【数学】2018届一轮复习北师大版直线与圆 6页

重点强化课(四)　直线与圆 ‎[复习导读]　1.本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的方程、直线与圆的位置关系.2.高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜角与斜率的关系、两直线的位置关系的判断；距离公式的应用、圆的方程的求法以及直线与圆的位置关系，常与向量、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质相结合考查.3.另外，应认真体会数形结合思想的应用，充分利用直线、圆的几何性质简化运算．‎ 重点1　直线方程与两直线的位置关系 ‎ 　(1)(2017·江西南昌模拟)直线(‎2m＋1)x＋(m＋1)y－‎7m－4＝0过定点(　　)‎ A．(1，－3)　　　　 B．(4,3)‎ C．(3,1) D．(2,3)‎ ‎(2)(2017·济南调研)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)‎ ‎【导学号：66482389】‎ A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ ‎(1)C　(2)D　[(1)2mx＋x＋my＋y－‎7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，‎ 由解得则直线过定点(3,1)．‎ ‎(2)由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．‎ 设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.‎ 由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，‎ 解得k＝－或k＝－.]‎ ‎[规律方法]　‎ ‎1.直线过定点问题，可将直线中的参数赋值，解方程组得交点坐标．‎ ‎2．直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求法以及直线间的位置关系等．注意数形结合思想、分类讨论思想的应用．‎ ‎[对点训练1]　(2017·福建龙岩二模)已知m，n为正整数，且直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，则‎2m＋n的最小值为(　　)‎ A．7 B．9‎ C．11 D．16‎ B　[直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，‎ ‎∴2n＝m(n－1)，‎ ‎∴m＋2n＝mn，‎ 又m>0，n>0，得＋＝1.‎ ‎∴‎2m＋n＝(‎2m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9.‎ 当且仅当＝时取等号．‎ ‎∴‎2m＋n的最小值为9.]‎ 重点2　圆的方程 ‎ 　(1)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为(　　)‎ A．y2－4x＋4y＋8＝0　　 B．y2＋2x－2y＋2＝0‎ C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－2x－y－1＝0‎ ‎(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　)‎ A．2 B．8‎ C．4 D．10‎ ‎(1)C　(2)C　[(1)由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2,2)．‎ ‎∴过点C(－2,2)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2‎ ‎，整理得y2＋4x－4y＋8＝0.‎ ‎(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ 则解得 ‎∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.‎ 令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，‎ ‎∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4.]‎ ‎[规律方法]　求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：‎ ‎(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．‎ ‎(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．‎ ‎[对点训练2]　(2017·河北唐山二模)直线l：＋＝1与x轴、y轴分别相交于点A，B，O为坐标原点，则△OAB内切圆的方程为__________．‎ ‎(x－1)2＋(y－1)2＝1　[由题意，设△OAB的内切圆的圆心为M(m，m)，则半径为|m|.‎ 直线l的方程＋＝1可化为3x＋4y－12＝0，‎ 由题意可得＝m，解得m＝1或m＝6(不符合题意，舍去)．‎ ‎∴△OAB内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.]‎ 重点3　直线与圆的综合问题 ‎ ☞角度1　圆的切线 ‎　如图1，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.‎ ‎(1)圆C的标准方程为________________；‎ ‎(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为__________．‎ 图1‎ ‎(1)(x－1)2＋(y－)2＝2　(2)－－1　[(1)由题意知点C的坐标为(1，)，圆的半径r＝.‎ 所以圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.‎ ‎(2)在(x－1)2＋(y－)2＝2中，‎ 令x＝0，解得y＝±1，故B(0，＋1)．‎ 直线BC的斜率为＝－1，‎ 故切线的斜率为1，切线方程为y＝x＋＋1.‎ 令y＝0，解得x＝－－1，‎ 故所求截距为－－1.]‎ ‎☞角度2　直线与圆相交的弦长问题 ‎　(2017·郑州质检)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为__________．‎ ‎3　[由题意知A，B，圆的半径为2，且l与圆的相交弦长为2，则圆心到弦所在直线的距离为.‎ ‎∴＝⇒m2＋n2＝，‎ S△AOB＝＝≥＝3，即三角形面积的最小值为3.]‎ ‎☞角度3　直线、圆与相关知识的交汇 ‎　(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.‎ ‎[解]　(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1. 2分 因为直线l与圆C交于两点，所以<1，‎ 解得