高考数学专题复习课件：5-3 平面向量的数量积 46页

§5.3 　平面向量的数量积 [ 考纲要求 ] 　 1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 .2. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 .3. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 .4. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 2 ． 平面向量的数量积 3. 平面向量数量积的性质 设 a ， b 都是非零向量， e 是单位向量， θ 为 a 与 b ( 或 e ) 的夹角．则 (1) e · a ＝ a · e ＝ | a |cos θ . (2) a ⊥ b ⇔____________ ． (3) 当 a 与 b 同向时， a · b ＝ | a || b | ； 当 a 与 b 反向时， a · b ＝－ | a || b |. a · b ＝ 0 4 ．平面向量数量积满足的运算律 (1) a · b ＝ ______ ； (2)( λa )· b ＝ ______ ＝ _______ ( λ 为实数 ) ； (3)( a ＋ b )· c ＝ _________ ． 5 ．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，则 a · b ＝ __________ ，由此得到 b · a λ ( a · b ) a ·( λb ) a · c ＋ b · c x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量． ( 　　 ) (2) 两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) √ 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) × 　 (6) × 1 ． (2016· 全国卷 Ⅱ ) 已知向量 a ＝ (1 ， m ) ， b ＝ (3 ，－ 2) ，且 ( a ＋ b ) ⊥ b ，则 m ＝ ( 　　 ) A ．－ 8 　　　　　　　　　　　 B ．－ 6 C ． 6 D ． 8 【 解析 】 由向量的坐标运算得 a ＋ b ＝ (4 ， m － 2) ，由 ( a ＋ b ) ⊥ b ，得 ( a ＋ b )· b ＝ 12 － 2( m － 2) ＝ 0 ，解得 m ＝ 8 ，故选 D. 【 答案 】 D 【 答案 】 D 3 ． (2016· 南宁第二次适应性测试 ) 已知向量 a ， b 满足 | a | ＝ | b | ＝ 2 且 ( a ＋ 2 b )·( a － b ) ＝－ 2 ，则向量 a 与 b 的夹角为 ________ ． 4 ． (2016· 全国卷 Ⅰ ) 设向量 a ＝ ( m ， 1) ， b ＝ (1 ， 2) ，且 | a ＋ b | 2 ＝ | a | 2 ＋ | b | 2 ，则 m ＝ ________ ． 【 解析 】 由 | a ＋ b | 2 ＝ | a | 2 ＋ | b | 2 得 a ⊥ b ，则 m ＋ 2 ＝ 0 ，所以 m ＝－ 2. 【 答案 】 － 2 5 ． ( 教材改编 ) 已知 | a | ＝ 5 ， | b | ＝ 4 ， a 与 b 的夹角 θ ＝ 120° ，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为 ________ ． 【 解析 】 由数量积的定义知， b 在 a 方向上的投影为 | b |cos θ ＝ 4 × cos 120 ° ＝－ 2. 【 答案 】 － 2 (2) 建立平面直角坐标系，如图． 【 答案 】 (1)C 　 (2)B 【 方法规律 】 (1) 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义． (2) 解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补． 【 答案 】 (1)22 　 (2)2 【 答案 】 B 【 答案 】 (1)A 　 (2)A 【 方法规律 】 (1) 根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角 θ 为锐角的充要条件是 cos θ ＞ 0 且两向量不共线． (2) 求向量模的最值 ( 范围 ) 的方法： ① 代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解； ② 几何法 ( 数形结合法 ) ，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． 【 答案 】 (1)B 　 (2)[4 ， 6] 【 方法规律 】 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1) 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解． (2) 给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． 易错警示系列 7 向量夹角范围不清致误 【 典例 】 ( 12 分 ) 若两向量 e 1 ， e 2 满足 | e 1 | ＝ 2 ， | e 2 | ＝ 1 ， e 1 ， e 2 所成的角为 60 ° ，若向量 2 te 1 ＋ 7 e 2 与向量 e 1 ＋ te 2 所成的角为钝角，求实数 t 的取值范围． 【 易错分析 】 两个向量所成角的范围是 [0 ， π ] ，两个向量所成的角为钝角，容易误认为所成角 π 为钝角，导致所求的结果范围扩大． ► 方法与技巧 1 ．计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用． 2 ．求向量模的常用方法：利用公式 | a | 2 ＝ a 2 ，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3. 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． ► 失误与防范 1 ．数量积运算律要准确理解、应用，例如， a · b ＝ a · c ( a ≠ 0) 不能得出 b ＝ c ，两边不能约去一个向量． 2 ．两个向量的夹角为锐角，则有 a · b >0 ，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有 a · b <0 ，反之不成立 .