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  • 2021-06-30 发布

新高考2020版高考数学二轮复习专题过关检测二十二坐标系与参数方程文

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专题过关检测(二十二) 坐标系与参数方程 ‎1.(2019·全国卷Ⅲ)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,π),弧,,所在圆的圆心分别是(1,0),,(1,π),曲线M1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧.‎ ‎(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;‎ ‎(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=,求P的极坐标.‎ 解:(1)由题设可得,弧,,所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ,‎ 所以M1的极坐标方程为ρ=2cos θ,‎ M2的极坐标方程为ρ=2sin θ,‎ M3的极坐标方程为ρ=-2cos θ.‎ ‎(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知:‎ 若0≤θ≤,则2cos θ=,解得θ=;‎ 若≤θ≤,则2sin θ=,解得θ=或θ=;‎ 若≤θ≤π,则-2cos θ=,解得θ=.‎ 综上,P的极坐标为或或或.‎ ‎2.曲线C的参数方程为(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos=.‎ ‎(1)写出C的普通方程,并用(α为直线的倾斜角,t为参数)的形式写出直线l的一个参数方程;‎ ‎(2)l与C是否相交?若相交,求出两交点的距离,若不相交,请说明理由.‎ 解:(1)C的普通方程为+y2=1,‎ 由ρcos=得x-y-2=0,‎ 5‎ 则直线l的倾斜角为,‎ 又直线l过点(2,0),‎ 得直线l的一个参数方程为(t为参数).‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的普通方程得 ‎5t2+4t=0,解得t1=0,t2=-,‎ 显然l与C有两个交点,‎ 分别记为A,B,且|AB|=|t1-t2|=.‎ ‎3.(2019·成都二诊)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),曲线C的参数方程为(β为参数,β∈[0,π]).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)写出曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C恰有一个公共点P,求点P的极坐标.‎ 解:(1)由曲线C的参数方程得(x-4)2+y2=4.‎ ‎∵β∈[0,π],∴曲线C的普通方程为(x-4)2+y2=4(y≥0).‎ ‎∵直线l的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),‎ ‎∴直线l的倾斜角为α,且过原点O(极点).‎ ‎∴直线l的极坐标方程为θ=α,ρ∈R.‎ ‎(2)由(1)可知,曲线C为半圆弧.‎ 若直线l与曲线C恰有一个公共点P,则直线l与半圆弧相切.‎ 设P(ρ,θ)(ρ>0).由题意,得sin θ==,故θ=.‎ 而ρ2+22=42,∴ρ=2.‎ ‎∴点P的极坐标为.‎ ‎4.(2019·昆明质检)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),直线l的参数方程为(t为参数,0≤β<π),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(2)已知直线l与曲线C相交于A,B两点,且|OA|-|OB|=2,求β.‎ 解:(1)由曲线C的参数方程可得普通方程为(x-2)2+y2=3,‎ 即x2+y2-4x+1=0,‎ 5‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ+1=0.‎ ‎(2)由直线l的参数方程可得直线l的极坐标方程为θ=β(ρ∈R).‎ 因为直线l与曲线C相交于A,B两点,所以设A(ρ1,β),B(ρ2,β)(ρ1>ρ2),‎ 联立得可得ρ2-4ρcos β+1=0,‎ 因为Δ=16cos2β-4>0,所以cos2β>,‎ 所以|OA|-|OB|=ρ1-ρ2===2,‎ 解得cos β=±,所以β=或.‎ ‎5.(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线M的极坐标方程为ρ=2cos θ,若极坐标系内异于O的三点A(ρ1,φ),B,C(ρ1,ρ2,ρ3>0)都在曲线M上.‎ ‎(1)求证:ρ1=ρ2+ρ3;‎ ‎(2)若过B,C两点的直线的参数方程为(t为参数),求四边形OBAC的面积.‎ 解:(1)证明:由题意得ρ1=2cos φ,ρ2=2cos,ρ3=2cos,‎ 则ρ2+ρ3=2cos+2cos=2cos φ=ρ1.‎ ‎(2)由曲线M的极坐标方程得曲线M的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,‎ 将直线BC的参数方程代入曲线M的直角坐标方程得t2-t=0,解得t1=0,t2=,∴在平面直角坐标系中,B,C(2,0),‎ 则ρ2=1,ρ3=2,φ=,∴ρ1=.‎ ‎∴四边形OBAC的面积S=S△AOB+S△AOC=ρ1ρ2sin +ρ1ρ3sin =.‎ ‎6.(2020届高三·湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数). 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ=4sin.‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设曲线C与直线l的交点为A,B,Q是曲线C上的动点,求△ABQ面积的最大值.‎ 解:(1)由消去t得x+y-5=0,所以直线l的普通方程为x+y-5=0.‎ 由ρ=4sin=4sin θ+4cos θ,得ρ2=4ρsin θ+4ρcos θ,‎ 化为直角坐标方程为x2+y2=4x+4y,‎ 5‎ 所以曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-2)2=8.‎ ‎(2)由(1)知,曲线C是以(2,2)为圆心,2为半径的圆,直线l过点P(3,2),可知点P在圆内.‎ 将直线l的参数方程化为代入圆的直角坐标方程,‎ 得t2-9t+33=0.‎ 设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=9,t1t2=33,‎ 所以|AB|=|t2-t1|==.‎ 又圆心(2,2)到直线l的距离d==,‎ 所以△ABQ面积的最大值为××=.‎ ‎7.(2019·贵阳第一学期监测)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t是参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos.‎ ‎(1)判断直线l与曲线C的位置关系;‎ ‎(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.‎ 解:(1)由消去t得y=x+4,‎ 由ρ=2cos得ρ=cos θ-sin θ,‎ 由x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2得 2+2=1,即C是以为圆心,1为半径的圆,圆心到直线y=x+4的距离d==5>1,‎ 所以直线l与曲线C相离.‎ ‎(2)圆的参数方程为(θ为参数),‎ 则x+y=sin θ+cos θ=sin,‎ 又由θ∈R可得-1≤sin≤1,‎ 则-≤x+y≤,‎ 所以x+y的取值范围为[-,].‎ 5‎ ‎8.(2019·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l的极坐标方程为θ=.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(2)当00,结合00,‎ ‎∴+=+==.‎ ‎∵30,结合00,t2>0,‎ ‎∴+=+==.‎ ‎∵3