高中数学北师大版新教材必修一同步课件：1-2-2-2　全称量词命题与存在量词命题的否定 47页

第 2 课时　全称量词命题与存在量词命题的否定　　　 必备知识 · 自主学习 导思 1. 全称量词命题的否定是什么 ? 2. 存在量词命题的否定是什么 ? 1. 全称量词命题的否定 全称量词命题 p 命题 p 的否定 结论 ∀ x∈M,x 具 有性质 p(x) _____________ ___________ 全称量词命题的 否定是存在量词 命题　　 ∃ x∈M,x 不具 有性质 p(x) 2. 存在量词命题的否定 存在量词命题 p 命题 p 的否定 结论 ∃ x∈M, x 具有性质 p(x) _____________ ___________ 存在量词命题的 否定是全称量词 命题 ∀ x∈M,x 不具 有性质 p(x) 　 【 思考 】 对省略量词的全称量词命题或存在量词命题怎样否定 ? 提示 : 对于省略了量词的全称量词命题或存在量词命题进行否定时 , 可先根据题意补上适当的量词 , 再对命题进行否定 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的 . ( 　　 ) (2) ∃ x∈M,p(x) 与 ∀ x∈M,p(x) 的否定的真假性相反 . ( 　　 ) (3) 对全称量词命题或存在量词命题进行否定时 , 量词不需要变 , 只否定结论即可 . ( 　　 ) 提示 : (1) × . 不唯一 , 如“所有的菱形都是平行四边形” , 它的否定是“存在一个菱形不是平行四边形” , 也可以是“有些菱形不是平行四边形” . (2)√. 任意一个命题与其否定只能是一真一假 . (3) × . 对全称量词命题或存在量词命题进行否定时 , 先对量词进行变化 , 全称量词变为存在量词 , 存在量词变为全称量词 , 再否定结论 . 2. 命题“ ∀ x∈N,x 2 >1” 的否定为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. ∀ x∈N,x 2 ≤1 B. ∃ x∈N,x 2 ≤1 C. ∀ x∈N,x 2 <1 D. ∃ x∈N,x 2 <1 【 解析 】 选 B. 因为全称量词命题的否定是存在量词命题 , 所以 , 命题“ ∀ x∈N,x 2 >1” 的否定为“ ∃ x∈N,x 2 ≤1”. 3.( 教材二次开发 : 例题改编 ) 命题“ ∃ x∈R,x 2 +2x+3=0” 的否定是 　　　　 .  【 解析 】 因为存在量词命题的否定是全称量词命题 , 所以命题“ ∃ x∈R,x 2 +2x+3=0” 的否定是“ ∀ x∈R,x 2 +2x+3≠0”. 答案 : ∀ x∈R,x 2 +2x+3≠0 关键能力 · 合作学习 类型一　全称量词命题的否定 ( 逻辑推理 ) 【 题组训练 】 1.(2020· 辽阳高一检测 ) 命题“ ∀ x∈Z,x∈R” 的否定是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A. ∀ x∈Z,x ∉ R B. ∃ x∈Z,x∈R C. ∀ x ∉ Z,x ∉ R D. ∃ x∈Z,x ∉ R 2.(2020· 北京高一检测 ) 命题“∀ x∈A, +1≥1” 的否定是 　　　　 .  3. 写出下列全称量词命题的否定 , 并判断真假 : (1)∀x∈R,1- ≤1. (2) 所有的正方形都是矩形 . (3) 对任意 x∈Z,x 2 的个位数字不等于 3. (4) 正数的绝对值是它本身 . 【 解析 】 1. 选 D. 全称量词命题的否定是存在量词命题 , 所以“ ∀ x∈Z,x∈R” 的 否定是 ∃ x∈Z,x ∉ R. 2. 命题“∀ x∈A, |x| +1≥1” 是全称量词命题 , 它的否定是“∃ x∈A, |x| +1<1”. 答案 : ∃ x∈A, |x| +1<1 3.(1) 该命题的否定 :∃x∈R,1- >1, 因为∀ x∈R, ≥0, 所以 - ≤0, 1- ≤1 恒成立 , 所以这是一个假命题 . (2) 该命题的否定 : 至少存在一个正方形不是矩形 , 假命题 . (3) 该命题的否定 : 至少存在一个 x∈Z,x 2 的个位数等于 3, 因为 0 2 =0,1 2 =1,2 2 =4,3 2 =9,4 2 =16,5 2 =25,6 2 =36,7 2 =49,8 2 =64,9 2 =81,…, 所以这是一 个假命题 . (4) 该命题省略了量词“所有的” , 该命题是全称量词命题 , 它的否定 : 有的正 数的绝对值不是它本身 . 这是一个假命题 . 【 解题策略 】 1. 对全称量词命题否定的两个步骤 (1) 改变量词 : 把全称量词换为恰当的存在量词 . (2) 否定结论 : 原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等 . 2. 全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题 , 其真假性与全称量词命题相反 ; 要说明一个全称量词命题是假命题 , 只需举一个反例即可 . 【 拓展延伸 】 　　　常见的词语的否定 : 原词 否定词 原词 否定词 等于 不等于 至多一个 至少两个 大于 不大于 至少一个 一个也没有 小于 不小于 任意 某个 是 不是 所有的 某些 都是 不都是 【 拓展训练 】 　已知全集 U=R,A ⊆ U,B⊆U, 如果命题 p: ∈(A∪B), 则命题 p 的否定是 　　　 .  【 解析 】 因为 p: ∈(A∪B), 所以 p 的否定是 ∉ A 且 ∉ B, 即 p 的否定是 ∈ ( ∁ U A)∩( ∁ U B). 答案 : ∈( ∁ U A)∩( ∁ U B) 【 补偿训练 】 1. 设 x∈Z, 集合 A 是奇数集 , 集合 B 是偶数集 . 已知命题 ∀ x∈A,2x∈B, 则该命题的否定是 ( 　　 ) A. ∃ x∈A,2x∈B B. ∃ x ∉ A,2x∈B C. ∃ x∈A,2x ∉ B D. ∃ x ∉ A,2x ∉ B 【 解析 】 选 C.“ ∀ x∈A,2x∈B” 是全称量词命题 , 它的否定是“ ∃ x∈A,2x ∉ B”. 2. 写出下列全称量词命题的否定 : (1) 对所有正数 x, >x+1. (2)∀x∈R,x 3 +1≠0. (3) 所有被 5 整除的整数都是奇数 . (4) 每一个四边形的四个顶点共圆 . 【 解析 】 (1) 该命题的否定 : 存在正数 x, ≤x+1. (2) 该命题的否定 :∃x∈R,x 3 +1=0. (3) 该命题的否定 : 存在一个被 5 整除的整数不是奇数 . (4) 该命题的否定 : 存在一个四边形 , 它的四个顶点不共圆 . 类型二　存在量词命题的否定 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 1. 命题“ ∃ x∈ ∁ R Q,x 3 ∈Q” 的否定是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A. ∃ x∈ ∁ R Q,x 3 ∉ Q B. ∃ x∉ ∁ R Q,x 3 ∈Q C. ∀ x∉ ∁ R Q,x 3 ∉ Q D. ∀ x∈ ∁ R Q,x 3 ∉ Q 2. 写出下列存在量词命题的否定 , 并判断真假 : (1) 有些分数不是有理数 . (2) ∃ x,y∈Z,3x-4y=20. (3) 在实数范围内 , 有些一元二次方程无解 . (4) 有些梯形的对角线相等 . 【 思路导引 】 1. 存在量词改为全称量词 , 属于改为不属于 . 2. 先把存在量词改为全称量词 , 再否定结论 . 【 解析 】 1. 选 D. 因为存在量词命题的否定是全称量词命题 , 所以命题“ ∃ x∈ ∁ R Q,x 3 ∈Q” 的否定是“ ∀ x∈ ∁ R Q,x 3 ∉ Q”. 2.(1) 该命题的否定 : 任意分数都是有理数 , 这是一个真命题 . (2) 该命题的否定 : ∀ x,y∈Z,3x-4y≠20, 当 x=4,y=-2 时 ,3x-4y=20. 因此这是一个假命题 . (3) 该命题的否定 : 在实数范围内 , 所有的一元二次方程都有解 , 这是一个假命题 . (4) 该命题的否定 : 所有梯形的对角线不相等 , 如等腰梯形对角线相等 , 因此这是一个假命题 . 【 解题策略 】 1. 对存在量词命题否定的两个步骤 (1) 改变量词 : 把存在量词换为恰当的全称量词 . (2) 否定结论 : 原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等 . 2. 存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题 , 其真假性与存在量词命题相反 ; 要说明一个存在量词命题是真命题 , 只需要找到一个实例即可 . 【 跟踪训练 】 1. 命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 ( 　　 ) A. ∀ x∈R, |x| >0 B.∃x∈R, |x| >0 C.∀x∈R, |x| ≤0 D.∃x∈R, |x| ≤0 【 解析 】 选 C.“ 有些实数的绝对值是正数”的否定是“ ∀ x∈R, |x| ≤0”. 2. 判断下列命题的真假 , 并写出这些命题的否定 : (1) 某些梯形的对角线互相平分 . (2) ∃ x∈{x|x 是无理数 },x 2 是无理数 . (3) 在同圆中 , 存在两段相等的弧 , 它们所对的圆周角不相等 . (4) 存在 k∈R, 函数 y=kx+b 随 x 值的增大而减小 . 【 解析 】 (1) 假命题 . 该命题的否定为 : 任意一个梯形的对角线都不互相平分 . (2) 真命题 . 该命题的否定为 : ∀ x∈{x|x 是无理数 },x 2 是有理数 . (3) 假命题 . 该命题的否定为 : 在同圆中 , 任意两段相等的弧所对的圆周角相等 . (4) 真命题 . 该命题的否定为 : 任意 k∈R, 函数 y=kx+b 不随 x 值的增大而减小 . 【 补偿训练 】 　 　写出下列存在量词命题的否定 , 并判断真假 . (1) 有一个奇数不能被 3 整除 . (2) ∃ x∈Z,x 2 与 3 的和等于 0. (3) 有些三角形的三个内角都为 60°. (4) 存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线 . 【 解析 】 (1) 该命题的否定为 : 每一个奇数都能被 3 整除 . 假命题 . (2) 该命题的否定为 : ∀ x∈Z,x 2 与 3 的和不等于 0. 真命题 . (3) 该命题的否定为 : 任意一个三角形的三个内角不都为 60 ° . 假命题 . (4) 该命题的否定为 : 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 . 真命题 . 类型三　含有一个量词命题的否定的综合问题 ( 逻辑推理 ) 　角度 1 　含有一个量词命题的否定  【 典例 】 写出下列命题的否定 , 并判断真假 : (1) 被 8 整除的数能被 4 整除 ; (2)∀x∈Q, x 2 + x+1 是有理数 ; (3)∃x∈R,x 2 +2x+3≤0; (4) 至少有一个实数 x, 使 x 3 +1=0. 【 思路导引 】 一方面改量词 , 另一方面否定结论 . 【 解析 】 (1) 该命题的否定 : 存在一个数能被 8 整除 , 但不能被 4 整除 , 这是一个假命 题 . (2) 该命题的否定 :∃x∈Q, x 2 + x+1 不是有理数 , 这是一个假命题 . (3) 该命题的否定 :∀x∈R,x 2 +2x+3>0. 因为 ∀ x∈R,x 2 +2x+3=(x+1) 2 +2≥2>0 恒成立 , 所以这是一个真命题 . (4) 该命题的否定 : ∀ x∈R,x 3 +1≠0. 因为当 x=-1 时 ,x 3 +1=0, 所以这是一个假命题 . 　 【 变式探究 】 　把本例 (1) 的命题改为“所有能被 3 整除的整数都是奇数” , 结果又如何 ? 【 解析 】 该命题的否定 : 存在一个能被 3 整除整数不是奇数 . 因为 6 能被 3 整除且不是奇数 . 所以这是一个真命题 . 　角度 2 　知命题真假求参数的范围  【 典例 】 命题“存在 x>a, 使得 2x+a<3” 是假命题 , 求实数 a 的取值构成的集合 . 【 思路导引 】 根据已知命题的否定是真命题 , 列不等式求实数 a 的取值构成的集合 . 【 解析 】 命题“存在 x>a, 使得 2x+a<3” 是假命题 , 所以此命题的否定“任意 x>a, 使得 2x+a≥3” 是真命题 , 因为对任意 x>a 有 2x+a>3a, 所以 3a≥3, 解得 a≥1. 所以实数 a 的取值范围是 {a|a≥1}. 【 解题策略 】 1. 含有一个量词命题的否定的步骤与方法 (1) 确定类型 : 是存在量词命题还是全称量词命题 . (2) 改变量词 : 把全称量词换为恰当的存在量词 ; 把存在量词换为恰当的全称量词 . 注意无量词的全称命题要先补回量词再否定 . (3) 否定结论 : 原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等 . 2. 知命题真假求参数的范围的两个关注点 (1) 命题和它的否定的真假性只能一真一假 , 解决问题时可以相互转化 . (2) 求参数范围问题 , 通常根据有关全称量词和存在量词命题的意义列不等式求范围 . 【 题组训练 】 1. 命题“ ∃ x>0,x+a-1=0” 是假命题 , 则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.{a|a ＜ 1} B.{a|a≤1} C.{a|a ＞ 1} D.{a|a≥1} 【 解析 】 选 D. 命题“ ∃ x>0,x+a-1=0” 是假命题 , 所以此命题的否定为“ ∀ x>0,x+a-1≠0”, 即 ∀ x>0,x≠1-a. 所以 1-a≤0, 即 a≥1. 所以实数 a 的取值范围是 {a|a≥1} . 2. 写出下列命题的否定 , 并判断真假 : (1) ∃ x∈{-2,-1,0,1,2},|x-2|<2. (2) 对所有的正实数 p, 0 或 x-b≤0”, 其中 a,b 是常数 . (1) 写出命题 p 的否定 . (2) 当 a,b 满足什么条件时 , 命题 p 的否定为真 ? 【 解析 】 (1) 命题 p 的否定 : 对任意实数 x, 有 x-a≤0 且 x-b>0. (2) 要使命题 p 的否定为真 , 则需要使 的解集不为空集 , 所以 a,b 应满足的条件是 b3” 的否定是 　　　　 .  【 解析 】 全称量词命题的否定是存在量词命题 , 全称量词“任意”改为存在量词“存在” , 并把结论否定 . 答案 : ∃ x∈R, 使得 |x-2|+|x-4|≤3 4.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 命题“ ∃ x∈Q,x 2 =5” 的否定是 　　　　 , 该命题的 否定是 　　　　 命题 .( 填“真”或“假” )  【 解析 】 “ ∃ x∈Q,x 2 =5” 的否定是“ ∀ x∈Q,x 2 ≠5”. 因为由 x 2 =5 解得 x=± ∉ Q, 所以该命题的否定是真命题 . 答案 : ∀ x∈Q,x 2 ≠5 　真 5. 设集合 A={1,2,4,6,8,10,12}, 试写出下列命题的否定 , 并判断其真假 : (1) ∀ n∈A,n<12. (2) ∃ x∈{x|x 是奇数 },x∈A. 【 解析 】 (1)“∀n∈A,n<12” 的否定是“∃ n∈A,n≥12”. 此命题是真命题 . (2)“∃x∈{x|x 是奇数 },x∈A” 的否定是“∀ x∈{x|x 是奇数 },x∉A”. 此命题是假命题 .