吉林省长春汽车经济技术开发区第六中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试卷 含答案 14页

www.ks5u.com ‎ 数学（理） ‎ ‎ ‎ 考试说明： 1.考试时间为120分钟，满分150分。 ‎ ‎ 2.考试完毕只交答题卡。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）‎ ‎1．1．已知集合，，则=（   ）‎ A． B． C．（0,3） D．（1,3）‎ ‎2．若Z=（1+i）i（为虚数单位），则的虚部是（   ）‎ A．1 B．-1 C．i D．-i ‎3．若∈R，且。则“≠”是“≠”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎4．设等差数列的前项和为 ，是方程的两个根，则（   ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）‎ A．0    B．2    C．4    D．14‎ ‎6．已知双曲线C：的渐近线方程为，且其右焦点为（5,0），则双曲线C的方程为（   ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．动点满足，则的最小值为（ ）‎ A．0 B．1 C．3 D．5‎ ‎8．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （   ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎9. （其中，，）的图象如图，为了得到的图象，只要将的图象 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D． 向右平移个单位长度 ‎10. 函数的零点个数为 （   ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎11. 若，且，则的值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 若函数满足，则称为区间上的一组正交函数.给出四组函数：① ； ② ；‎ ‎③ ； ④. 其中为区间上的正交函数的组数为（ ） ‎ ‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ． ‎ ‎14. 二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为___________.‎ ‎15.            ‎ ‎16. 定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，为数列的前项和，则= .‎ 三、解答题（17题—21题每题12分，22、23、24题选作10分，共70分。解答时请写出必要的文字说明，方程式和重要的演算步骤）‎ ‎17．已知向量，，函数，。‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值。‎ ‎18．如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，、分别为、中点．‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎19.中国乒乓球队备战东京奥运会热身赛.种子选手与，，三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响.‎ ‎（1）若至少获胜两场的概率大于，则入选征战里东京运会的最终大名单，否则不予入选，问是否会入选最终的大名单？‎ ‎（2）求获胜场数的分布列和数学期望.‎ ‎20.已知椭圆E：（）的离心率e=，并且经过定点P（，）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足•=，若存在求m值，若不存在说明理由．‎ ‎21．设函数。‎ ‎（1）如果，求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（3）证明：当m>n>0时，。‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.‎ ‎22．选修4-4 极坐标参数方程 在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为,半径为,以坐标原点为极点,x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系.,直线l的参数方程为: （为参数)‎ ‎(1)求圆C和直线l的极坐标方程; ‎ ‎(2)点的极坐标为，直线l与圆C相交于，求的值。‎ ‎23.选修4-5 不等式选讲 ‎ 已知函数。‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)设，且当时，，求的取值范围．‎ ‎ 答案 ‎1．已知集合，，则=（   ）‎ A． B．‎ C．（0,3） D．（1,3）‎ 答案：D ‎2．若（为虚数单位），则的虚部是（   ）‎ A．1 B．-1 C． D．‎ 答案：B ‎3．若a∈R，且。则“a≠”是“|a|≠”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：B ‎4．设等差数列的前项和为  、是方程的两个根，则（   ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：D ‎5．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）‎ A．0   B．2   C．4   D．14‎ ‎【答案】B ‎6．已知双曲线C：的渐近线方程为，且其右焦点为（5,0），则双曲线C的方程为（   ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 答案：B ‎7.动点满足，则的最小值为（ ）‎ A．0 B．1 C．3 D．5‎ 答案：C ‎8．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （   ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：C ‎9．（其中，，）的图象如图，为了得到的图象，只要将的图象 A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D． 向右平移个单位长度 答案：A ‎10．函数的零点个数为 （   ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案：A ‎11．若，且，则的值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ 答案：A ‎12.若函数满足，则称为区间上的一组正交函数．给出四组函数：① ； ② ；③ ； ④.其中为区间上的正交函数的组数为 A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案：C ‎13. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．‎ 答案 ‎ ‎14.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为        。‎ 答案：-1‎ ‎15.在矩形ABCD中，            。‎ 答案：12‎ ‎16. 定义在R上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，为数列的前项和，则= .‎ 答案：3‎ ‎17、（本小题12分）已知向量，，‎ 函数，。‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值。‎ 答案：解：（1） --------2分 ‎∴函数的最小周期 ----------4分 ‎（2）‎ ‎ -------------6分 ‎ ------------7分 ‎ 是三角形内角 ‎ ∴， ∴ 即： -------------8分 ‎ ∴ 即： ----------------10分 ‎ 将可得： 解之得：‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ， ∴ ------------12分 ‎18．如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，、分别为、中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ 答案：（1）连结,根据等边三角形三线合一可证得,由中位线可得,即可得, 根据线面垂直的判定定理可证得平面,从而可证得．（2）由面面垂直的性质定理可证得平面,从而可得证,根据线面垂直的判定定理可证得平面,过做垂直与，连接，则．根据二面角的定义可知即为所求,在中求即可．‎ 试题解析：（1）连结，，．，，．‎ 又 ，平面,平面,．‎ ‎（2）平面平面，平面平面，，平面．‎ ‎,又，平面 平面,‎ 过做垂直与，连接，则 为所求二面角的平面角 则：，，则，故二面角的大小 ‎19.‎ 中国乒乓球队备战里东京运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛.种子选手与，，三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响.‎ ‎（1）若至少获胜两场的概率大于，则入选征战里东京运会的最终大名单，否则不予入选，问是否会入选最终的大名单？‎ ‎（2）求获胜场数的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）会入选最终的大名单；（2）‎ ‎（2）获胜场数的可能取值为0,1,2,3，则 ‎，……………………………………………………7分 ‎……………………………………………………………………………………………………………………8分 ‎…9分 ‎………………………………………………………………………10分 所以获胜场数的分布列为：‎ ‎……………………………………………………………………………………………………………………11分 数学期望为.………………………………………………12分 ‎20.已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足•=，若存在求m值，若不存在说明理由．‎ ‎【解答】解（Ⅰ）由题意：且，又c2=a2﹣b2‎ 解得：a2=4，b2=1，即：椭圆E的方程为（1）‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ ‎（*）‎ 所以 ‎=‎ 由，‎ 得 又方程（*）要有两个不等实根，‎ 所以m=±2．‎ ‎21、（本小题12分）设函数。‎ ‎（1）如果，求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（3）证明：当m>n>0时，。‎ 答案：解：（1）的定义域为 ‎ ‎ ‎ 当时，‎ 当。所以的单调递减区间为。‎ ‎（2）①当时， ∴在（—1，+）上是增函数 ‎ ‎②当时，令，当时，得 所以的递增区间为 ‎ 又因为在区间上单调递增 所以，由此得 ‎ 综上，得 ‎ ‎（3）要证：只需证 只需证 设， ‎ 则 ‎ 由（1）知：即当时，在单调递减，‎ 即时，有，―――――――12分 ‎∴，所以，即是上的减函数， ‎ 即当m>n>0，∴，故原不等式成立。 ‎ ‎22．在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为,半径为,以坐标原点为极点,x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系.,直线l的参数方程为: （为参数)‎ ‎(1)求圆C和直线l的极坐标方程; ‎ ‎(2)点的极坐标为，直线l与圆C相交于，求的值。‎ 答案：解：圆的直角坐标方程为 代入圆得：‎ 化简得圆的极坐标方程： ……………… 3分 由得 ‎ 的极坐标方程为 ……………… 5分 ‎（2）由得点的直角坐标为 直线的参数的标准方程可写成……………… 6分 代入圆得： ‎ 化简得：‎ ‎ ……………… 8分 ‎ ……………… 10分 ‎23．已知函数。‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)设，且当时，，求的取值范围．‎ ‎23.（1）当时，………………2分 ‎ 由得：‎ ‎ ①得 ‎ ②得 ‎ ③得…………………………………………5分 ‎ 综上：不等式的解集为………………………………6分 ‎ （2）‎ ‎ ……………………………………7分 ‎ 由得：即 ‎ 依题意：‎ ‎ 即……………………………………………………9分 ‎ 的取值范围是……………………………………………………10分