【数学】2019届一轮复习北师大版一题多变，利用导数研究函数零点或曲线交点问题学案 13页

‎ ‎ ‎【经典母题】设函数f(x)＝ln ＋，m∈R. 讨论函数g(x)＝－零点的个数.‎ ‎【迁移探究1】设函数f(x)＝ln ＋，m∈R. 已知函数g(x)＝－有两个零点，求m的范围？‎ ‎【答案】 0＜m＜ ‎【迁移探究2】若条件改为有零点，求m的范围？‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题设g(x)＝－＝－－(x＞0)，‎ 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0).‎ 设φ(x)＝－x3＋x(x＞0)，‎ 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，‎ 当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上单调递增；‎ 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减.‎ ‎∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，‎ 因此x＝1也是φ(x)的最大值点.‎ ‎∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.‎ 又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，‎ 则当时，函数g(x)有零点.‎ 规律方法　函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化,‎ 这类问题的考查通常有两类 (1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根的个数求参数的取值范围.‎ 常用两种方法 ‎ ‎(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象 解决零点问题；‎ ‎(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合 解决.‎ 处理策略 变量分离；直接讨论；‎ 讨论零点个数的答题模板 第一步 求函数的定义域；‎ 第二步 分类讨论函数的单调性、极值；‎ 第三步 根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.‎ ‎(1)当a>0时，解不等式f(x)≤0；‎ ‎(2)当a＝0时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有解.‎ ‎ ‎ ‎ (2)当a＝0时，方程即为xex＝x＋2，‎ 由于ex>0，所以x＝0不是方程的解，‎ 所以原方程等价于ex－－1＝0.‎ 令h(x)＝ex－－1，‎ 因为h′(x)＝ex＋>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，‎ 所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数，‎ 又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－2>0，h(－3)＝e－3－<0，‎ h(－2)＝e－2>0，‎ 所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以整数t的所有值为{－3，1}.‎ ‎2．设函数，若对于在定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”．若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（　　）‎ A. [1﹣，1+） B. [﹣1，2] C. [﹣2，2] D. [﹣2，1﹣] [ ]‎ ‎3．定义在上的函数，满足，且当时， ，若函数在上有零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】 设，‎ 则，[ . . ]‎ 因为且当时，‎ ‎，‎ 所以，‎ 则 ，‎ ‎4．函数是定义在R上的偶函数，且满足时， ，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 要使方程恰有三个不相等的实数根，则由图象可得直线的斜率必须满足，由题意可得，则， ．即有．[ ]‎ 故选A．‎ ‎5．已知定义在上的函数，周期为4，当时， 当时，函数有5个零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是 A. B. C. D. （2, ）‎ ‎【解析】 函数，的图象如图 ‎ ‎ 关于的方程有8个不等的实数根， 必须有两个不相等的实数根，由函数图象可知，令，方程化为 ， ，开口向下，对称轴为 ，可知 的最大值为 ， 的最小值为2， ‎ 故选D.[ ]‎ ‎7．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解析】‎ 恰有两个零点，等价于与 有两个交点，同一坐标系，画出与的图象，直线过时， ，直线与，相切时，由图知， 时，两图象有两交点，即 的取值范围是 故选C.‎ ‎8．已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是( )‎ A. [-1,1) B. [-1,2) C. [-2,2) D. [0,2]‎ ‎9．已知函数 ，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】 函数 ,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c)，如图，不妨a0,此时方程为m2−m+t=0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；‎ ‎∴，‎ 解得 0