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- 2021-06-30 发布
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泉州市 2014 届普通中学高中毕业班质量检测
理科数学试题参考解答及评分标准
说明:
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考
生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容
和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如
果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分.
1.C 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.D 8.A 9. B 10.C
二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分.
11、 i− ; 12、16; 13、 65; 14、 200 ; 15、 4 .
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.本小题主要考查组合数公式、概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以
及应用意识,考查必然与或然思想等.满分 13 分.
解:(Ⅰ)依题意,得 0.6a b c+ + = ,即 0.1 0.2 0.6a a a+ + + + = ,解得 0.1a = ,…2 分
所以 0.2, 0.3b c= = .………………3 分
故该队员射击一次,击中目标靶的环数ξ 的分布列为:
ξ 6 7 8 9 10
P 0.1 0.2 0.3 0.36 0.04
…………5 分
6 0.1 7 0.2 8 0.3 9 0.36 10 0.04 8.04Eξ = × + × + × + × + × = . ………………6 分
(Ⅱ)记事件 A :“该队员进行一次射击,击中 9 环”,事件 B :“该队员进行一次射击,击中 10
环”,则事件“该队员进行一次射击,击中 9 环以上(包括 9 环)”为 A B+ .………7 分
因为 A 与 B 互斥,且 ( ) 0.36, ( ) 0.04P A P B= = ,
所以 ( ) ( ) ( ) 0.4P A B P A P B+ = + = . …………8 分
所以,该射击队员在 10 次的射击中,击中 9 环以上(含 9 环)的次数为 k 的概率
10
10( ) 0.4 0.6 ( 0,1,2, ,10)k k kP X k C k−= = × × = . ………………10 分
当 1k ≥ , *k ∈N 时,
10
10
1 1 10 1
10
0.4 0.6( ) 2(11 )
( 1) 0.4 0.6 3
k k k
k k k
CP X k k
P X k C k
−
− − − +
× ×= −= == − × × .
令 ( ) 1( 1)
P X k
P X k
= >= − ,解得 22
5k < . ………………12 分
所以当1 4k≤ ≤ 时, ( 1) ( )P X k P X k= − < = ;
当5 10k≤ ≤ 时, ( 1) ( )P X k P X k= − > = .
综上,可知当 4k = 时, ( )P X k= 取得最大值.………………13 分
17.本小题主要考查平面向量、三角恒等变换、三角函数性质以及解三角形等基础知识,考查运
算求解能力与推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等.满分
13 分.
解:(Ⅰ) ( ) sin 2 3 cos2 2sin(2 )3f x x x x
π= ⋅ = − = −m n , ………………2 分
由 2 2 22 3 2k x k
π π ππ π− + ≤ − ≤ + ,得 5
12 12k x k
π ππ π− + ≤ ≤ + ,k ∈Z .……3 分
所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 5,12 12k k
π ππ π − + + , k ∈Z .………………4 分
(Ⅱ)由 ( ) 02
Af = ,得 2sin( ) 03A
π− = ,
因为0 A π< < ,所以
3A
π= .…………5 分
(ⅰ)由正弦定理,知 cos cos sina B b A c C+ =
可化为 2sin cos sin cos sinA B B A C+ = ,……6 分
故 2sin( ) sinA B C+ = ,………………7 分
又因为 A B Cπ+ = − ,所以 2sin( ) sinC Cπ − = 即 2sin sinC C= ,
因为sin 0C ≠ ,所以sin 1C = ,
又由于0 C π< < ,所以
2C
π= ,………………8 分
所以 ( ) 6B A C
ππ= − + = .………………9 分
(ⅱ) AB ACλ+ ( )2 2 222 cosAB AC AB AB AC A ACλ λ λ= + = + ⋅ + ,…10 分
又 3AB AC= = ,
3A
π= ,
所以 AB ACλ+ ( ) 222 2 2 1 31 (1 )3 3 2 4ABλ λ λ λ λ = + + = + + = + +
,12 分
故当 1
2
λ = − 时, ( )g AB ACλ λ= + 的值取得最小值 3 3
2 .………………13 分
另 解 : 记 AB AC APλ+ = , 则 P 是 过 B 且 与 AC 平 行 的 直 线 l 上 的 动 点 ,
( ) | |g APλ = ,…………12 分
所以 ( )g λ 的最小值即点 A 到直线l 的距离 3 3
2 .…………13 分
18.本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、
运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等.满分 13 分.
解:(Ⅰ)因为 (4,0)A 为椭圆G 的一个长轴端点,
所以可设椭圆G 的方程为
2 2
2 116
x y
b
+ = ,………………1 分
因为当直线l 垂直 x 轴时, 6BC = ,所以椭圆G 过点(2,3) ,……2 分
所以 2
4 9 116 b
+ = ,解得 2 12b = . ………………3 分
故所求椭圆的方程为
2 2
116 12
x y+ = .………………4 分
(Ⅱ)方法 1:设直线l 的方程为 2x my= + ,
联立方程组 2 2
2
3 4 48
x my
x y
= +
+ =
,消去 x ,得 2 2(3 4) 12 36 0m y my+ + − = ,……5 分
设 1 1 2 2( , ), ( , )B x y C x y ,则 1 2 2
12
3 4 ,m
my y+ = − + ……①
1 2 2
36
3 4y my⋅ = − + .……② …………6 分
又 2 2 1 1( 4, ), ( 2, )AC x y FB x y= − = + ,且 AC BF ,………………7 分
故 2 1 1 2( 4) ( 2) 0x y x y− − + = ,即 2 1 1 2( 2) ( 4) 0my y my y− − + = ,
即 1 22y y= − .………③ …………9 分
由①②③得 2 2
212 18
3 4 3 4
m
m m
= + + ,所以 2 4
5m = .…………11 分
当 2 4
5m = 时, 0∆ > ,所以 2 5
5m = ± ,…………12 分
所以直线l 的方程为 2 5 25x y= ± + ,
即5 2 5 10 0x y− − = 或5 2 5 10 0x y+ − = .…………13 分
方法 2:①当直线l 的斜率不存在时, AC 与 BF 不平行;………………5 分
②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为 ( 2)y k x= − ,
联立方程组 2 2
( 2),
3 4 48.
y k x
x y
= −
+ =
消去 y ,整理得 2 2 2 2(3 4 ) 16 16 48 0k x k x k+ − + − = ,…………6 分
设 1 1 2 2( , ), ( , )B x y C x y ,则 1 2
2
2
16
3 4x kx k
= ++ ,…………①
2
2 21
16 48
3 4x k
kx
−= +⋅ …………② …………7 分
又 2 2 1 1( 4, ), ( 2, )AC x y FB x y= − = + ,且 AC BF , ………………8 分
故 2 1 1 2( 4) ( 2) 0x y x y− − + = ,
即 2 1 1 2( 4)( 2) ( 2)( 2) 0k x x k x x− − − + − = ,
即 1 22 6x x+ = …………③ …………9 分
由①③得
2
1 2
2
2 2
8 18
3 4
8 18
3 4
kx k
kx k
−= + + = +
,
代入②得
2 2 2
2 2 2
8 18 8 18 16 48
3 4 3 4 3 4
k k k
k k k
− + −=+ + + ………………11 分
化简,得 2 5
4k = ,
当 2 5
4k = 时, 0∆ > ,故 5
2k = ± ,…………12 分
所以直线l 的方程为5 2 5 10 0x y− − = 或5 2 5 10 0x y+ − = .……13 分
19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理
论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 13 分.
解:(Ⅰ)在正方形 ABCD 中, AB AD⊥ ,
又 PA AB⊥ , PA AD A= ,
∴ AB ⊥ 平面 PAD ,…………2 分
又 PD ⊂ 平面 PAD ,
AB PD∴ ⊥ ………………3 分
(Ⅱ)点 E 、 F 分别是棱 AD 、 BC 的中点,连结 PE , EF ,则 ,PE AD EF AB⊥ ,
又由(Ⅰ)知 AB ⊥ 平面 PAD ,
∴ EF ⊥ 平面 PAD ,
又 ,AD PE ⊂ 平面 PAD ,
∴ ,EF AD EF PE⊥ ⊥ ,………………4 分
如图,以点 E 为坐标原点,分别以 , ,AD EF EP 所
在直线为为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系
O xyz− .
由题设可知: PA PD AB AD= = = ,故不妨设 2AB = ,
则 (1,0,0), ( 1,0,0), (1,2,0), ( 1,2,0), (0,2,0), (0,0, 3)A D B C F P− −
(1,2, 3)PB = − , ( 1,2, 3)PC = − − ,………………5 分
AB ⊥ 平面 PAD , ∴平面 PAD 的一个法向量为 (0,2,0)AB = ,…………6 分
设平面 PBC 的一个法向量为 ( , , )x y z=n ,
,PB PC⊥ ⊥n n
,
∴ 0
0
PB
PC
⋅ = ⋅ =
n
n
,即 2 3 0
2 3 0
x y z
x y z
+ − =
− + − =
,解得
0
2 3 0
x
y z
= − =
,
令 2z = ,得 3y = ,
∴平面 PBC 的一个法向量为 (0, 3,2)=n .………………7 分
设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为θ ,
则 0 2 3 0 3 21cos cos , .72 7 7
ABAB
AB
θ ⋅ + += < > = = = =
⋅
nn
n
∴平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 21.7
……………8 分
(Ⅲ)由(Ⅱ)已证得 PE EF⊥ ,则截面 PEF∆ 为直角三角形.
x
y
z
FE(O)
D
C
BA
P
1 1 1,2 2PEF PADS EF EP AD EP S∆ ∆= ⋅ = ⋅ = =
2.EF EP∴ ⋅ = ………………9 分
设 PEF∆ 的内切圆半径为 ,r 则 1 ( ) 12PEFS PE EF FP r∆ = + + ⋅ =
2 2
2 2r PE EF PF PE EF PE EF
∴ = =+ + + + +
2 2
2 2 2 2 2PE EF PE EF
≤ =
⋅ + ⋅ +
1 2 1,
2 1
= = −
+ ………………10 分
∴当且仅当 EF EP= 时, PEF∆ 有最大内切圆,其半径 2 1.r = −
此时 2EF EP= = , 2.PF = ………………11 分
1 1 5 522 2 2 2PAB PCDS S PA AB∆ ∆= = ⋅ = ⋅ = , 1 1 2 2 22 2PBCS BC PF∆ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ,
1PADS∆ = , 2( 2) 2.ABCDS AD EF= ⋅ = =
设 PEF∆ 的内切圆圆心O 到侧面 PAB 、侧面 PCD 的距离为 d ,
则 1 1 1 1( )3 3 3 3P ABCD PAD PBC ABCD PAB PCD ABCDV r S S S d S d S EP S− ∆ ∆ ∆ ∆ ∆= ⋅ + + + ⋅ + ⋅ = ⋅ ,
即 ( ) 2PAD PBC ABCD PAB ABCDr S S S d S EP S∆ ∆ ∆ ∆⋅ + + + ⋅ = ⋅ ,
所以 ( )( 2 1) 1 2 2 5 2 2d− + + + = ,
解得 1 2 1 .
5
d r= > − = ………………12 分
∴在四棱锥 P ABCD− 的内部放入球心 O 在截面 PEF 中的球,其最大半径 R 是
2 1,− 该最大半径的球只能与四棱锥 P ABCD− 的三个面相切. ………13 分
20.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转
化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等.满分 14 分.
解:(Ⅰ)当 2
3a = 且 1x > − 时, 22( ) ln( 1) 3f x x x= + − ,
21 4 4 4 3 (2 3)(2 1)'( ) 1 3 3( 1) 3( 1)
x x x xf x xx x x
− − + + −= − = = −+ + + ,…………2 分
令 '( ) 0f x > ,
因为 1x > − ,所以(2 3)(2 1) 0x x+ − < ,解得 11 2x− < < ,
所以函数 ( )f x 的递增区间为 1( 1, )2
− .…………4 分
(Ⅱ)当 0a = 时, ( ) ln 1f x x= + ,
不等式 ( ) 1 1f x x≤ + − 即ln 1 1 1 0x x+ − + + ≤ , …………5 分
令 1t x= + ,则 0t > ,
此时不等式ln 1 1 1 0x x+ − + + ≤ 等价于不等式ln 1 0( 0)t t t− + ≤ > .
令 ( ) ln 1t t tϕ = − + ,则 1 1'( ) 1 tt t t
ϕ −= − = . …………7 分
令 '( ) 0tϕ = ,得 1t = .
( ), '( )t tϕ ϕ 随t 的变化情况如下表
t (0,1) 1 (1, )+∞
'( )tϕ + 0 −
( )tϕ 递增 极大值 0 递减
由表可知,当 0t > 时, ( ) (1) 0tϕ ϕ≤ = 即 ln 1 0t t− + ≤ .
所以 ( ) 1 1f x x≤ + − 成立. …………9 分
(Ⅲ)当 1x > − 时, 2( ) ln( 1)f x x ax= + − , 1'( ) 21f x axx
= −+ ,
所以直线l 的斜率 '(0) 1k f= = ,
又 (0) 0f = ,所以直线l 的方程为 y x= .
令 2( ) ln 1g x x ax x= + − − ,则命题“函数 ( )y f x= 的图象上存在点在直线l 的上
方”可等价转化为命题“存在 ( , 1) ( 1, )x∈ −∞ − − +∞ ,使得 ( ) 0g x > .”……10 分
当 1x > − 时, 2( ) ln( 1)g x x ax x= + − − , 1'( ) 2 11g x axx
= − −+ ,
当 1x < − 时, 2( ) ln( 1)g x x ax x= − − − − , 1'( ) 2 11g x axx
= − −+ ,
所以,对 ( , 1) ( 1, )x∈ −∞ − − +∞ ,都有
2
12 ( 1 )2 (2 1) 2'( ) 1 1
ax xax a x ag x x x
− + +− − += =+ + . ……11 分
令 '( ) 0g x = ,解得 0x = 或 2 1
2
ax a
+= − .
①当 0a > 时, 2 1 12
a
a
+− < − , ( ), '( )g x g x 随 x 的变化情况如下表:
x 1( , 1 )2a
−∞ − − 11 2a
− − 1( 1 , 1)2a
− − − ( 1,0)− 0 (0, )+∞
'( )g x + 0 - + 0 -
( )g x 递增 极大值 递减 递增 极大值 递减
又因为 1 1 1( 1 ) ln , (0) 02 2 4g a ga a a
− − = + − = ,
所以,为使命题“存在 ( , 1) ( 1, )x∈ −∞ − − +∞ ,
使 得 ( ) 0g x > . ” 成 立 , 只 需
1 1 1( 1 ) ln 02 2 4g aa a a
− − = + − > .
令 1
2t a
= ,则 1 1 1( 1 ) ln2 2 2g t ta t
− − = + − ,
令 1 1( ) ln ( 0)2 2h t t t tt
= − + > ,
因为 2
1 1 1'( ) 02 2h t t t
= + + > ,所以 ( )h t 在(0, )+∞ 上为增函数,
又注意到 (1) 0h = ,
所以当且仅当 1 12t a
= > ,即 10 2a< < 时, ( ) 0h t > ,
故关于 a 的不等式 1 1ln 02 4 aa a
+ − > 的解集为 10 2a a
< <
;…………13 分
②当 0a ≤ 时,因为存在 1x e= − − 使得 2( 1) 2 ( 1) 0g e e a e− − = + − + > 恒成立,
所以,总存在点( 1,e− − 21 ( 1) )a e− + 在直线l 的上方.
综合①②,可知 a 的取值范围为 1
2a a
<
. …………14 分
21.(1)(本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换
解:(Ⅰ)由题意,可知存在实数 ( 0)λ λ ≠ ,使得 1 0
2 0 0
k k
m
λ =
,………1分
即
0
k k
mk
λ=
=
, ………2分
又因为 0k ≠ ,所以 1
0m
λ =
=
, ………3分
所以 0m = ,特征向量
0
k
相应的特征值为1. …………4分
(Ⅱ)因为 1= −B ,所以 1 1 2
2 3
− − = − B , …………6分
故 1 1 2 1 0 1 4
2 3 0 2 2 6
− − − = = − − B A . …………7分
(2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
解:(Ⅰ)将 1 2,l l 的方程化为普通方程,得 1 :l y x= , 2l : 2 2 0x y− + = ,2分
联立方程组
2 2 0
y x
x y
=
− + =
,解得 2
2
x
y
=
=
,
所以 A 的坐标为(2,2) ,………3分
故点 A 的极坐标(2 2, )4
π
. …………4分
(Ⅱ)将曲线C 的方程化为普通方程得 2 2 8x y+ = ,…………5分
所以曲线C 是圆心为 (0,0)O ,半径为 2 2 的圆,且 A (2,2) 在曲线C 上.
因为 1OAk = ,所以曲线C 过点 A 的切线l 的斜率 1lk = − ,
所以l 的方程为 4 0x y+ − = ,……6分
故l 的极坐标方程为 cos sin 4 0ρ θ ρ θ+ − = . …………7分
(3)(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲
解:(Ⅰ)由已知得( ) 2
max3 2 6t t m m+ − − ≤ − ………………1 分
因为 3 2 3 ( 2) 5t t t t+ − − ≤ + − − = (当且仅当 2t ≥ 时取等号)………3 分
所以 26 5m m− ≥ ,解得1 5m≤ ≤ ,
所以实数 m 的取值范围是1 5.m≤ ≤ ………………4 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 5λ = ,所以3 4 5 5x y z+ + = .
由柯西不等式,
可得( )( ) ( )22 2 2 2 2 23 4 5 3 4 5 25x y z x y z+ + + + ≥ + + = , …5 分
所以 2 2 2 1
2x y z+ + ≥ ,
当且仅当
3 4 5
x y z= = 即 3 2 1, ,10 5 2x y z= = = 时等号成立. ………6 分
故 2 2 2x y z+ + 的最小值为 1 .2
………………7 分
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