2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第八章 平面解析几何 第5节 第2课时 3页

第八章 第5节 第2课时 ‎1．直线y＝2x－1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　 )‎ A．相交　　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．不确定 解析：A　[得4x2＋9(2x－1)2＝36，即40x2－36x－27＝0，Δ＝362＋4×40×27>0，故直线与椭圆相交，选A.]‎ ‎2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　 )‎ A. B. C. D. 解析：B　[由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.‎ 联立解得交点坐标为(0，－2)，，不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝，‎ ‎∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝，故选B.]‎ ‎3．中心为(0,0)，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是(　　 )‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析：C　[c＝5，设椭圆方程为＋＝1，联立方程消去y，整理得 ‎(‎10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，‎ 由根与系数的关系得x1＋x2＝＝1，解得a2＝75，所以椭圆方程为＋＝1.]‎ ‎4．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(　　 )‎ A.＋y2＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析：C　[设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1.]‎ ‎5．(2020·浙江百校联盟联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A、B，左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C的直线交椭圆于M、N两点．若四边形FAMN是平行四边形，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：A　[因为圆O与直线BF相切，所以圆O的半径为，即|OC|＝，因为四边形FAMN是平行四边形，所以点M的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，所以5e2＋2e－3＝0，又0b>0): 相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为　__________　.‎ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题得 ，‎ ‎∴b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，‎ ‎∴2b2(x1－x2)＋‎2a2(y1－y2)＝0，‎ ‎∴b2(x1－x2)＝－a2(y1－y2)，‎ ‎∴＝－＝，‎ ‎∴a2＝3b2，∴a2＝3(a2－c2)，∴‎2a2＝‎3c2，∴e＝.‎ 答案： ‎8．设焦点在x轴上的椭圆M的方程为＋＝1(b>0)，其离心率为.‎ ‎(1)求椭圆M的方程；‎ ‎(2)若直线l过点P(0,4)，则直线l何时与椭圆M相交？‎ 解：(1)因为椭圆M的离心率为，‎ 所以＝2，得b2＝2.‎ 所以椭圆M的方程为＋＝1.‎ ‎(2)①过点P(0,4)的直线l垂直于x轴时，直线l与椭圆M相交．‎ ‎②过点P(0,4)的直线l与x轴不垂直时，可设直线l的方程为y＝kx＋4.‎ 由消去y，得(1＋2k2)x2＋16kx＋28＝0.‎ 因为直线l与椭圆M相交，‎ 所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)×28＝16(2k2－7)>0，‎ 解得k<－或k>.‎ 综上，当直线l垂直于x轴或直线l的斜率的取值范围为∪时，直线l与椭圆M相交．‎