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- 2021-06-24 发布
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课时素养评价
八 全称量词命题与存在量词命题的否定
(15分钟 30分)
1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 ( )
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】选D.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”是一个全称量词命题,其否定一定是一个存在量词命题,故排除A,B,结合全称量词命题的否定方法,我们易得命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”.
2.(2020·潍坊高一检测)命题“∃x∈(0,+∞),x+≥3”的否定是 ( )
A.∃x∈(0,+∞),x+≤3
B.∃x∈(0,+∞),x+<3
C.∀x∈(0,+∞),x+<3
D.∀x∈(0,+∞),x+≤3
【解析】选C.命题“∃x∈(0,+∞),x+≥3”的否定是:否定存在量词和结论,故为:∀x∈(0,+∞),x+<3.
3.下列全称量词命题的否定是假命题的个数是 ( )
①所有能被3整除的数都能被6整除;
②所有实数的绝对值是正数;
③三角形的外角至少有两个钝角.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.①该命题的否定:存在能被3整除的数不能被6整除”如3是能被3整除,不能被6整除的数,这是一个真命题;②该命题的否定:∃x=0∈R,|0|=0,不是正数,这是一个真命题;③该命题的否定:存在一个三角形,其外角最多有一个钝角,这是一个假命题.
4.命题“至少有一个正实数x满足方程x2+2(a-1)x+2a+6=0”的否定是 .
【解析】把量词“至少有一个”改为“所有”,“满足”改为“都不满足”得命题的否定.
答案:所有正实数x都不满足方程x2+2(a-1)x+2a+6=0
【补偿训练】
命题“∃x>-1,x2+x-2 019>0”的否定是 .
【解析】该命题的否定是“∀x>-1,x2+x-2 019≤0”.
答案:∀x>-1,x2+x-2 019≤0
5.写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)直角相等.
(2)等圆的面积相等,周长相等.
(3)有的三角形为正三角形.
(4)∀x>0,x+1>.
【解析】(1)该命题的否定:有些直角不相等.这是一个假命题.
(2)该命题的否定:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等.这是一个假命题.
(3)该命题的否定:所有的三角形都不是正三角形.这是一个假命题.
(4)该命题的否定:∃x>0,使x+1≤.
因为x+1-=+>0,所以∀x>0,x+1>是真命题,它的否定是假命题.
(20分钟 40分)
一、单选题(每小题5分,共15分)
1.“对于任意a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根”的否定是 ( )
A.对于任意a≤0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根
B.对于任意a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根
C.存在a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根
D.存在a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根
【解析】选D.全称量词“任意”改为存在量词“存在”,另一方面“至多有三个”的否定是“至少有四个”.
2.已知命题p:∃x∈(1,3),x-a≥0;若p的否定是真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.a<1 B.a>3
C.a≤3 D.a≥3
【解析】选D.p的否定是“∀x∈(1,3),x-a<0”,此命题是真命题,即a>x对
∀x∈(1,3)恒成立,所以a≥3.
3.命题“∀a,b∈R,使方程ax=b都有唯一解”的否定是 ( )
A.∀a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一
B.∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一
C.∀a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在
D.∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在
【解析】选D.该命题的否定:∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.
【误区警示】解答本题,在否定结论时容易出现考虑不全面而出错的情况.
二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
4.(2020·济南高一检测)下列命题正确的是 ( )
A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B.命题“若x<1,则x2<1”的否定是“存在x<1,则x2≥1”
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件
【解析】选ABD.A正确.“a>1”可推出“<1”,但是当<1时,a有可能是负数,所以“<1”推不出“a>1”,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件;B正确.由全称量词命题的否定方法可知.C.错误.当x=-3,y=3时,x2+y2≥4,但是“x≥2且y≥2”不成立,所以“x2+y2≥4”推不出“x≥2且y≥2”,所以“x≥2且y≥2”不是“x2+y2≥4”的必要条件.D正确.“a≠0”推不出“ab≠0”,但“ab≠0”可推出“a≠0”,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件.
三、填空题(每小题5分,共10分)
5.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为 ,此命题的否定是 ,是 (填“真”或“假”)命题.
【解析】此命题用符号表示为∃x,y∈R,x+y>1,此命题的否定是∀x,y∈R,x+y≤1,
原命题为真命题,所以它的否定为假命题.
答案:∃x,y∈R,x+y>1 ∀x,y∈R,x+y≤1 假
6.命题“对于任意三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+中至少有一个不小于2”的否定是 .
【解析】该命题的否定:存在三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+全小于2.
答案:存在三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+全小于2
四、解答题
7.(10分)已知集合A=,集合B=,如果命题“∃m∈R,使得A∩B≠∅”为假命题,求实数a的取值范围.
【解析】因为“∃m∈R,使得A∩B≠∅”为假命题,所以它的否定“∀m∈R,使得A∩B=∅”为真命题,当a<0时,A==∅,符合A∩B=∅;当a≥0时,因为m2+3>0,所以由∀m∈R,A∩B=∅可得a