高考数学专题复习课件：11-4概率与统计中的热点问题 33页

§11.4 　热点专题 —— 概率与统计中的热点问题 热点一　以实际背景为载体的古典概型 以实际生活题材为背景，以应用题的形式考查古典概型的求法是每年高考的热点之一．主要涉及随机事件、等可能事件、互斥事件和对立事件的概率．解决简单的古典概型问题可用直接法，对于较复杂的古典概型，通常利用互斥事件或对立事件的概率求解． 【 例 1 】 海关对同时从 A ， B ， C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量 ( 单位：件 ) 如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测 . 地区 A B C 数量 50 150 100 所以 A ， B ， C 三个地区的商品被选取的件数分别为 1 ， 3 ， 2. (2) 设 6 件来自 A ， B ， C 三个地区的样品分别为： A ； B 1 ， B 2 ， B 3 ； C 1 ， C 2 . 则抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为： { A ， B 1 } ， { A ， B 2 } ， { A ， B 3 } ， { A ， C 1 } ， { A ， C 2 ) ， { B 1 ， B 2 } ， { B 1 ， B 3 } ， { B 1 ， C 1 } ， { B 1 ， C 2 } ， { B 2 ， B 3 } ， { B 2 ， C 1 } ， { B 2 ， C 2 } ， { B 3 ， C 1 } ， { B 3 ， C 2 } ， { C 1 ， C 2 } ，共 15 个． 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 【 解题模板 】 解决以实际背景为载体的古典概型的一般步骤 变式训练 1 ． (2017· 青岛模拟 ) 某市甲、乙两社区联合举行 “ 五一 ” 文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有 1 人，表演笛子演奏的有 2 人，表演唱歌的有 3 人． (1) 若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率； (2) 若从甲社区表演队中选 2 人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率． 【 解析 】 (1) 记甲社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为 A 1 、 B 1 、 C 1 ，乙社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为 A 2 、 B 2 、 C 2 ， 则从甲、乙社区各选一个表演项目的所有基本事件有 ( A 1 ， A 2 )( A 1 ， B 2 ) ， ( A 1 ， C 2 ) ， ( B 1 ， A 2 ) ， ( B 1 ， B 2 ) ， ( B 1 ， C 2 ) ， ( C 1 ， A 2 ) ， ( C 1 ， B 2 ) ， ( C 1 ， C 2 ) ，共 9 个． 热点二　概率与统计的综合问题 概率与统计是高中数学中与实际生活联系最密切的部分，在高考中一直作为命题的重点和热点，主要考查实际生活中的随机抽样、用样本估计总体、样本的数字特征以及古典概型的求解等知识，属于中低档难度考题．概率与统计结合主要体现以下两个方面： (1) 抽样方法与概率的综合一般以分层抽样与古典概型的结合为主． (2) 统计图表与古典概型的综合所考查的知识点较多，一般设置两问或三问．题目第一问或第二问往往涉及统计图表；最后一问一般为古典概型概率的求解． 【 例 2 】 (2017· 贵州七校联考 ) 从某校高三年级学生中抽取 40 名学生，将他们高中学业水平考试的数学成绩 ( 满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数 ) 分成六段： [40 ， 50) ， [50 ， 60) ， … ， [90 ， 100] 后得到如图的频率分布直方图． (1) 若该校高三年级有 640 人，试估计这次学业水平考试的数学成绩不低于 60 分的人数及相应的平均分 ( 平均分保留到百分位 ) ； (2) 若从 [40 ， 50) 与 [90 ， 100] 这两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生，求这 2 名学生成绩之差的绝对值不大于 10 的概率． 【 解析 】 (1) 由于图中所有小矩形的面积之和等于 1 ， 所以 10 × (0.005 ＋ 0.01 ＋ 0.02 ＋ a ＋ 0.025 ＋ 0.01) ＝ 1 ， 解得 a ＝ 0.03. 【 方法规律 】 概率统计解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，因此在复习该部分时，要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握样本特征数的计数方法和各类概率的计算方法． 变式训练 2 ． (2017· 广东七校联考 ) 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的 5 次预赛成绩记录如下： 甲　 82 　 82 　 79 　 95 　 87 乙　 95 　 75 　 80 　 90 　 85 (1) 用茎叶图表示这两组数据； (2) 从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率； (3) ① 求甲、乙两人的成绩的平均数与方差； ② 若现要从中选派一人参加数学竞赛，根据你的计算结果，你认为选派哪位学生参加合适？ 【 解析 】 (1) 作出茎叶图如下： (2) 记甲被抽到的成绩为 x ，乙被抽到的成绩为 y ，用数对 ( x ， y ) 表示基本事件： (82 ， 95) ， (82 ， 75) ， (82 ， 80) ， (82 ， 90) ， (82 ， 85) ， (82 ， 95) ， (82 ， 75) ， (82 ， 80) ， (82 ， 90) ， (82 ， 85) ， (79 ， 95) ， (79 ， 75) ， (79 ， 80) ， (79 ， 90) ， (79 ， 85) ， (95 ， 95) ， (95 ， 75) ， (95 ， 80) ， (95 ， 90) ， (95 ， 85) ， (87 ， 95) ， (87 ， 75) ， (87 ， 80) ， (87 ， 90) ， (87 ， 85) ， 基本事件总数 n ＝ 25. 热点三　概率与统计案例的综合问题 在近几年高考中统计案例与概率结合的解答题所占比例较往年有所增加，重点考查回归直线方程的求解和应用、独立性检验等知识，注重考查考生对相关数据的统计、分析与应用能力． 【 例 3 】 为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天 100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格： (1) 从这 5 天中任选 2 天，记发芽的种子数分别为 m ， n ，求事件 “ m 、 n 均不小于 25 ” 的概率； 【 方法规律 】 建立具有相关关系的两个变量之间的线性回归方程，一般来说，选取的具有典型性的样本数据越多，建立的线性回归方程越好，但在具体问题中不一定把所收集到的样本数据都用上，用其中的一部分建立线性回归方程，用剩余的数据检验建立的线性回归方程的拟合程度，也是一个很好的统计方法． 变式训练 3 ． “ ALS 冰桶挑战赛 ” 是社交网络上发起的一项筹款活动，活动规定：被邀请者要么在 24 小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款 ( 不接受挑战 ) ，并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频，然后便可以邀请另外 3 人参与这项活动．假设每人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响． (1) 若某参与者接受挑战后，对其他 3 人发出邀请，求这 3 人中至少有 2 人接受挑战的概率； (2) 为了解 “ ALS 冰桶挑战赛 ” 被邀请者接受挑战是否与性别有关，某调查机构采用随机抽样的方法进行了调查，得到如下 2 × 2 列联表： P ( K 2 ≥ k 0 ) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 0 2.706 3.841 6.635 10.828