新高考2020版高考数学二轮复习专题过关检测二十二坐标系与参数方程文 5页

专题过关检测（二十二） 坐标系与参数方程 ‎1．(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.‎ ‎(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；‎ ‎(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．‎ 解：(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，‎ 所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，‎ M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，‎ M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ.‎ ‎(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：‎ 若0≤θ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；‎ 若≤θ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；‎ 若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝.‎ 综上，P的极坐标为或或或.‎ ‎2．曲线C的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.‎ ‎(1)写出C的普通方程，并用(α为直线的倾斜角，t为参数)的形式写出直线l的一个参数方程；‎ ‎(2)l与C是否相交？若相交，求出两交点的距离，若不相交，请说明理由．‎ 解：(1)C的普通方程为＋y2＝1，‎ 由ρcos＝得x－y－2＝0，‎ 5‎ 则直线l的倾斜角为，‎ 又直线l过点(2,0)，‎ 得直线l的一个参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的普通方程得 ‎5t2＋4t＝0，解得t1＝0，t2＝－，‎ 显然l与C有两个交点，‎ 分别记为A，B，且|AB|＝|t1－t2|＝.‎ ‎3．(2019·成都二诊)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，曲线C的参数方程为(β为参数，β∈[0，π])．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)写出曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C恰有一个公共点P，求点P的极坐标．‎ 解：(1)由曲线C的参数方程得(x－4)2＋y2＝4.‎ ‎∵β∈[0，π]，∴曲线C的普通方程为(x－4)2＋y2＝4(y≥0)．‎ ‎∵直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，‎ ‎∴直线l的倾斜角为α，且过原点O(极点)．‎ ‎∴直线l的极坐标方程为θ＝α，ρ∈R.‎ ‎(2)由(1)可知，曲线C为半圆弧．‎ 若直线l与曲线C恰有一个公共点P，则直线l与半圆弧相切．‎ 设P(ρ，θ)(ρ>0)．由题意，得sin θ＝＝，故θ＝.‎ 而ρ2＋22＝42，∴ρ＝2.‎ ‎∴点P的极坐标为.‎ ‎4．(2019·昆明质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数，0≤β<π)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)已知直线l与曲线C相交于A，B两点，且|OA|－|OB|＝2，求β.‎ 解：(1)由曲线C的参数方程可得普通方程为(x－2)2＋y2＝3，‎ 即x2＋y2－4x＋1＝0，‎ 5‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋1＝0.‎ ‎(2)由直线l的参数方程可得直线l的极坐标方程为θ＝β(ρ∈R)．‎ 因为直线l与曲线C相交于A，B两点，所以设A(ρ1，β)，B(ρ2，β)(ρ1>ρ2)，‎ 联立得可得ρ2－4ρcos β＋1＝0，‎ 因为Δ＝16cos2β－4>0，所以cos2β>，‎ 所以|OA|－|OB|＝ρ1－ρ2＝＝＝2，‎ 解得cos β＝±，所以β＝或.‎ ‎5．(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于O的三点A(ρ1，φ)，B，C(ρ1，ρ2，ρ3>0)都在曲线M上．‎ ‎(1)求证：ρ1＝ρ2＋ρ3；‎ ‎(2)若过B，C两点的直线的参数方程为(t为参数)，求四边形OBAC的面积．‎ 解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos，ρ3＝2cos，‎ 则ρ2＋ρ3＝2cos＋2cos＝2cos φ＝ρ1.‎ ‎(2)由曲线M的极坐标方程得曲线M的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，‎ 将直线BC的参数方程代入曲线M的直角坐标方程得t2－t＝0，解得t1＝0，t2＝，∴在平面直角坐标系中，B，C(2,0)，‎ 则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝，∴ρ1＝.‎ ‎∴四边形OBAC的面积S＝S△AOB＋S△AOC＝ρ1ρ2sin ＋ρ1ρ3sin ＝.‎ ‎6．(2020届高三·湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数). 在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝4sin.‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设曲线C与直线l的交点为A，B，Q是曲线C上的动点，求△ABQ面积的最大值．‎ 解：(1)由消去t得x＋y－5＝0，所以直线l的普通方程为x＋y－5＝0.‎ 由ρ＝4sin＝4sin θ＋4cos θ，得ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，‎ 化为直角坐标方程为x2＋y2＝4x＋4y，‎ 5‎ 所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.‎ ‎(2)由(1)知，曲线C是以(2,2)为圆心，2为半径的圆，直线l过点P(3,2)，可知点P在圆内．‎ 将直线l的参数方程化为代入圆的直角坐标方程，‎ 得t2－9t＋33＝0.‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝9，t1t2＝33，‎ 所以|AB|＝|t2－t1|＝＝.‎ 又圆心(2,2)到直线l的距离d＝＝，‎ 所以△ABQ面积的最大值为××＝.‎ ‎7．(2019·贵阳第一学期监测)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.‎ ‎(1)判断直线l与曲线C的位置关系；‎ ‎(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．‎ 解：(1)由消去t得y＝x＋4，‎ 由ρ＝2cos得ρ＝cos θ－sin θ，‎ 由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2得 2＋2＝1，即C是以为圆心，1为半径的圆，圆心到直线y＝x＋4的距离d＝＝5>1，‎ 所以直线l与曲线C相离．‎ ‎(2)圆的参数方程为(θ为参数)，‎ 则x＋y＝sin θ＋cos θ＝sin，‎ 又由θ∈R可得－1≤sin≤1，‎ 则－≤x＋y≤，‎ 所以x＋y的取值范围为[－，]．‎ 5‎ ‎8．(2019·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)当00，结合00，‎ ‎∴＋＝＋＝＝.‎ ‎∵30，结合00，t2>0，‎ ‎∴＋＝＋＝＝.‎ ‎∵3