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- 2021-06-30 发布
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第二讲 常用逻辑用语
1.[2016浙江高考]命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n-1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.[2020南充市高考适应性考试]“A=60°”是“cos A=12”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.[多选题]下列说法正确的是( )
A.“x=π4”是“tan x=1”的充分不必要条件
B.定义在[a,b]上的偶函数f(x)=x2+(a+5)x+b的最大值为30
C.命题“∃x0∈R,x0+1x0≥2”的否定是“∀x∈R,x+1x≥2”
D.函数y=sin x+cos x+2无零点
考法1 充分条件与必要条件的应用
命题角度1 充分条件与必要条件的判断
1 (1)[2020安徽合肥检测]已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,则对于实数a,b,“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)[2019天津高考]设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(1)(定义法)因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(|x|).由于f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以若a>|b|≥0,则f(a)>f(|b|),即f(a)>f(b),所以“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分条件.若f(a)>f(b),则f(|a|)>f(|b|),可得|a|>|b|≥0,由于a,b的正负不能判断,所以无法得到a>|b|,则“a>|b|”不是“f(a)>f(b)”的必要条件.所以“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件.
(2)(集合法)由x2-5x<0可得00”是“Sn+1>Sn”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
命题角度2 根据充分、必要条件求参数取值范围
2已知p:|1-x-13|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且¬p是¬q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为 .
由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m,故q对应的集合为M={x|1-m≤x≤1+m,m>0},¬q对应的集合为A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.
由|1-x-13|≤2,得-2≤x≤10,故p对应的集合为N={x|-2≤x≤10},¬p对应的集合为B={x|x>10或x<-2}.
因为¬p是¬q的必要不充分条件,
所以A⫋B,即m>0,1-m≤-2,1+m>10或m>0,1-m<-2,1+m≥10,解得m≥9.
所以实数m的取值范围为[9,+∞).
2.[2020山西运城调研检测]已知集合A={x|(13)x2-x-6≤1},B={x|log3(x+a)≥1},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .
考法2 全(特)称命题
命题角度1 全(特)称命题的真假判断
3给出下列四个命题:
p1:∃x0∈(0,+∞),(12)x0<(13)x0;
p2:∃x0∈(0,1),log12x0>log13x0;
p3:∀x∈(0,+∞),(12)x>log12x;
p4:∀x∈(0,13),(12)x(13)x0成立,故p1是假命题;对于p2,当x0=12时,有1=log1212=log1313>log1312,故p2是真命题;对于p3,结合指数函数y=(12)x与对数函数y=log12x在(0,+∞)上的图象,可以判断p3是假命题;对于p4,结合指数函数y=(12)x与对数函数y=log13x在(0,13)上的图象,可以判断p4是真命题.
图1-2-1
D
命题角度2 全(特)称命题的否定
4[2015新课标全国Ⅰ]设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为
A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n
C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n
命题p是特称命题,故¬p是全称命题,又“>”的否定是“≤”,因此¬p为“∀n∈N,n2≤2n”.
C
命题角度3 与全(特)称命题有关的参数问题
5已知命题p“∃x∈R,使得ex≤2x+a”为假命题,则实数a的取值范围是 .
命题p是一个特称命题且为假命题,故¬p是一个全称命题且为真命题.
¬p:∀x∈R,使得ex>2x+a,即ex-2x-a>0恒成立.
设f(x)=ex-2x-a,则f '(x)=ex-2.
令f '(x)=0,即ex-2=0,解得x=ln 2.
所以当x∈(-∞,ln 2)时,f '(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(ln 2,+∞)时,f '(x)>0,函数f(x)单调递增.
所以当x=ln 2时,函数f(x)取得最小值f(ln 2)=eln 2-2ln 2-a=2-2ln 2-a.
由不等式ex-2x-a>0恒成立可得2-2ln 2-a>0,所以a<2-2ln 2.
所以a的取值范围是(-∞,2-2ln 2).
3.(1)已知函数f(x)=x+4x,g(x)=2x+a,若∀x1∈[12,1],∃x2∈[2,3],使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是 .
(2)若将(1)中“f(x1)≥g(x2)”改为“f(x1)≤g(x2)”,则实数a的取值范围是 .
1.D 根据含有量词的命题的否定的概念可知,选D.
2.A 因为不等式1m< - 1等价于m+1m<0,即 - 1 - 1成立,所以“1m< - 1”是“m> - 1”的充分条件;当m> - 1 时,1m< - 1不一定成立,所以“1m< - 1”不是“m> - 1”的必要条件.所以“1m< - 1”是“m> - 1”的充分不必要条件,故选A.
3.A 由A=60°,可得cos A=12;由cos A=12,可得A=±60°+k×360°,k∈Z.所以“A=60°”是“cos A=12”的充分不必要条件.故选A.
4.AB 由x=π4,得tan x=1,由tan x=1,得x=π4+kπ,k∈Z,所以“x=π4”是“tan x=1”的充分不必要条件,所以A是正确的;若定义在[a,b]上的函数f (x)=
x2+(a+5)x+b是偶函数,则a+5=0,a+b=0,解得a=-5,b=5,则f (x)=x2+5,易得f (x)在[ - 5,5]上的最大值为30,所以B是正确的;命题“∃x0∈R,x0+1x0≥2”的否定是“∀x∈R,x+1x<2”,所以C是错误的;当x=5π4时,y=sin x+cos x+2=0,故D是错误的.故选AB.
1.C 由{an}是公差大于零的等差数列,且a2>0,可得an+1>0,所以an+1=Sn+1 - Sn>0,即Sn+1>Sn;反之,若Sn+1>Sn,则当n=1时,S2>S1,即S2 - S1=a2>0.所以“a2>0”是“Sn+1>Sn”的充要条件,故选C.
2.( - ∞,0] 由(13)x2-x-6≤1,得x2 - x - 6≥0,解得x≤ - 2或x≥3,则A={x|x≤ - 2或x≥3}.由log3(x+a)≥1,得x+a≥3,即x≥3 - a,则B={x|x≥3 - a}.由题意知B⫋A,所以3 - a≥3,解得a≤0.
3.(1)( - ∞,1] 由题意知f (x)min(x∈[12,1])≥g(x)min(x∈[2,3]),易知f (x)在[12,1]上为减函数,g(x)在[2,3]上为增函数,所以f (x)min=f (1)=5,g(x)min=
g(2)=4+a,所以5≥4+a,即a≤1.
(2)[12,+∞) 依题意知f (x)max(x∈[12,1])≤g(x)max(x∈[2,3]).因为f (x)在[12,1]上是减函数,所以f (x)max=f (12)=172.又g(x)在[2,3]上是增函数,所以g(x)max=g(3)=8+a,因此172≤8+a,则a≥12.
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