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- 2021-06-30 发布
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第1讲 小题考法——三角函数的图象与性质
一、主干知识要记牢
1.三角函数的图象及常用性质
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象
单调性
在(k∈Z)上单调递增;在(k∈Z)上单调递减
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递减
在(k∈Z)上单调递增
对称性
对称中心:(kπ,0)(k∈Z);
对称轴:x=+kπ(k∈Z)
对称中心:(k∈Z);
对称轴:x=kπ(k∈Z)
对称中心:(k∈Z)
2.三角函数的两种常见的图象变换
(1)y=sin xy=sin(x+φ)
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
(2)y=sin xy=sin ωx
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
二、二级结论要用好
1.sin α-cos α>0⇔α的终边在直线y=x上方(特殊地,当α在第二象限时有 sin α-cos α>1).
2.sin α+cos α>0⇔α的终边在直线y=-x上方(特殊地,当α在第一象限时有sin α+
cos α>1).
三、易错易混要明了
求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,要注意ω,A的符号.ω<0时,应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解;在书写单调区间时,弧度和角度不能混用,需加2kπ时,不要忘掉k∈Z,所求区间一般为闭区间.
如求函数f(x)=2sin的单调减区间,应将函数化为f(x)=-2sin,转化为求函数y=sin的单调增区间.
考点一 三角函数的图象及应用
1.函数表达式y=Asin(ωx+φ)+B的确定方法
字母
确定途径
说明
A
由最值确定
A=
B
由最值确定
B=
ω
由函数的
周期确定
相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期,最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点之差的绝对值为个周期,ω=
φ
由图象上的
特殊点确定
一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置,利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解
2.三角函数图象平移问题处理的“三看”策略
1.(2018·豫南联考)将函数y=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位,则所得函数图象的解析式为( B )
A.y=sin B.y=sin
C.y=sin D.y=sin
解析 函数y=sin经伸长变换得
y=sin,再作平移变换得
y=sin=sin,故选B.
2.(2018·商丘二模)将函数y=sin(ω>0)的图象向右平移个单位后,得到y=g(x),g(x)为偶函数,则ω的最小值为( B )
A.1 B.2
C. D.
解析 将函数y=sin(ω>0)的图象向右平移个单位后,得到y=g(x)=sin=sin,由于函数g(x)为偶函数,所以-+=kπ+,∴ω=-3k-1,∴ωmin=-3×(-1)-1=2.故选B.
3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则f的值为____.
解析 由图象可知A=2,T=-=,∴T=π,∴ω=2,∵当x=时,函数f(x)取得最大值,∴2×+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=+2kπ(k∈Z),∵0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=2sin,则f=2sin=2cos =.
考点二 三角函数的性质及应用
1.求函数单调区间的方法
(1)代换法:求形如y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A,ω,φ为常数,A≠0,ω>0)的单调区间时,令ωx+φ=z,得y=Asin z(或y=Acos z),然后由复合函数的单调性求得.
(2)图象法:画出三角函数的图象,结合图象求其单调区间.
2.判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点这一性质,通过检验f(x0)的值进行判断.
3.求三角函数周期的常用结论
(1)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期;正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期.
1.已知f(x)=2sin2x+2sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递减区间分别为( B )
A.2π, B.π,
C.2π, D.π,
解析 f(x)=2sin2x+2sin xcos x=1-cos 2x+sin 2x=sin+1,则T==π.由+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),令k=0得f(x)在上单调递减,故选B.
2.(2018·K12联盟联考)函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)在上单调递增,则ω的取值不可能为( D )
A. B.
C. D.
解析 ∵f(x)=sin ωx-cos ωx=sin(ω>0),∴令-+2kπ≤ωx-≤2kπ+,k∈Z,
即-+≤x≤+,k∈Z,
∵f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0)在上单调递增,∴-≤-且≥,∴0<ω≤.故选D.
3.(2018·天津卷)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( A )
A.在区间上单调递增 B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减
解析 将函数y=sin 的图象向右平移个单位长度,得到y=sin=sin 2x的图象.
由2kπ-≤2x≤2kπ+,得kπ-≤x≤kπ+,
所以函数y=sin 2x的单调递增区间为,
k∈Z.取k=0,得y=sin 2x在区间上单调递增.故选A.
考点三 三角函数的值域与最值问题
求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法
三角函数类型
求值域(最值)方法
y=asin x+bcos x+c
先化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值)
y=asin2x+bsin x+c
可先设sin x=t,化为关于t的二次函数,再求值域(最值)
y=asin xcos x+
b(sin x±cos x)+c
可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值)
y=
一般可看成过定点的直线与圆上动点连线的斜率问题,利用数形结合求解
1.函数f(x)=sin在上的值域为.
解析 ∵x∈,∴2x+∈,
∴当2x+=,即x=时,f(x)max=1.
当2x+=,即x=时,f(x)min=-,
∴f(x)∈.
2.已知函数f(x)=cos,其中x∈,若f(x)的值域是,则m的取值范围是 .
解析 由x∈,可知≤3x+≤3m+,
∵f=cos =-,且f=cos π=-1,
∴要使f(x)的值域是,
需要π≤3m+≤,
即≤m≤.