2020届山西省运城市高三上学期期末数学（理）试题（解析版） 21页

2020 届山西省运城市高三上学期期末数学（理）试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别化简集合 和 ，再求交集即可. 【详解】 由题知： ， ， 由交集的运算知： . 故选：D 【点睛】 本题主要考查交集的运算，同时考查了函数的定义域和值域，属于简单题. 2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】化简复数 ，得到代数式 ，再求共轭复数即可. 【详解】 . . 故选：B 【点睛】 本题主要考查复数的除法以及共轭复数，同时考查了计算能力，属于简单题. 3．已知向量 ，向量 ，则向量 在 方向上的投影为（ ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】B 【解析】根据向量 在 方向上的投影 ，带入数值即可. { }| ln 1M x y x= = + { }| xP y y e= = M P∩ = ∅ R ( )1,− +∞ ( )0, ∞+ M P { }| 0M x x= > { }| 0P y y= > (0, )M P = +∞ z ( )1 4i z i+ = i z = 2 2i+ 2 2i− 1 2i+ 1 2i− 4 1 iz i = + 2z i= + 4 4 (1 ) 4 4 21 (1 )(1 ) 2 i i i iz ii i i − += = = = ++ + − 2 2z i= − ( )1, 2a = − − ( )3,4b = − a b 5 5− a b a b b ⋅=    【详解】 向量 在 方向上的投影 . 故选：B 【点睛】 本题主要考查向量的投影，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题. 4．若过椭圆 内一点 的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为 （ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设弦的两端点为 ， ， 为 中点得 ， ， 在椭圆上有 ,两式相减得 即 ， 即 即 ， 则 ，且过点 ，有 ， 整理得 ．故选 ． 点睛：本题考查椭圆的中点弦问题；中点弦问题是直线和圆锥曲线的位置关系中的典型 问题，其主要方法是点差法，可避免较复杂的运算量.点差法的主要步骤是：（1）设点， 代入圆锥曲线的方程；（2）作差，利用平方差公式进行整理；（3）得到直线的斜率和 线段中点坐标间的关系. 5．若 ， ，则 （ ） a b 2 2 3 8 1 ( 3) 4 a b b ⋅ −= = = − − +    2 2 19 4 x y+ = (3,1)P 3 4 13 0x y+ − = 3 4 5 0x y− − = 4 3 15 0x y+ − = 4 3 9 0x y− − = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y P AB 1 2 1 2 6 2 x x y y + =  + = A B 2 2 1 1 2 2 2 2 116 4 116 4 x y x y  + =  + = 2 2 2 2 1 2 1 2 016 4 x x y y− ++ = 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 016 4 x x x x x x x x+ − + −+ = 1 2 1 23( ) 08 2 x x y y− −+ = 1 2 1 2 3 4 y y x x − = −− 3 4k = − (3,1)P 31 ( 3)4y x− = − − 3 4 13 0x y+ − = A 3sin( )2 5 π α− = (0, )2 πα ∈ tan2α = A． B． C． D． 【答案】A 【解析】化简 ，得到 ，又因为 ，得到 ， 再带入 即可. 【详解】 ， 因为 ，所以 . . 故选：A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的诱导公式和同角的三角函数关系以及正切二倍角公式，熟记 公式是解决本题的关键，属于简单题. 6．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且 a2， +2，a5 成等差数列，记 Sn 是 数列{an}的前 n 项和，则 S6＝（ ） A．62 B．64 C．126 D．128 【答案】C 【解析】a2，a4+2，a5 成等差数列，可得 a2+a5=2（a4+2），把已知代入解得 q．再利用求 和公式即可得出． 【详解】 设正数的等比数列{an}的公比为 q＞0，a1=2，∵a2，a4+2，a5 成等差数列，∴a2+a5=2 （a4+2），∴2q+2q4=2（2q3+2），解得 q=2．∵S6= . 故选 C. 【点睛】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题． 7．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结 24 7 − 21 32 − 56 27 − 8 3 3sin( )2 5 π α− = 3cos 5 α = (0, )2 πα ∈ 4tan 3 α = 2 2tantan2 1 tan αα α= − 3sin( ) cos2 5 π α α− = = (0, )2 πα ∈ 4tan 3 α = 2 2 422tan 243tan 2 41 tan 71 ( )3 αα α × = = = −− − 4a ( )62 2 -1 =1262-1 合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数 的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 的 图象大致是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先有函数的奇偶性，可排除A、B 选项，再取特值求得 ，根据函数 的单调性排除选项 C，可得答案. 【详解】 因为函数 ， 所以函数 不是偶函数，图像不关于 y 轴对称，故排除 A、B 选项； 又因为 ，而选项 C 在 是递增的，故排除 C 故选 D 【点睛】 本题考查了函数的图像和性质，利用性质取特值判断图像是解题的关键，属于较为基础 题. 8．已知实数 ， 满足 ， 且 ， ，则执行如图所 示的程序框图，输出是 （ ） ( ) 4 4 1x xf x = − (3), (4)f f ( ) 4 4 1x xf x = − 4 4( )( ) ( ) 4 1 4 1x x x xf x f x− − −− = = ≠ − − ( )f x 81 256(3) , (4) , (3) (4)63 255f f f f= = ∴ > 0x > a b 1a > 1b > 10log log 3a bb a+ = b aa b= S = A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】首先化简 ，得到： 或 .根据 得：当 时，解得 ，当 时，解得 .根据程序框图 知：输出的为 中较小的数，所以 . 【详解】 因为 ，所以 . 整理得： . 解得： 或 . 又因为 ，所以 . 即： . 当 时， . 当 时， . 根据程序框图知：输出的为 中较小的数，所以 . 故答案为： 【点睛】 2 3 10log log 3a bb a+ = 1log 3a b = log 3a b = b aa b= log 3a b = 3 3 3 a b  = = 1log 3a b = 3 3 3 a b  = = ,a b 3S = 10log log 3a bb a+ = 1 10log log 3a a b b + = 23(log ) 10log 3 0a ab b− + = 1log 3a b = log 3a b = b aa b= log logb a a aa b= logab a b= ⇒ loga b ba = log 3a b = 3 3 3 3 3 b a a b ba  =  = ⇒ = =  1log 3a b = 1 3 3 3 1 3 3 b a a b b a  =  = ⇒  = =  ,a b 3S = 3 本题主要考查了指数的换底公式的应用和指数对数之间的互化以及运算，同时考查了程 序框图中的条件结构，熟练掌握指数，对数的运算是解决本题的关键，属于中档题. 9．已知向量 ， ，设函数 ，则 下列关于函数 的性质描述错误的是（ ） A．函数 在区间 上单调递增 B．函数 图象关于直线 对称 C．函数 在区间 上单调递减 D．函数 图象关于点 对称 【答案】C 【解析】首先化简 ，得到 ，依次判断选项即可 得到答案. 【详解】 . 选项：因为 ，所以 . 则函数 在区间 上单调递增是正确的. 选项： ，故 正确. 选项：因为 ，所以 . 函数 在区间 上有增有减，所以 错误. 选项： ，故 正确. 故选：C 【点睛】 本题主要考查了三角函数的单调区间和对称轴，中心对称点，同时考查平面向量数量积 公式的应用，熟练掌握公式是解决本题的关键，属于中档题. ( )2sin , cosm x x= − ( )cos , 3n x= − ( ) 3 2f x m n= +   ( )f x ( )f x [ , ]12 2 π π ( )f x 7 12x π= ( )f x [ , ]6 3 π π− ( )f x ( ,0)3 π ( ) 3 2f x m n= +   ( ) sin(2 )3f x x π= − + ( ) 2 3sin cos 3 cos 2f x x x x= − − + 1 3(1 cos2 ) 3sin 22 2 2 xx += − − + sin(2 )3x π= − + A 12 2x π π≤ ≤ 422 3 3x π π π≤ + ≤ ( )f x [ , ]12 2 π π B 7 7 3sin(2 ) sin 112 12 3 2f ππ π π  = − × + = − =   B C 6 3x π π− ≤ ≤ 0 2 3x π π≤ + ≤ ( )f x [ , ]6 3 π π− C D sin(2 ) sin 03 3 3f π π π π  = − × + = − =   D 10．已知 ， ， ， ， 是球 的球面上的五个点，四边形 为梯形， ， ， ， 面 ，则球 的体积为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据已知中的平行关系和长度关系可确定 中点 为底面梯形的外接圆圆 心，根据球的性质可知 平面 ，利用勾股定理构造出关于 和球的半径 的方程，解方程求得 ，代入球的体积公式可求得结果. 【详解】 取 中点 ，连接 且 四边形 为平行四边形 ，又 为四边形 的外接圆圆心 设 为外接球的球心，由球的性质可知 平面 作 ，垂足为 四边形 为矩形， 设 ， 则 ，解得： 球 的体积： 本题正确选项： 【点睛】 本题考查棱锥外接球体积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，主要是根据 球心与底面外接圆圆心连线垂直于底面的性质，通过勾股定理构造方程求得结果. P A B C D O ABCD / /AD BC 2AB DC AD= = = 4BC PA= = PA ⊥ ABCD O 64 2 3 π 16 2 3 π 16 2π 16π BC E OE ⊥ ABCD OE R R BC E , ,AE DE BD / /AD BC 1 2AD BC EC= = ∴ ADCE AE DC∴ = 1 2DC BC= 1 2DE BC∴ = AE DE BE EC∴ = = = E∴ ABCD O OE ⊥ ABCD OF PA⊥ F ∴ AEOF 2OF AE= = AF x= OP OA R= = ( )2 24 4 4x x+ − = + 2x = 4 4 2 2R∴ = + = ∴ O 34 64 2 3 3V Rπ π= = A 11．已知 ， 为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆上异于顶点的任意一点， 点 是 内切圆的圆心，过 作 于 ， 为坐标原点，则 的 取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先延长 ， 交于 点，连接 ，根据题意得到 .得 的取值范围是： . 【详解】 延长 ， 交于 点，连接 ， 因为点 是 内切圆的圆心， 所以 平分 . 因为 ，所以 为 的中点. 又因为 为 的中点， 所以 . 所以 的取值范围是： . 故选：C 【点睛】 本题主要考查椭圆的定义，同时考查了三角形内切圆的性质，属于难题. 1F 2F 2 2 14 x y+ = P Q 1 2F PF∆ 1F 1F M PQ⊥ M O | |OM ( )0,1 ( )0, 2 ( )0, 3 ( )0,2 3 2PF 1F M N OM 2 2 1 1 ( )2 2OM F N PN PF= = − 1 2 1 2 1 1( ) 32 2PF PF F F c= − < = = OM (0, 3) 2PF 1F M N OM Q 1 2F PF∆ PQ 1 2F PF∠ 1F M PQ⊥ 1PN PF= ⇒ M 1F N O 1 2F F 2 2 1 1 ( )2 2OM F N PN PF= = − 1 2 1 2 1 1( ) 32 2PF PF F F c= − < = = OM (0, 3) 12．如果函数 的导函数为 ，在区间 上存在 ， （ ），使得 ， ，则称 为区间 上的“双中值函数”.已知函数 是区间 上的“双中值 函数”，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先求导，由题知满足满足： .等价 于：方程 在 上有两个不相等的根，利用二次函数的性质即可 求出 的范围. 【详解】 由题知： 在区间 上存在 ， 满足： . 等价于：方程 在 上有两个不相等的根. 则 . 故选：B 【点睛】 本题主要考查了新函数的定义，同时考查了二次函数的性质，等价转化是解决本题的关 键，属于难题. 二、填空题 13．已知 （其中 表示 的导函数），则 ( )f x ( )'f x [ ],a b 1x 2x 1 2a x x b< < < 1 ( ) ( )'( ) f b f af x b a −= − 2 ( ) ( )'( ) f b f af x b a −= − ( )f x [ ],a b ( ) 3 21 3 2 mg x x x= − [ ]0,2 m 4 8[ , ]3 3 4 8( , )3 3 4[ , )3 +∞ ( , )−∞ +∞ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 0 4 2 0 3 g gg x g x m −′ ′= = = −− 2 4 03x mx m− + − = (0,2) m ( ) 2g x x mx′ = − [ ]0,2 1x 2x 1 2(0 2)x x< < < ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 0 4 2 0 3 g gg x g x m −′ ′= = = −− 2 4 03x mx m− + − = (0,2) 2 44( ) 03 0 2 4 82 4 3 303 44 2 ( ) 03 m m m m m m m ∆ = − − >   < < ⇒ < <  − >   − + − >  ( ) ( )ln 2 ' 1f x x xf= + 'f ( )f x ( )' 2f = __________． 【答案】 【解析】首先 ，将 带入求出 ，即可求出 ，再求 即可. 【详解】 . 令 ，得： ，解得： . 所以 ， . 故答案为： 【点睛】 本题主要考查导数的求导公式，熟记求导公式是解题的关键，属于简单题. 14．已知平面四边形 中， ， ， ，则 的最大值为__________． 【答案】4 【解析】由题知：四边形 为圆内接四边形， 的最大值为四边形外接圆的直 径，由正弦定理即可求出 的最大值. 【详解】 因为 ， ，所以 故 的最大值为四边形外接圆的直径. 当 为四边形外接圆的直径时， 得到： ，又因为 ， ， 所以 . 在 中，由正弦定理得： 3 2 − ( ) ( )1 2 1f x fx ′ ′= + 1x = ( )1 1f ′ = − ( ) 1 2f x x ′ = − ( )2f ′ ( ) ( )1 2 1f x fx ′ ′= + 1x = ( ) ( )1 1 2 1f f′ ′= + ( )1 1f ′ = − ( ) 1 2f x x ′ = − ( ) 1 32 22 2f ′ = − = − 3 2 − ABCD 120BAD∠ = ° 60BCD∠ = ° 2AB AD= = AC ABCD AC AC 120BAD∠ = ° 60BCD∠ = ° AC AC 90ADC ABC∠ = ∠ = ° 2AB AD= = 60BCD∠ = ° 30ACD ACB∠ = ∠ = ° ABC ，解得： . 故答案为： 【点睛】 本题主要考查正弦定理得应用，判断四边形 为圆内接四边形是解题的关键，属 于中档题. 15．已知数列 为正项的递增等比数列， ， ，记数列 的前 项和为 ，则使不等式 成立的最大正整数 的值是 __________． 【答案】8 【解析】根据 ，求得 ， .再求出 ，带 入不等式 ，解不等式即可. 【详解】 因为数列 为正项的递增等比数列， 由 ，解得 . 则 ， . . . 整理得： . 使不等式成立的最大整数 为 . 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于 中档题. sin90 sin30 AC AB=° ° 4AC = 4 ABCD { }na 1 5 82a a+ = 2 4 81a a = 2 na       n nT 1 12020 | 1| 13 n n T a − − > n 1 5 2 4 1 5 82 81 a a a a a a + =  = = 1 5 1 81 a a =  = 13 −= n na 13(1 )3n nT = − 1 12020 | 1| 13 n n T a − − > { }na 1 5 2 4 1 5 82 81 a a a a a a + =  = = 1 5 1 81 a a =  = 3q = 13 −= n na 1(1 ) 132 3(1 )1 31 3 n n nT − = × = − − 1 12020 | 1| 13 n n T a − − > ⇒ 1 1 12020 |1 1| 13 3n n−− − − > 3 8080n < n 8 8 16．若 （其中 为整数），则称 是离实数 最近的整数，记作 .下列关于函数 的命题中，正确命题的序号是__________． ①函数 的定义域为 ，值域为 ； ②函数 是奇函数； ③函数 的图象关于直线 （ ）对称； ④函数 是周期函数，最小正周期为 1； ⑤函数 在区间 上是增函数. 【答案】①③④ 【解析】首先得到 ，画出 的图像即可找到正确的命题. 【详解】 由题知： 当 时， ， ， 当 时， ， ， 当 时， ， ， 由图像知： 函数 的定义域为 ，值域为 ，偶函数； 图象关于直线 对称；周期为 1； 在区间 上的单调性是先减后增. 故①③④正确. 故答案为：①③④ 1 1 2 2m x m− < ≤ + m m x { }x m= ( ) { }| |f x x x= − ( )y f x= R 1[0, ]2 ( )y f x= ( )y f x= 2 kx = k Z∈ ( )y f x= ( )y f x= 1 1[ , ]2 2 − ( ) { }| | | |f x x x x m= − = − ( )f x ( ) { }| | | |f x x x x m= − = − 0m = 1 1 2 2x− < ≤ ( ) | |f x x= 1m = 1 3 2 2x< ≤ ( ) | |1f x x= − 2m = 3 5 2 2x< ≤ ( ) | 2 |f x x= − ( )y f x= R 1[0, ]2 2 kx = ( )k ∈Z 1 1[ , ]2 2 − 【点睛】 本题时新函数定义问题，考查函数的性质，画出图像为解题关键，考查了学生的数形结 合的能力，属于难题. 三、解答题 17．在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， . （1）求 的值； （2）若 ，求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由正弦定理知： ， 化简 得 ，即 . （2）由 得到 ，因为 ， ，解得 ，代入 即可. 【详解】 （1）∵ 由正弦定理知： ， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ （2）∵ ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ABC∆ A B C a b c 8a = cos cos 2 sin cos cosc A B a C B c C= − tan B 16AB CB =   b 2 2 13 2 sina R A= 2 sinc R C= cos cos 2 sin cos cosc A B a C B c C= − 2sin cos sin sinA B A B= tan 2B = tan 2B = 5cos 5B = 16AB CB =   8a = 2 5c = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − cos cos 2 sin cos cosc A B a C B c C= − 2 sina R A= 2 sinc R C= sin cos cos 2sin sin cos sin cosC A B A C B C C= − sin 0C ≠ cos cos 2sin cos cosA B A B C= − ( )cos cos 2sin cos cosA B A B A B= + + cos cos 2sin cos cos cos sin sinA B A B A B A B= + − 2sin cos sin sinA B A B= sin 0A ≠ tan 2B = tan 2B = 5cos 5B = 16AB CB =   cos 16ac B = 8a = 2 5c = ∴由余弦定理知， ∴ 【点睛】 本题第一问考查了正弦定理和两角和差公式，第二问考查了向量的数量积运算和余弦定 义，同时考查了学生的计算能力，属于中档题. 18．在多面体 中，四边形 是正方形， 平面 ， ， ， 为 的中点. （1）求证： ； （2）求平面 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】（1）首先证明 ， ， ，∴ 平面 . 即可得到 平面 ， . （2）以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空 间直角坐标系，分别求出平面 和平面 的法向量，带入公式求解即可. 【详解】 （1）∵ 平面 ， 平面 ，∴ . 又∵四边形 是正方形，∴ . ∵ ，∴ 平面 . ∵ 平面 ，∴ . 又∵ ， 为 的中点，∴ . ∵ ，∴ 平面 . ∵ 平面 ，∴ . （2）∵ 平面 ， ，∴ 平面 . 以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直 2 2 2 2 12 cos 8 20 2 8 2 5 52 5 b a c ac B= + − = + − × × × = 2 13b = ABCDEF ABCD CF ⊥ ABCD CF DE 2 2AB CF DE= = = G BF CG AF⊥ BCF AEF 30 6 CG AB⊥ CG BF⊥ AB BF B= CG ⊥ ABF AF ⊂ ABF CG AF⊥ D DA DC DE x y z AEF BCF CF ⊥ ABCD AB Ì ABCD CF AB⊥ ABCD AB BC⊥ BC CF C= AB ⊥ BCF CG ⊂ BCF CG AB⊥ 2BC CF= = G BF CG BF⊥ AB BF B= CG ⊥ ABF AF ⊂ ABF CG AF⊥ CF ⊥ ABCD CF DE DE ⊥ ABCD D DA DC DE x y z 角坐标系. 如图所示： 则 ， ， ， . ∴ ， ， . 设 为平面 的法向量， 则 ，得 ， 令 ，则 . 由题意知 为平面 的一个法向量， ∴ ， ∴平面 与平面 所成角的正弦值为 . 【点睛】 本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直 角坐标系是解题关键，属于中档题. 19．设 为等差数列 的前 项和，且 . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设数列 的前 项和为 ，且 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）将 和 利用 和 来表示，构造方程组解得 和 ，根据等差数列 通项公式求得结果；（Ⅱ）由等差数列前 项和公式求得 ，可得到 ，根据 和 可得 ；根据通项公式可知当 时， ；当 时， ( )0,0,0D ( )2,0,0A ( )0,2,0C ( )0,0,1E ( )0,2,2F ( )2,0,1AE = − ( )0,2,1EF = ( )0,2,0DC = ( ), ,n x y z= AEF · 0 · 0 n AE n EF  =  =   2 0 2 0 x z y z − + =  + = 1x = ( )1, 1,2n = − ( )0,2,0DC = BCF ( ) 2 6cos , 6| || | 6 2 n DCn DC n DC −= = = − ×      BCF AEF 26 301 ( )6 6 − − = nS { }na n 2 515 65a S= =， { }na { }nb n nT 10n nT S= − { }nb n nR 2 19na n= − + 2 2 18 10,1 9 18 152, 10n n n nR n n n − + − ≤ ≤=  − + ≥ 2a 5S 1a d 1a d n nS nT 1 1b T= 1n n nb T T −= − nb 1 9n≤ ≤ 0nb > 10n≥ ，从而可得： 时 ； 时 ，从而求得结果. 【详解】 （Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，则： 解得： （Ⅱ）由（Ⅰ）得： 当 时， 当 且 时， 经验证 当 时， ；当 时， 当 时， 当 时， 综上所述： 【点睛】 本题考查等差数列通项公式的求解、含绝对值的数列的前 项和的求解.求解含绝对值的 数列的前 项和的关键是判断出数列中各项的符号，从而可去掉绝对值符号，将问题转 变为普通数列前 项和的求解. 20．已知函数 . ⑴求函数 的单调区间； ⑵如果对于任意的 ， 总成立，求实数 的取值范围. 0nb < 1 9n≤ ≤ n nR T= 10n≥ 92n nR T T= − + { }na d 2 1 5 1 15 5 45 652 a a d S a d = + = ×= + = 1 17 2 a d =  = − ( ) ( )1 1 17 2 1 2 19na a n d n n∴ = + − = − − = − + ( )1 2 182 n n n a aS n n += = − + 2 18 10nT n n∴ = − + − 1n = 1 1 7b T= = 2n ≥ *n N∈ 1 2 19n n nb T T n−= − = − + 1 17b ≠ 7, 1 2 19, 2n nb n n =∴ = − + ≥ 1 9n≤ ≤ 0nb > 10n≥ 0nb < ∴ 1 9n≤ ≤ 2 1 2 1 2 18 10n n nR b b b b b b n n= + +⋅⋅⋅+ = + +⋅⋅⋅+ = − + − 10n≥ ( )1 2 1 2 9 10 11n n nR b b b b b b b b b= + +⋅⋅⋅+ = + +⋅⋅⋅+ − + +⋅⋅⋅+ ( ) ( ) 2 1 2 9 1 2 9 10 11 92 18 1522 n nb b b b b b b b b T T n n+ +⋅⋅⋅+ − + +⋅⋅⋅+ + +⋅⋅⋅+ = − + = − ++ 2 2 18 10,1 9 18 152, 10n n n nR n n n − + − ≤ ≤=  − + ≥ n n n ( ) sinxf x e x= ( )f x [0, ]2x π∈ ( )f x kx≥ k 【答案】（1） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2） 【解析】【详解】试题分析：⑴求出函数的导数令其大于零得增区间，令其小于零得减 函数；⑵令 ，要使 总成立，只需 时 ，对 讨论,利用导数求 的最小值. 试题解析：(1) 由于 ，所以 . 当 ，即 时， ； 当 ，即 时， . 所以 的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 . (2) 令 ，要使 总成立，只需 时 . 对 求导得 ， 令 ，则 ，( ) 所以 在 上为增函数，所以 . 对 分类讨论： ① 当 时， 恒成立，所以 在 上为增函数，所以 ，即 恒成立； ② 当 时， 在上有实根 ，因为 在 上为增函数，所以 当 时， ，所以 ，不符合题意； ③ 当 时， 恒成立，所以 在 上为减函数，则 ，不符合题意. 综合①②③可得，所求的实数 的取值范围是 . ( )f x 3(2 ,2 )4 4k k π ππ π− + 3 7(2 ,2 )4 4k k π ππ π+ + ( )k Z∈ ( ,1]−∞ ( ) ( ) sinxg x f x kx e x kx= − = − ( )f x kx≥ [0, ]2x π∈ min( ) 0g x ≥ ( ) sinxf x e x= '( ) sin cos (sin cos ) 2 sin( )4 x x x xf x e x e x e x x e x π= + = + = + (2 ,2 )4x k k π π π π+ ∈ + 3(2 ,2 )4 4x k k π ππ π∈ − + '( ) 0f x > (2 ,2 2 )4x k k π π π π π+ ∈ + + 3 7(2 ,2 )4 4x k k π ππ π∈ + + '( ) 0f x < ( )f x 3(2 ,2 )4 4k k π ππ π− + ( )k ∈Z 3 7(2 ,2 )4 4k k π ππ π+ + ( )k ∈Z ( ) ( ) sinxg x f x kx e x kx= − = − ( )f x kx≥ [0, ]2x π∈ min( ) 0g x ≥ ( )g x ( ) (sin cos )xg x e x x k= + −′ ( ) (sin cos )xh x e x x= + ( ) 2 cos 0xh x e x′ = > (0, )2x π∈ ( )h x [0, ]2 π 2( ) [1, ]h x e π ∈ 1k ≤ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x [0, ]2 π min( ) (0) 0g x g= = ( ) 0g x ≥ 21 k e π < < ( ) 0g x′ = 0x ( )h x (0, )2 π 0(0, )x x∈ ( ) 0g x′ < 0( ) (0) 0g x g< = 2k e π ≥ ( ) 0g x′ ≤ ( )g x (0, )2 π ( ) (0) 0g x g< = ( ,1]−∞ 【考点】利用导数求函数单调区间、利用导数求函数最值、构造函数. 21．过 轴上动点 引抛物线 的两条切线 ， ，其中 ， 为 切线. （1）若切线 ， 的斜率分别为 和 ，求证： 为定值，并求出定值； （2）当 最小时，求 的值. 【答案】（1）证明见解析， 为定值-4（2） 【解析】（1）联立 ，得 ，则 ， 是方程 的解，故 ，即 为定值 . （2）要使 最小，就是使得 到直线 的距离最小，首先求出直线 的方程， 利用点到直线公式和基本不等式得到： 到直线 的距离最小值时 ，再联立 得到 ， ， ，带入 即可. 【详解】 （1）设过 与抛物线 相切的直线的斜率是 ， 则该切线方程为： . 由 ，得 . ∴ . 则 ， 是方程 的解， 故 ，即 为定值 . （2）要使 最小，就是使得 到直线 的距离最小. 设 ， ，由题知： ， . x ( ),0A a 2 1y x= − − AP AQ P Q AP AQ 1k 2k 1 2k k | | APQS PQ ∆  AP AQ   1 2k k 9 2 ( ) 2 1 y k x a y x  = −  = − − ( )2 1 0x kx ka+ + − = 1k 2k 2 4 4 0k ka+ − = 1 2 4k k = − 1 2k k 4− | | APQS PQ ∆  A PQ PQ A PQ 2 1 2a = 2 2 2 1 y ax y x = − −  = − − 2 2 1 0x ax− − = 1 2 2x x a+ = 1 2 1x x = − AP AQ   ( ),0A a 2 1y x= − − k ( )y k x a= − ( ) 2 1 y k x a y x  = −  = − − ( )2 1 0x kx ka+ + − = ( )2 24 1 4 4 0k ka k ka∆ = + − = + − = 1k 2k 2 4 4 0k ka+ − = 1 2 4k k = − 1 2k k 4− | | APQS PQ ∆  A PQ 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y 2y x′ = − 12APk x= − 故切线 的方程为： . 则 ， 整理得： .同理得： . 所以 . 直线 的方程为 . 设 到直线 的距离为 ，则 当且仅当 即 时取等号 由 得 则 ， ∴ . 【点睛】 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时考查了利用导数思想求切线，基本不等式 求最值的思想，属于难题. 22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），它与 曲线 C：（y－2）2－x2＝1 交于 A、B 两点． （1）求|AB|的长； （2）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标为 AP 1 1 12 ( )y y x x x− = − − 2 1 1 1 1 1 1 12 ( ) 2 2 2 2( 1)y x a x x a x x a y− = − − = − + = − + − − 1 12 2y ax= − − 2 22 2y ax= − − 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( 2 2) 2PQ y y ax axk ax x x x − − − − − −= = = −− − PQ 2 2y ax= − − A PQ d 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 3 1 3( 4 1 )2 24 1 4 1 4 1 a ad a a a a + + += = = + + + + + 2 2 1 32 4 1 32 4 1 a a ≥ + + = +  2 2 34 1 4 1 a a + = + 2 1 2a = 2 2 2 1 y ax y x = − −  = − − 2 2 1 0x ax− − = 1 2 2x x a+ = 1 2 1x x = − ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2AP AQ x a x a y y x a x a ax ax= − − + = − − + + +   ( ) ( )2 2 1 2 1 21 4 3 4a x x a x x a= + + + + + ( )2 2 2 91 4 3 2 4 3 3 2a a a a a= − + + + + = + = 32 5 42 5 x t y t  = − +  = + ，求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离． 【答案】（1） ；（2） 【解析】试题分析： （1）直线 的参数方程是标准参数方程，因此可把直线参数方程代入曲线 的方程， 由利用韦达定理可得 ；（2）把 点极坐标化为直角坐标，知 为直线参 数方程的定点，因此利用参数 的几何意义可得 ． 试题解析： （1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2+60t﹣125=0 设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 ． ∴ ． （2）由 P 的极坐标为 ，可得 ， ． ∴点 P 在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2）， 根据中点坐标的性质可得 AB 中点 M 对应的参数为 ． ∴由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为 ． 点睛：过点 ，倾斜角为 的直线的标准参数方程 为参数）， 其中直线上任一点 参数的参数 具有几何意义： ，且 方向向上时， 为正， 方向向下时， 为负． 23．已知函数 （ ， ， ）的图象过定点 （1）求证： ； （2）求 的最小值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】（1）由题知： ，所以 .化 简即可证明不等式. 32 2, 4 π     10 717 30 7 l C 1 2AB t t= − P P t 1 2 2 t tPM += 1 2 1 2 60 125,7 7t t t t+ = − = − 2 1 2 1 2 1 2 10 71( ) 4 7AB t t t t t t= − = + − = 3(2 2, )4 π 32 2 cos 24Px π= = − 32 2 sin 24Py π= = 1 2 30 2 7 t t+ = − 1 2 30 2 7 t tPM += = 0 0( , )P x y α 0 0 cos (sin x x t ty y t α α = +  = + M t PM t= PM t PM t 21 1 1( ) 3 2f x x xa b c = + + 0a > 0b > 0c > ( )1,3A 1 6abc ≥ 3 2a b c+ + 2 ( ) 1 1 11 33 2f a b c = + + = 31 1 1 13 33 2 6a b c abc = + + ≥ （2）由（1）知 ，所以 ， 利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】 （1）因为函数 （ ， ， ）的图象过定点 所以 . 所以 . 当且仅当 即 ， ， 时取等号， 所以 故 （2）由（1）知 ， ∴ . . 当且仅当 即 ， ， 时取等号， 故 的最小值为 3. 【点睛】 本题主要考查不等式的证明以及最值得求解，考查了学生的运算求解能力和逻辑推理能 力，属于中档题. 1 1 1 33 2a b c + + = ( ) 1 1 1 13 2 3 2 ( )3 3 2a b c a b c a b c + + = + + × + + ( ) 21 1 1 3 2f x x xa b c = + + 0a > 0b > 0c > ( )1,3A ( ) 1 1 11 33 2f a b c = + + = 31 1 1 13 33 2 6a b c abc = + + ≥ 1 1 1 13 2a b c = = = 1 3a = 1 2b = 1c = 6 1abc ≥ 1 6abc ≥ 1 1 1 33 2a b c + + = ( ) 1 1 1 13 2 3 2 ( )3 3 2a b c a b c a b c + + = + + × + + 1 2 3 3 2 1(3 ) (3 2 2 2) 33 3 2 3 2 3 b a c a c b a b a c b c + + + + + + ≥ + + + = 3 2 1a b c= = = 1 3a = 1 2b = 1c = 3 2a b c+ +