题（PDF版） 13页

理科数学试题 第1页（共 6 页） 三明一中 2018—2019 学年高三寒假返校考 理科数学试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．复数 2 1i i+ − 的虚部为 A． 1 2 B． 3 2 C． 1 2 i D． 3 2 i 2．已知集合 { | 1 }A x y x= = − , { | 0}1 xBxx=− ,则 A． A B B=∩ B． { | 0 1}A B x x=  ∩ C． AB D． AB= R∪ 3．《几何原本》卷 2 的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据， 通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有图形：AB 是半圆 O 的直径，点 D 在半圆周上，CD⊥AB 于点 C，设 AC＝a，BC＝b，直接通过比较线段 OD 与线段 CD 的长度可以完成的“无字证明”为 A． b＋m a＋m> b a(b>a>0，m>0) B． a2＋b2≥ 2 2 (a＋b)(a>0，b>0) C． 2ab a＋b≤ ab(a>0，b>0) D． a＋b 2 ≥ ab(a>0，b>0) 4．如图给出的是 2000 年至 2016 年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是 A．2000 年以来我国实际利用外资规模与年份呈负 相关 B．2010 年以来我国实际利用外资规模逐年增大 C．2008 年我国实际利用外资同比增速最大 D．2010 年我国实际利用外资同比增速最大 理科数学试题 第2页（共 6 页） 5． 25 3 2()x x− 展开式中的常数项为 A．40 B．－40 C．80 D．－80 6．若要从 10 名高三年级优秀学生中挑选 3 人参加重点高校 2019 年中学生冬令营活动，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 A．28 B．49 C．56 D．85 7．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝－11，a3＋a7＝－6，则当 Sn 取最小值时， n = A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图，设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域，E 是 D 内位于函数 1 ( 0)yxx=图象下方的区域(阴 影部分)，从 D 内随机取一个点 M，则点 M 取自 E 内的概率为( ) A． ln 2 2 B． 1－ln 2 2 C． 1＋ln 2 2 D． 2－ln 2 2 9．若 2log 3a = ， 4log 8b = ， 5log 8c = ，则 ,,abc的大小关系为 A． abc B． a c b C．bac D．c b a 10．袋子里有编号为2,3,4,5,6 的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球． 教师把所取两球编号的和 只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号． 甲说：“我无法确定．” 乙说：“我也无法确定．” 甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了．” 根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中 A．一定有 3 号球 B．一定没有 3 号球 C．可能有 5 号球 D．可能有 6 号球 理科数学试题 第3页（共 6 页） 11．当 =x 时，函数 2cos4sin2)( 2 xxxf −+= 取得最大值，则 =cos A． 5 5 B． 5 5− C． 25 5 D． 25 5− 12．已知二次函数 2()f x ax bx c= + + 的导数为 ()fx ， (0) 0f   ，对于任意的实数 x 都有 ( ) 0fx ， 则 (1) (0) f f  的取值范围是( ) A． 3 2，＋∞ B．[2，＋∞) C． 5 2，＋∞ D．[3，＋∞) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知变量 ,xy满足条件 1, 2, 0, x y xy     − 则 z x y=+的最小值是__________． 14．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画的是某几何体的三视图， 则该几何体的外接球的表面积为 ． 15．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，a1＝0，若 an＋1＝[1＋(－1)n]an＋(－2)n(n∈N*)，则 2nS = ______． 16．在△ABC 中，AB⊥AC，AB＝1 t ，AC＝t，P 是△ABC 所在平面内一点，若 4 | | | | AB ACAP AB AC =+，则 △PBC 面积的最小值为____________． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17 题～第 21 题为必考题，每个 试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分 17．（12 分） 在 ABC△ 中，已知角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ，3 2sin 4cos 2BB+= ． （1）求sin B ； （2）若 B 为锐角，(4 15)sin (sin sin )B b A C+ = + ，且 ABC 的面积为 15 2 ，求 的周长． 理科数学试题 第4页（共 6 页） 18．（12 分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中，点 D ， E 分别是 1AA ， BC 的中点． （1）证明： //DE 平面 11A B C ； （2）若侧面 11ACC A ⊥底面 ABC ， 1 60A AC = ， 124AC AA==， 2AB = ， 60BAC =  ，过直 线 DE 作平面 与平面 相交，交线为 l ，求直线 与平面 11ABB A 所成角的正弦值． 19．（ 12 分） 已知椭圆 的两个焦点坐标分别是( 1, 0)− ， (1, 0) ，并且经过点 3 21( , )24− ． （1）求 的标准方程； （2）过椭圆 E 的右焦点 F 的直线l 与椭圆交于两点 ,AB，在 x 轴上是否存在点 M ，使得 MA MB 为定 值？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（12 分） 为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽 车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按 1 元/公里计费；②行驶时间不超过 40 分时， 按 0.12 元/分计费；超过 40 分时，超出部分按 0.20 元/分计费．已知张先生家离上班地点 15 公里，每天租 理科数学试题 第5页（共 6 页） 用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t (分)是一个随机变量．现 统计了 50 次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示： 时间t （分） ( 20,30 ( 30,40 ( 40,50 ( 50,60 频数 2 18 20 10 将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为( 20,60 分． （1）写出张先生一次租车费用 y （元）与用车时间 （分）的函数关系式； （2）若张先生一次开车时间不超过 40 分为“路段畅通”，设 表示 3 次租用新能源分时租赁汽车中“路段 畅通”的次数，求 的分布列和期望； （3）若公司每月给 1000 元的车补，请估计张先生每月（按 22 天计算）的车补是否足够上、下班租用新 能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表） 21．（12 分） 函数 ( ) ( )ln 2axf x x a a Rx= − + − +  ． （1）当曲线 ( )y f x= 在点 ( )( )1, 1f 处的切线与直线 yx= 垂直时，判断函数 ( )fx在区间( ),e + 上的单调 性； （2）若函数 ( ) ( ) 2 4 aF x f x x=+在定义域内有两个零点，求 a 的取值范围． 理科数学试题 第6页（共 6 页） （二）选考题：共 10 分．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分． 22．[ 选修 4－4：坐标系与参数方程] （10 分） 已知极坐标系中，点 )4,24( M ，曲线C 的极坐标方程为 012sin3cos 2222 =−+  ，点 N 在曲线 C 上运动，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为 210 ,2 ( 2 2 xt t yt  =+  = 为参数) ． （1）求直线 的极坐标方程与曲线 的参数方程； （2）求线段 MN 的中点 P 到直线 的距离的最大值． 23． 选修 4－5：不等式选讲 （10 分） 已知函数 222)( −−−= xxxf ， 1)( += xxg ． （1）求不等式 )()( xgxf  的解集； （2）当 ]1,2( aax +− 时， )()( xgxf  恒成立，求 a 的取值范围． 理科数学答案 第1页（共7页） 三明一中 2018—2019 学年高三寒假返校考 理科数学参考答案 一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D C A B A C A D D B 二．填空题： 13．2 14．38π 15． 2122 3 n+− 16． 3 2 三、解答题： 17．解：（1）∵ 23 2sin 4cos2 4(1 2sin )B B B+ = = − ， ………………1 分 ∴ 1sin 4B = 或 1sin 2B =− ． ………………3 分 在 ABC 中，∵sin 0B  ，∴ 1sin 4B = ． ………………4 分 （2）设内角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc， ∵ (4 15)sin (sin sin )B b A C+ = + ，∴(4 15) ( )b b a c+ = + ， ∴ 4 15ac+ = + ． ………………6 分 又∵ 的面积为15 2 ，∴ 1 1 1 15sin2 2 4 2ac B ac=  = ， ∴ 4 15ac = ． ………………8 分 ∵ B 为锐角，∴ 15cos 4B = ， 由余弦定理得 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 15( ) 2 2 14a c ac ac= + − −  = ， ∴ 1b = ， ………………10 分 ∴ 的周长为5 15+ ． ………………12 分 18．解：（1）证明：取 AC 的中点 F ，连接 DF ， EF ， E 是 BC 的中点， //EF AB ， 1 1 1ABC A B C− 是三棱柱， 11//AB A B ， 理科数学答案 第2页（共7页）  11//EF A B ，又 EF  平面 11A B C ， 11AB  平面 ， //EF 平面 ， ………………2 分 D 是 1AA 的中点， 1//DF A C ，又 DF  平面 ， 1CA  平面 ， //DF 平面 ， ………………3 分 EF DF F= ， EF  平面 DEF ， DF  平面 ， 平面 //DEF 平面 ， ………………4 分 又 DE 平面 ， //DE 平面 ； ………………5 分 （2）由（1）知 平面 ，又 DE  ， 平面 11A B C l= ， //DE l ， ………………6 分 所以直线l 与平面 11ABB A 所成角的正弦值等于直线DE 与平面 所成角的正弦值. 过点 1A 作 1AO AC⊥ ，垂足为O ，连接OB ， 侧面 1ACC A ⊥ 底面 ABC ， 1AO⊥ 平面 ， 1AO OB⊥ ， 1AO OC⊥ ， 1 60A AC = ， 1 2AA = ， 1OA = ， 1 3OA = ， 2AB = ， 60OAB =  ，由余弦定理得， 2 2 2 2 cos 3OB OA AB OA AB BAC= + −   = ， 3OB = ， 90AOB =  ， OB AC⊥ ， 分别以 ，OC ， 1OA 为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz− ， ……………… 8 分 由题设可得 (0, 1,0)A − ， (0,3,0)C ， ( 3,0,0)B ， 1(0,0, 3)A ， 13(0, , )22D − ， 33( , ,0)22E ， ( 3,1,0)AB= ， 1 (0,1, 3 )AA = ， ………………9 分 理科数学答案 第3页（共7页） 设 1 1 1( , , )m x y z= 是平面 11ABB A 的一个法向量， 则 1 0, 0, m AB n AA  = =  11 11 3 0, 3 0, xy yz  += += 令 1 1z = ， (1, 3,1)m =− ， ………………20 分 33( ,2, )22DE =−， cos ,m DE = 2 330 55| || | m DE m DE −= ，……………11 分 直线 l 与平面 所成角的正弦值为 2 330 55 ． ………………12 分 19．解：（1）因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为 22 221 ( 0)xy abab+ =   ． 由椭圆定义知 2 2 2 23 21 3 212 ( 1) ( ) ( 1) ( )2 4 2 4a = + + − + − + − 4= ， 所以 2a = ． ………………2 分 又因为 1c = ，所以 2 2 2 4 1 3b a c= − = − = ． ………………3 分 因此 E 的标准方程为 22 143 xy+=． ………………4 分 （2）假设存在点 0( ,0)Mx ,使得 MA MB 为定值， 当直线l 的斜率不为0 时，可设直线 的方程为 1x my=+， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 联立 22 143 1 xy x my  +=  =+ , 得 22(3 4) 6 9 0m y my+ + − = ， ………………6 分 则 1 2 1 222 69,3 4 3 4 my y y ymm+ = −  = −++ ， ………………7 分 1 0 1 2 0 2( , ), ( , )MA x x y MB x x y= − = − 22 1 0 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0( ) ( ) ( 1) (1 ) ( ) (1 )MA MB x x x x y y m y y x m y y x  = −  − +  = +  + − + + − 22 0022 96( 1)( ) (1 ) ( ) (1 )3 4 3 4 mm x m xmm= + − + − − + −++ 2 20 02 (6 15) 9 (1 )34 xm xm −−= + −+ ， ………………9 分 理科数学答案 第4页（共7页） 要使上式为定值, 即与 m 无关，应有 06 15 9 34 x − =− 解得 0 11 8x = ，此时 135 64MA MB = − ， ………………11 分 当直线l 的斜率为0 时，不妨设 ( 2,0), (2,0)AB− ， 当 M 的坐标为 11,08   时 135 64MA MB = − ， 综上，存在点 11,08M   使得 为定值． ………………12 分 20．解：（1）当 20 40t 时， 0.12 15yt=+；当 40 60t 时， 0.12 40 0.20( 40) 15 0.2 11.8y t t=  + − + = + ． 得 0.12 15, 20 40, 0.2 11.8, 40 60. tty tt +  =  +   ………………3 分 （2）张先生租用一次新能源分时租赁汽车，“路段畅通”的概率 2 18 2 50 5P +==， 可取 0 ，1， 2 ，3． 03 0 3 2 3 27( 0) 5 5 125PC    = = =       ， 2 1 3 2 3 54( 1) 5 5 125PC   = = =     2 2 3 2 3 36( 2) 5 5 125PC    = = =       ， 30 3 3 2 3 8( 3) 5 5 125PC    = = =       的分布列为 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 ………………7 分 27 54 36 80 1 2 3 1.2125 125 125 125E =  +  +  +  = （或依题意 2(3, )5B ， 23 1.25E =  = ） ………………8 分 （3）张先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间 2 18 20 1025 35 45 55 42.650 50 50 50t =  +  +  +  = （分钟）， 每次上下班租车的费用约为 0.2 42.6 11.8 20.32 + = （元） 理科数学答案 第5页（共7页） 一个月上下班租车费用约为 20.32 22 2 894.08 1000  =  ， 估计张先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用． ………………12 分 21．解：（1）由题意知，函数 ()fx的定义域为 ),0( + ． ( ) 2 (ln 1) 1axfx x − =+， (1) 1 1fa = − = − ，解得 2a = ． ………………2 分 2ln() xf x xx = − + ， ( ) 2 2(ln 1) 1xfx x − =+． 当 ( ),xe + 时，ln 1x  ，则 ( ) 0fx  恒成立， 故函数 ()fx在区间( ),e + 上单调递增． ………………4 分 （2）函数 )(xF 的定义域为 ．若函数 2 ( ) ( ) 4 aF x f x x=+在 内有两个零点， 即方程 2ln 204 a x axaxx− + − + + = 恰有两个不相等的正实根， 也就是方程 2 2ln ( 2) 04 aa x x a x− + − − + = 恰有两个不相等的正实根．………………5 分 令 2 2( ) ln ( 2) 4 ag x a x x a x= − + − − + ， ( ) ( ) ( )( )22 2 2 1( ) 2 2 x a x a x a xag x x a x x x − − − − + = − − − = = ． ………………6 分 当 0a 时， )(xg ＞0 恒成立，函数 )(xg 在( )0,+ 上是增函数， ∴函数 最多一个零点，不合题意，舍去． ………………7 分 当 0a  时，由 ( ) 0gx  得 2 ax  ；由 ( ) 0gx  得 20 ax  ． 所以函数 在 0, 2 a  内单调递减，在    +,2 a 内单调递增． 所以 的最小值是 02 ag  ， ………………8 分 即 22 ln + ( 2) 02 4 2 4 a a a aaa− − −  +  ， ln 02 aaa− +  ． ， ln 12 a，解得 2ae ． ………………10 分 因为 ,04342)-(1)1( 22 +−=+−= aaaag 所以在 )2,1( a 内有一个零点． 因为 1ln − xx ，所以 4)2(ln)( 2 2 axaxxaxg +−−+−= 理科数学答案 第6页（共7页） 4)1(24)2()1( 2 2 2 2 aaxaxaxaxxa ++−−=+−−+−− ． 于是 ,0454)1(44)2( 22 2 +=++−−= aaaaaaaag 所以在 )2,2( aa 内有一个零点． 故实数 a 的取值范围是( )2,e + ． ………………12 分 22．解：（1）依题意，曲线 C 的直角坐标方程为： 223 12 0xy+ − = ，即 22y+112 4 x = ， 故曲线 C 的参数方程为 2 3 cos , 2sin , x y    = = （ 为参数）； 直线 210 ,2: 2 ,2 t l yt  +  = （t 为参数），故 10 0xy− − = ， 故 cos sin 10 0   − − = ，即 cos + =5 24   为直线l 的极坐标方程. ……5 分 （2)设 ( )( )2 3 cos ,2sin 2 ,N      点 M 的极坐标 4 2, 4   化为直角坐标( )4,4 ，则 ( )3 cos +2,sin +2P . 点 P 到直线l 的距离 2sin 103 cos sin 10 3 62 22 d  −+−− = =  ， 当sin 13 −= 时，等号成立. 点 到直线 的距离的最大值为 62. ………………10 分 23. 解：（1） ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 xf x g x x x x  − − −  + 或 ( ) ( ) 12 2 2 2 1 x x x x   − − −  + 或 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 x x x x   − − −  + ，（ 3 分） 理科数学答案 第7页（共7页） 1 1 2 x x   − 或 12 5 2 x x   或 2x  ， 1 12 x −   或12x或 12 2xx   − ， 所以不等式 ( ) ( )f x g x 的解集为 1| 2xx− . ………………6 分 （2）因为当 ( 2 , 1x a a − + 时， ( ) ( )f x g x 恒成立， 所以 的解集包含( 2 , 1aa−+ ， ………………7 分 由（1）得 的解集为 1| 2xx− ， ………………8 分 所以(  12 , 1 , 2aa− +  − −  ， 所以 21 111 2 aa a a  − +   −− +  − . ………………10 分