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  • 2021-06-30 发布

高考数学一轮复习练案61高考大题规范解答系列五-解析几何含解析

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‎ [练案61]高考大题规范解答系列(五)——解析几何 ‎1.(2018·天津高考)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B,已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.‎ ‎[解析] (1)设椭圆的焦距为‎2c,由已知有=,‎ 又由a2=b2+c2,可得‎2a=3b.‎ 由已知可得,|FB|=a,|AB|=b,‎ 由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.‎ 所以,椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).‎ 由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.‎ 又因为|AQ|=,而∠OAB=,‎ 故|AQ|=y2.‎ 由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2.‎ 由方程组消去x,可得y1=.‎ 易知直线AB的方程为x+y-2=0,‎ 由方程组消去x,可得y2=.‎ 由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,‎ 解得k=,或k=.‎ 所以,k的值为或.‎ ‎2.(2019·全国Ⅰ)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.‎ ‎(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;‎ - 8 -‎ ‎(2)若=3,求|AB|.‎ ‎[解析] 设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ ‎(1)由题设得F(,0),故|AF|+|BF|=x1+x2+,‎ 由题设可得x1+x2=.‎ 由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,‎ 则x1+x2=-.‎ 从而-=,得t=-.‎ 所以l的方程为y=x-.‎ ‎(2)由=3可得y1=-3y2.‎ 由可得y2-2y+2t=0.‎ 所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.‎ 代入C的方程得x1=3,x2=.‎ 故|AB|==.‎ ‎3.(2019·湖南联考,20)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形,以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线x+y-2=0相切.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点,探究在x轴上是否存在定点E,使得·的定值为-?‎ ‎[解析] (1)由题意知,解得 则椭圆C的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1)(k≠0),A(xA,yA),B(xB,yB),‎ 联立得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,‎ Δ=8k2+8>0.‎ ‎∴xA+xB=,xAxB=.‎ 假设在x轴上存在定点E(x0,0),使得·为定值.‎ - 8 -‎ 则·=(xA-x0,yA)·(xB-x0,yB)=xAxB-x0(xA+xB)+x+yAyB=xAxB-x0(xA+xB)+x+k2(xA-1)(xB-1)‎ ‎=(1+k2)xAxB-(x0+k2)(xA+xB)+x+k2‎ ‎=.‎ ‎∵·为定值,∴·的值与k无关,‎ ‎∴2x-4x0+1=2(x-2),‎ 解得x0=,此时·=-为定值,定点为(,0),‎ 当直线的斜率不存在时,也满足·=-为定值,且定点为(,0).综上,存在点E(,0),使得·为定值,且定值为-.‎ ‎4.(2019·陕西模拟)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;‎ ‎(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.‎ ‎[解析] (1)如图,设动圆圆心O1(x,y),‎ 由题意,|O‎1A|=|O‎1M|.‎ 当O1不在y轴上时,‎ 过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,‎ ‎∴|O‎1M|=,又|O‎1A|=,‎ ‎∴=,化简得y2=8x(x≠0).‎ 又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,‎ ‎∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.‎ ‎(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+b(b≠0),‎ - 8 -‎ P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 将y=kx+b代入y2=8x中,‎ 得k2x2+(2bk-8)x+b2=0.‎ 其中Δ=-32kb+64>0.‎ 由韦达公式,得x1+x2=,①‎ x1x2=.②‎ 因为x轴是∠PBQ的角平分线,‎ 所以=-,‎ 即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,‎ ‎(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,‎ ‎2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③‎ 将①,②代入③得,2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0.‎ ‎∴k=-b,此时Δ>0.‎ ‎∴直线l的方程为y=k(x-1),即直线l过定点(1,0).‎ ‎5.(2019·湖南省湘潭市模拟)已知点F(,0)是椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点,点M(,)在椭圆C上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若直线l与椭圆C交于不同的A,B两点,且kOA+kOB=-(O为坐标原点),求直线l斜率的取值范围.‎ ‎[解析] (1)解法一:由题可知,椭圆的另一个焦点为(-,0),‎ 所以点M到两焦点的距离之和为 +=4.‎ 所以a=2.‎ 又因为c=,所以b=1,‎ 则椭圆C的方程为+y2=1.‎ 解法二:由题意知,解得,‎ ‎∴椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时,结合椭圆的对称性可知,kOA+kOB=0,不符合题意.‎ - 8 -‎ 故设l直线的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立,可得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0.∴Δ=64k‎2m2‎-16(m2-1)(4k2+1)=16(4k2-m2+1)>0,‎ 且 而kOA+kOB=+==2k+=2k+=,‎ 由kOA+kOB=-,可得m2=4k+1.‎ 所以k≥-,又因为16(4k2-m2+1)>0,‎ 所以4k2-4k>0.‎ 综上,k∈[-,0)∪(1,+∞).‎ ‎6.(2019·北京卷)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).‎ ‎(1)求抛物线C的方程及其准线方程;‎ ‎(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.‎ ‎[解析] (1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),‎ 得p=2.‎ 所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.‎ ‎(2)抛物线C的焦点为F(0,-1).‎ 设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).‎ 由得x2+4kx-4=0.显然Δ=16k2+16>0.‎ 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4.‎ 直线OM的方程为y=x.‎ 令y=-1,得点A的横坐标xA=-.‎ 同理得点B的横坐标xB=-.‎ 设点D(0,n),‎ 则=(-,-1-n),=(-,-1-n),‎ ·=+(n+1)2=+(n+1)2‎ - 8 -‎ ‎=+(n+1)2=-4+(n+1)2.‎ 令·=0,即-4+(n+1)2=0,‎ 得n=1或n=-3.‎ 综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).‎ ‎7.(2020·山西大学附中诊断)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为,P是椭圆C上的一个动点,且△PF‎1F2面积的最大值为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设斜率存在的直线PF2与椭圆C的另一个交点为Q,是否存在点T(0,t),使得|TP|=|TQ|?若存在,求出t的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解析] (1)∵椭圆离心率为,当P为C的上顶点时,△PF‎1F2的面积有最大值.‎ ‎∴∴a=2,b=,c=1.‎ 故椭圆C的方程为:+=1.‎ ‎(2)设直线PQ的方程为y=k(x-1),‎ 当k≠0时,y=k(x-1)代入+=1,‎ 得:(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0;‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y1),线段PQ的中点为N(x0,y0),‎ x0==,y0==k(x0-1)=,‎ 即N(,),‎ ‎∵|TP|=|TQ|,∴直线TN为线段PQ的垂直平分线;‎ ‎∴TN⊥PQ,则kTN·kPQ=-1.‎ 所以·k=-1,⇒t==,‎ 当k>0时,因为4k+≥4(当k=时取等号),‎ ‎∴t∈(0,].‎ 当k<0时,因为4k+≤-4(当k=-时取等号),‎ - 8 -‎ ‎∴t∈[-,0).‎ 当k=0时,t=0符合题意.‎ 综上,t的取值范围为[-,].‎ ‎8.(2019·广东省期末联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点M(,)在椭圆C上.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若不过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,与直线OM交于点N,并且点N是线段AB的中点,求△OAB面积的最大值.‎ ‎[解析] (1)由椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,‎ 点M(,)在椭圆上得,‎ 解得.‎ 所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)易得直线OM的方程为y=x.‎ 当直线l的斜率不存在时,AB的中点不在直线y=x上,故直线l的斜率存在.‎ 设直线l的方程为y=kx+m(m≠0),与+=1联立消y得(3+4k2)x2+8kmx+‎4m2‎-12=0,‎ 所以Δ=64k‎2m2‎-4(3+4k2)(‎4m-12)=48(3+4k2-m2)>0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,‎ x1x2=,‎ 由y1+y2=k(x1+x2)+‎2m=,所以AB的中点N(-,),‎ 因为N在直线y=x上,所以-=2×,‎ 解得k=-.‎ 所以Δ=48(12-m2)>0得-2