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- 2021-06-30 发布
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1.若复数(a+i)(3+4i)的实部与虚部相等,则实数a=
A.7 B.–7 C.1 D.–1
【答案】B
复数的定义
形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中a叫作复数的实部,b叫作复数的虚部,i为虚数单位且规定i2=–1.
注意:复数的虚部是b,而不是bi.
2.已知i是虚数单位,复数(2+i)2的共轭复数虚部为
A.4i B.–4 C.3 D.4
【答案】B
【解析】∵(2+i)2=4+4i+i2=3+4i,∴复数(2+i)2的共轭复数为3–4i,虚部为–4.故选B.
共轭复数
一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为共轭复数.
互为共轭复数的充要条件:a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c,b=–d(a,b,c,d∈R).
求一个复数的共轭复数,只需将此复数整理成标准代数形式,然后其实部不变,虚部变为相反数,即得原复数的共轭复数.
3.设复数 满足,则| |=
A.3 B. C.9 D.10
【答案】A
复数的模
向量的长度r叫作复数 =a+bi的模,记作| |或|a+bi|,则| |=|a+bi|=r=(r≥0,r∈R),即复数a+bi的模表示点 (a,b)与原点O的距离.学
特别地,b=0时, =a+bi是实数a,则| |=|a|.
求复数的模时,直接根据复数的模的公式
|a+bi|=和性质| 2|=||2= ·,| 1· 2|=| 1|·| 2|,||=,||=| |等进行计算.
1.若复数 满足(1–2i) =2–i,则在复平面内 对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】由(1–2i) =2–i,得 =,∴复数
在复平面内对应的点的坐标为(),位于第一象限.故选A.学
复数的几何意义
2.已知复数 =m2–3m+mi(m∈R)为纯虚数,则m=
A.0 B.3 C.0或3 D.4
【答案】B
复数的分类
=a+bi
注意:
(1)一个复数为纯虚数,不仅要求实部为0,还需要求虚部不为0;
(2)两个不全是实数的复数不能比较大小;
(3)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示.
3.已知复数 =1+,则1+ + 2+…+ 2018=
A.1+i B.1–i C.i D.0
【答案】C
复数的四则运算
1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,把含有虚数单位i的项看作一类同类项,不含i的项看作另一类同类项,分别合并即可;复数除法运算的关键是分母实数化,注意要把i的幂化成最简形式.
2.复数运算中的常用结论:
(1)(1±i)2=±2i;(2)=i;
(3)=–i;(4)=b–ai;
(5)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=–1,i4n+3=–i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N).
1.如果复数(其中i为虚数单位,b为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b等于
A. B. C.– D.2
2.复数 满足 (1–2i)=3+2i,则=
A. B. C. D.
3.设i是虚数单位,若(1+2i)i=a+bi(a,b∈R),则a+b=
A.–3 B.3 C.1 D.–1
4.已知复数 =a+i(a∈R),若 +=4,则复数 的共轭复数=
A.2+i B.2–i C.–2+i D.–2–i
5.设i为虚数单位,a∈R,若(1–i)(1–ai)为纯虚数,则复数1–ai的模是
A. B.2 C.1 D.0
6.若复数 满足=1–i,则其共轭复数在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.在复平面内,表示复数 =(a+3i)(2–ai)的点在第二象限,则实数a满足
A. B.
C. D.
8.复数(1+i)3的虚部为
A.–2 B.2 C.2i D.–2i
1.【答案】C
2.【答案】A
【解析】由 (1–2i)=3+2i,得 =,∴.故选A.学
3.【答案】D
【解析】由(1+2i)i=–2+i=a+bi,得a=–2,b=1.∴a+b=–1.故选D.
4.【答案】B
【解析】∵ =a+i,∴ +=2a=4,∴a=2.∴复数 的共轭复数=2–i.故选B.
5.【答案】A
【解析】(1–i)(1–ai)=1–i–ai+ai2=(1–a)–(a+1)i,∵(1–i)(1–ai)为纯虚数,∴,解得a=1,∴1–ai=1–i,∴复数1–ai的模是.故选A.
7.【答案】A
【解析】∵ =(a+3i)(2–ai)=2a+6i–a2i+3a=5a+(6–a2)i对应的点在第二象限,∴,解得.故选A.
8.【答案】B
【解析】(1+i)3=(1+i)2(1+i)=2i(1+i)=–2+2i,虚部为2,故选B.