高考数学专题复习课件：4-8解三角形的综合应用 44页

§ 4.8 　解三角形的综合应用 [ 考纲要求 ] 　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 1 ． 仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 ______ 叫仰角，目标视线在水平视线 ________ 叫俯角 ( 如图 ① ) ． 上方 下方 2 ． 方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东 30 ° ，北偏西 45 ° 等． 3 ． 方位角 指从 ______ 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α ( 如图 ② ) ． 正北 4 ． 坡角与坡度 (1) 坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数 ( 如图 ③ ，角 θ 为坡角 ) ； (2) 坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比 ( 如图 ③ ， i 为坡度 ) ．坡度又称为坡比． (4) 如图，为了测量隧道口 AB 的长度，可测量数据 a ， b ， γ 进行计算． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) √ 【 答案 】 D 2 ．若点 A 在点 C 的北偏东 30 ° ，点 B 在点 C 的南偏东 60 ° ，且 AC ＝ BC ，则点 A 在点 B 的 ( 　　 ) A ．北偏东 15 ° B ．北偏西 15 ° C ．北偏东 10 ° D ．北偏西 10 ° 【 解析 】 如图所示， ∠ ACB ＝ 90 ° ， 又 AC ＝ BC ， ∴∠ CBA ＝ 45 ° ，而 β ＝ 30 ° ， ∴ α ＝ 90 ° － 45 ° － 30 ° ＝ 15 ° . ∴ 点 A 在点 B 的北偏西 15 ° . 【 答案 】 B 【 答案 】 B 4 ．轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 C ，两船航行方向的夹角为 120 ° ，两船的航行速度分别为 25 n mile/h ， 15 n mile/h ，则下午 2 时两船之间的距离是 ________n mile. 【 解析 】 设两船之间的距离为 d ，则 d 2 ＝ 50 2 ＋ 30 2 － 2 × 50 × 30 × cos 120 ° ＝ 4 900 ， ∴ d ＝ 70 ，即两船相距 70 n mile. 【 答案 】 70 题型一　求距离、高度问题 【 例 1 】 (1) 要测量对岸 A ， B 两点之间的距离，选取相距 km 的 C ， D 两点，并测得 ∠ ACB ＝ 75 ° ， ∠ BCD ＝ 45 ° ， ∠ ADC ＝ 30 ° ， ∠ ADB ＝ 45 ° ，则 A ， B 之间的距离为 ________km. (2) (2015· 湖北 ) 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 ° 的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75 ° 的方向上，仰角为 30 ° ，则此山的高度 CD ＝ ________m. 【 解析 】 (1) 如图所示，在 △ ACD 中， ∠ ACD ＝ 120 ° ， ∠ CAD ＝ ∠ ADC ＝ 30 ° ， 【 方法规律 】 求距离、高度问题应注意 (1) 理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念； (2) 选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (3) 确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 跟踪训练 1 (1) 一船自西向东航行，上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75 ° 的方向上，距塔 68 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船航行的速度为 ________ 海里 / 小时． (2) 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取 A ， B 两点，从 A ， B 两点分别测得树尖的仰角为 30 ° ， 45 ° ，且 A ， B 两点间的距离为 60 m ，则树的高度为 ________m. 题型二　求角度问题 【 例 2 】 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45 ° 方向，相距 12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75 ° 方向前进，若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度沿北偏东 45 ° ＋ α 方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角 α 的正弦值． 【 解析 】 如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇， 则 AC ＝ 14 x ， BC ＝ 10 x ， ∠ ABC ＝ 120 ° . 根据余弦定理得 (14 x ) 2 ＝ 12 2 ＋ (10 x ) 2 － 240 x cos 120 ° ， 解得 x ＝ 2. 故 AC ＝ 28 ， BC ＝ 20. 【 方法规律 】 解决测量角度问题的注意事项 (1) 首先应明确方位角或方向角的含义． (2) 分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步． (3) 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的 “ 联袂 ” 使用． 跟踪训练 2 如图，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西 30 ° 、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，求 cos θ 的值． 题型三　三角形与三角函数的综合问题 【 例 3 】 (2017· 湖南四月调研 ) 在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边长分别为 a ， b ， c ，且 (2 b － c )cos A ＝ a cos C . (1) 求角 A 的大小； (2) 若 a ＝ 3 ， b ＝ 2 c ，求 △ ABC 的面积． 【 解析 】 (1) 由 (2 b － c )cos A ＝ a cos C ， 得 2sin B cos A ＝ sin A cos C ＋ sin C cos A ， 得 2sin B · cos A ＝ sin( A ＋ C ) ， 所以 2sin B cos A ＝ sin B ， 【 方法规律 】 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题． 思想与方法系列 9 函数思想在解三角形中的应用 【 典例 】 ( 12 分 ) 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30 ° 且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里 / 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以 v 海里 / 小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇． (1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2) 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里 / 小时，试设计航行方案 ( 即确定航行方向和航行速度的大小 ) ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 【 思维点拨 】 (1) 利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间 t 的函数，将原题转化为函数最值问题； (2) 注意 t 的取值范围． 【 温馨提醒 】 (1) 三角形中的最值问题，可利用正弦、余弦定理建立函数模型 ( 或三角函数模型 ) ，转化为函数最值问题． (2) 求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义 . ► 方法与技巧 1 ．利用解三角形解决实际问题时， (1) 要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型； (2) 要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念； (3) 三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义． 2 ．在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件． ► 失误与防范 1 ．不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混． 2 ．在实际问题中，可能会遇到空间与平面 ( 地面 ) 同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误 .