高中数学第2章常用逻辑用语课时分层作业8全称量词命题与存在量词命题含解析苏教版必修第一册 4页

课时分层作业(八)　全称量词命题与存在量词命题 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1．下列命题中的假命题是(　　 )‎ A．∃x∈R，|x|＝0‎ B．∃x∈R,2x－10＝1‎ C．∀x∈R，x3>0‎ D．∀x∈R，x2＋1>0‎ C　[当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．]‎ ‎2．下列命题中是存在量词命题的是(　　 )‎ A．∀x∈R，x2＞0‎ B．∃x∈R，x2≤0‎ C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 B　[A含有全称量词∀，为全称量词命题；B含有存在量词∃，为存在量词命题，满足条件；C省略了全称量词所有，为全称量词命题；D省略了全称量词所有，为全称量词命题，故选B．]‎ ‎3．已知命题p：∀x∈R，x3－x－1＞0，则p是(　　)‎ A．∀x∈R，x3－x－1＜0‎ B．∃x∈R，x3－x－1≤0‎ C．∃x∈R，x3－x－1＜0‎ D．∀x∈R，x3－x－1≤0‎ B　[因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题p：∀x∈R，x3－x－1＞0，则p：∃x∈R，x3－x－1≤0．故选B．]‎ ‎4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　 )‎ A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0‎ C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2‎ B　[A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，‎ - 4 -‎ 所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．]‎ ‎5．存在量词命题p：∃x∈[－1,1]，x2－1≤0的否定是(　　)‎ A．∀x∈[－1,1]，x2－1>0‎ B．∀x∈[－1,1]，x2－1≥0‎ C．∃x∈[－1,1]，x2－1>0‎ D．∃x∈[－1,1]，x2－1≥0‎ A　[因为全称命题p：∃x∈[－1,1]，x2－1≤0，则其否定为：p：∀x∈[－1,1]，x2－1>0．故选A．]‎ 二、填空题 ‎6．(一题两空)命题“存在实数x，y，使得x＋y＞‎1”‎是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为 ．‎ 存在量词命题　∃x，y∈R，x＋y＞1　[命题“存在实数x，y，使得x＋y＞‎1”‎是存在量词命题，用符号表示为：“∃x，y∈R，x＋y＞‎1”‎．]‎ ‎7．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤‎0”‎的否定是 ．‎ 存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0　[原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要否定量词又要否定结论，所以其否定为：存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0．]‎ ‎8．若“∀x∈R，x2＋4x≥m”是真命题，则实数m的取值范围为 ．‎ ‎{m｜m≤－4}　[由题意，y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4的最小值为－4，所以m≤－4．]‎ 三、解答题 ‎9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：‎ ‎(1)三角形的内角和为180°；‎ ‎(2)每个二次函数的图象都开口向下；‎ ‎(3)存在一个四边形不是平行四边形．‎ ‎[解]　(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°．‎ ‎(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．‎ ‎(3)是存在量词命题且为真命题．‎ 命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．‎ ‎10．写出下列命题的否定，并判断其真假：‎ ‎(1)p：∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根；‎ ‎(2)q：有些梯形的对角线相等．‎ ‎[解]　(1)p：∃m∈R，方程x2＋x－m＝0无实数根．‎ 由于当m＝－1时，方程x2＋x－m＝0的根的判别式Δ＜0，∴方程x2＋x－m＝0‎ - 4 -‎ 无实数根，故其是真命题．‎ ‎(2)q：∀x∈{梯形}，x的对角线不相等，如等腰梯形对角线相等，故其是假命题．‎ ‎1．下列命题中正确的个数是(　　)‎ ‎①∃x∈R，x≤0；‎ ‎②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；‎ ‎③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．‎ A．0 B．1 ‎ C．2 D．3‎ D　[①∃x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，正确，例如x＝π．综上可得①②③都正确．故选D．]‎ ‎2．下列命题的否定是真命题的为(　　)‎ A．p1每一个合数都是偶数 B．p2两条平行线被第三条直线所截内错角相等 C．p3有些实数的绝对值是正数 D．p4某些平行四边形是菱形 A　[若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因p1为全称量词命题，且是假命题，则p1是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即p2，p3，p4均为假命题．]‎ ‎3．命题“∀x＞0，都有x2－x＋3≤‎0”‎的否定是 ．‎ ‎∃x＞0，使得x2－x＋3＞0　[命题“∀x＞0，都有x2－x＋3≤‎0”‎的否定是：∃x＞0，使得x2－x＋3＞0．]‎ ‎4．若“∃x∈R，x2－2x