2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第十二章　第5讲　数学归纳法 5页

‎ [基础题组练]‎ ‎1．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝(　　)‎ A．a1＋(k－1)d　　　　　 B． C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d 解析：选C.假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d.‎ ‎2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，那么下列命题总成立的是(　　)‎ A．若f(1)<2成立，则f(10)<11成立 B．若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1成立 C．若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D．若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1成立 解析：选D.当f(k)≥k＋1成立时，总能推出f(k＋1)≥k＋2成立，说明如果当k＝n时，f(n)≥n＋1成立，那么当k＝n＋1时，f(n＋1)≥n＋2也成立，所以如果当k＝4时，f(4)≥5成立，那么当k≥4时，f(k)≥k＋1也成立．‎ ‎3．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　)‎ A. B．－ C.－ D．＋ 解析：选C.因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，‎ 左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以，左端应在n＝k的基础上加上－.‎ ‎4．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)‎ A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2‎ B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2‎ C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2‎ D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2‎ 解析：选A.f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.‎ ‎5．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证的不等式是________．‎ 解析：由n∈N+，n>1知，n取第一个值n0＝2，‎ 当n＝2时，不等式为1＋＋<2.‎ 答案：1＋＋<2‎ ‎7．用数学归纳法证明＋＋…＋>－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________．‎ 答案：＋＋…＋＋>－ ‎8．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．‎ 解析：不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.‎ 答案： ‎9．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.‎ 证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，‎ 右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，原等式成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥1，k∈N+)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·.‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ ‎12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2‎ ‎＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2‎ ‎＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]‎ ‎＝(－1)k·.‎ 所以当n＝k＋1时，等式也成立，‎ 由(1)(2)知，对任意n∈N+，都有 ‎12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.‎ ‎10．已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N+.‎ ‎(1)当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小；‎ ‎(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．‎ 解：(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，‎ 所以f(1)＝g(1)；‎ 当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，‎ 所以f(2)＜g(2)；‎ 当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，‎ 所以f(3)＜g(3)．‎ ‎(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．‎ ‎①当n＝1，2，3时，不等式显然成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥3，k∈N+)时不等式成立，即1＋＋＋＋…＋＜－.‎ 那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋.‎ 因为－ ‎＝－＝＜0，‎ 所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)．‎ 由①②可知，对一切n∈N+，都有f(n)≤g(n)成立．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知整数p>1，证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px.‎ 证明：用数学归纳法证明．‎ ‎①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．‎ ‎②假设当p＝k(k≥2，k∈N+)时，不等式(1＋x)k>1＋kx成立．‎ 则当p＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.‎ 所以当p＝k＋1时，原不等式也成立．‎ 综合①②可得，当x>－1且x≠0时，对一切整数p>1，‎ 不等式(1＋x)p>1＋px均成立．‎ ‎2．已知数列{xn}满足x1＝，且xn＋1＝(n∈N+)．‎ ‎(1)用数学归纳法证明：00，即xk＋1>0.‎ 又因为xk＋1－1＝<0，所以0