【数学】2018届一轮复习北师大版第二章函数导数及其应用第五节指数与指数函数教案 10页

第五节　指数与指数函数 ‎☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆‎ 考纲要求 真题举例 命题角度 ‎1.了解指数函数模型的实际背景；‎ ‎2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；‎ ‎3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；‎ ‎4.知道指数函数是一类重要的函数模型。‎ ‎2016，全国卷Ⅲ，6,5分(指数函数比较大小)‎ ‎2015，山东卷，2,5分(指数函数单调性)‎ ‎2015，江苏卷，7,5分(解指数不等式)‎ ‎2014，江苏卷，5,5分(指数求值)‎ 直接考查指数函数的图象及其性质或以指数与指数函数为知识载体，考查指数幂的运算和函数图象的应用，或以指数函数为载体与函数方程、不等式等内容交汇命题。‎ 微知识　小题练 自|主|排|查 ‎1．根式 ‎(1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N*‎ 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数 ‎±(a＞0)‎ 负数没有偶次方根 ‎(2)两个重要公式 ‎①＝ ‎②()n＝a(注意a必须使有意义)。‎ ‎2．有理数的指数幂 ‎(1)幂的有关概念 ‎①正分数指数幂：a＝(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；‎ ‎②负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)。‎ ‎③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。‎ ‎(2)有理数指数幂的性质 ‎①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；‎ ‎②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；‎ ‎③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)。‎ ‎3．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1‎ ‎0＜a＜1‎ 图象 定义域 R 值域 ‎(0，＋∞)‎ 性质 ‎(1)过定点(0,1)‎ ‎(2)当x＞0时，_y＞1；x＜0时，0＜y＜1‎ ‎(2)当x＞0时，0＜y＜1；‎ x＜0时，y＞1‎ ‎(3)在R上是增函数 ‎(3)在R上是减函数 微点提醒 ‎1．指数幂运算化简的依据是幂的运算性质，应防止错用、混用公式。对根式的化简，要先化成分数指数幂，再由指数幂的运算性质进行化简。‎ ‎2．指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此，应用单调性解题时，应对底数a分为a>1和00，且a≠1)的图象经过，则f(－1)＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D．3‎ ‎【解析】　由a2＝，a＝，∴f(x)＝x，f(－1)＝－1＝。故选C。‎ ‎【答案】　C ‎2．(必修1P60B组T1改编)不等式a2x－7>a4x－1(0－3。‎ ‎【答案】　(－3，＋∞)‎ 二、双基查验 ‎1．(2016·唐山模拟)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　)‎ ‎【解析】　解法一：当a>1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，此时四个选项均不对；当00，且a≠1)的图象必过点(－1,0)，所以选D。‎ ‎【答案】　D ‎2．设b>a>0，又因为函数y＝ax(0ab，所以A，B不成立。函数y＝xn(n>0)在(0，＋∞)内是单调递增的，又a0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________。‎ ‎【解析】　①当01时，函数f(x)在[－1,0]上单调递增，由题意可得即显然无解。‎ 所以a＋b＝－。‎ ‎【答案】　－ ‎4．如图所示，曲线C1，C2，C3，C4分别是指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是________。‎ ‎【答案】　c>d>1>a>b 微考点　大课堂 考点一 ‎ 指数幂的计算 ‎【典例1】　计算：‎ ‎(1)0.5＋(0.1)－2＋－－3π0＋；‎ ‎(2)(a>0，b>0)；‎ ‎(3)若x＋x－＝3，求的值。‎ ‎【解析】　(1)原式＝＋＋－－3＋＝＋100＋－3＋＝100。‎ ‎(2)原式＝＝a＋－1＋×b1＋－2－＝ab－1。‎ ‎(3)由x＋x－＝3，两边平方，‎ 得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47。‎ ‎∴x2＋x－2－2＝45。‎ 由x＋x－＝3，两边立方，‎ 得x＋3x＋3x－＋x－＝27。‎ ‎∴x＋x－＝18，∴x＋x－－3＝15。‎ ‎∴＝。‎ ‎【答案】　(1)100　(2)ab－1　(3) 反思归纳　1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一化为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底指数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序。‎ ‎2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数。‎ ‎3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。‎ ‎【变式训练】　(1)化简 (x<0，y<0)得(　　)‎ A．2x2y　　　　　　　 B．2xy C．4x2y D．－2x2y ‎(2)－·＝________。‎ ‎【解析】　(1)＝(16x8y4)＝‎ ‎[24·(－x)8·(－y)4]＝24··(－x)8··(－y)4· ‎＝2(－x)2(－y)＝－2x2y。故选D。‎ ‎(2)原式＝＝。‎ ‎【答案】　(1)D　(2) 考点二 ‎ 指数函数的图象及应用……母题发散 ‎【典例2】　(1)(2017·秦皇岛模拟)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　)‎ ‎(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________。‎ ‎【解析】　(1)函数f(x)＝21－x＝2×x，单调递减且过点(0,2)，选项A中的图象符合要求。故选A。‎ ‎(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]。‎ ‎【答案】　(1)A　(2)[－1,1]‎ ‎【母题变式】　若将本典例(2)中“|y|＝2x＋‎1”‎改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围。‎ ‎【解析】　曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)。‎ ‎【答案】　(0,1)‎ 反思归纳　指数函数图象的画法及应用 ‎1．与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象。‎ ‎2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解。‎ ‎【拓展变式】　(2016·呼和浩特模拟)偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x，则关于x的方程f(x)＝x，在x∈[0,4]上解的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【解析】　由f(x－1)＝f(x＋1)可知T＝2。因为x∈[0,1]时，f(x)＝x，f(x)是偶函数，所以可得图象如图，所以f(x)＝x在x∈[0,4]上解的个数是4个。故选D。‎ ‎【答案】　D 考点三 ‎ 指数函数的性质及应用……多维探究 角度一：比较大小 ‎【典例3】　(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)‎ A．b0的解集为________。‎ ‎【解析】　(1)当a<1时，41－a＝21，∴a＝；当a>1时，代入不成立。∴a＝。‎ ‎(2)f(x)为偶函数，‎ 当x<0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4。‎ ‎∴f(x)＝ 当f(x－2)>0时，‎ 有或 解得x>4或x<0。‎ ‎∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}。‎ ‎【答案】　(1)　(2){x|x>4或x<0}‎ 角度三：指数函数性质的综合应用 ‎【典例5】　已知函数f(x)＝ax2－4x＋3。‎ ‎(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若f(x)有最大值3，求a的值；‎ ‎(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值。‎ ‎【解析】　(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)。‎ ‎(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝g(x)，‎ 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，‎ 因此必有 解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a＝1。‎ ‎(3)由指数函数的性质知，‎ 要使y＝g(x)的值域为(0，＋∞)。‎ 应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，‎ 因此只能a＝0。(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)。故a的值为0。‎ ‎【答案】　(1)单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)　(2)1　(3)0‎ 反思归纳　1.比较大小问题。常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法。‎ ‎2．简单的指数方程或不等式的求解问题。解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论。‎ ‎3．解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论。‎ 微考场　新提升 ‎1．函数y＝的定义域是(　　)‎ A．(0,2] B．(－∞，2]‎ C．(2，＋∞) D．[1，＋∞)‎ 解析　由4－2x≥0，得x≤2。故选B。‎ 答案　B ‎2．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)‎ 解析　将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质。‎ 答案　A ‎3．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则(　　)‎ A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3‎ C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2‎ 解析　y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，‎ ‎∵y＝2x在定义域内为增函数，∴y1>y3>y2。故选D。‎ 答案　D ‎4．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(‎2a)＝________。‎ 解析　∵f(x)＝2x＋2－x，f(a)＝3，∴‎2a＋2－a＝3。‎ ‎∴f(‎2a)＝‎22a＋2－‎2a＝(‎2a＋2－a)2－2＝9－2＝7。‎ 答案　7‎ ‎5．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________。‎ 解析　因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)关于直线x＝1对称，所以a＝1，所以函数f(x)＝2|x－1|的图象如图所示，因为函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，所以m≥1，所以实数m的最小值为1。‎ 答案　1‎