【数学】2019届一轮复习北师大版（文科数学）第七章第3讲　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题学案 20页

第 3 讲　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 [学生用书 P111] 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式(组) 表示区域 Ax＋By＋C>0 不包括边界直线 Ax＋By＋C≥0 直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所 有点组成的平面区域 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组) 的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集． 3．线性规划的有关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x，y 组成的不等式(组) 线性约束条件 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 续　表 名称 意义 目标函数 关于变量 x，y 的函数解析式，如 z＝x＋2y 线性目标函数 关于变量 x，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式 Ax＋By＋C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax＋By＋C＝0 的上方．(　　) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(　　) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(　　) (4)在目标函数 z＝ax＋by(b≠0)中，z 的几何意义是直线 ax＋by－z＝0 在 y 轴上的截 距．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× (教材习题改编)不等式 x－2y＋6<0 表示的区域在直线 x－2y＋6＝0 的(　　) A．右上方　　　　　　 B.右下方 C．左上方 D．左下方 解析：选 C.画出 x－2y＋6<0 的图象如图所示，可知该区域在直线 x－2y＋6＝0 的左上 方．故选 C. 点(－2，t)在直线 2x－3y＋6＝0 的上方，则 t 的取值范围是__________． 解析：因为直线 2x－3y＋6＝0 的上方区域可以用不等式 2x－3y＋6＜0 表示，所以由点 (－2，t)在直线 2x－3y＋6＝0 的上方得－4－3t＋6＜0，解得 t＞2 3. 答案：(2 3，＋∞) 约束条件{x＋y ≤ 2， x－y ≥ －2， y ≥ 0 表示的平面区域的面积为________． 解析： 作出{x＋y ≤ 2， x－y ≥ －2， y ≥ 0 所表示的平面区域如图中阴影部分所示．则 A(0，2)，B(－2，0)， C(2，0)，所以 S 阴＝S△ABC＝1 2×4×2＝4. 答案：4 已 知 A(2 ， 5) ， B(4 ， 1) ， 若 点 P(x ， y) 在 线 段 AB 上 ， 则 2x － y 的 最 大 值 为 ________． 解析：依题意得 kAB＝5－1 2－4＝－2，所以线段 lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈[2，4]，即 y＝－ 2x＋9，x∈[2，4]，故 2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2，4]．设 h(x)＝4x－9，易知 h(x) ＝4x－9 在[2，4]上单调递增，故当 x＝4 时，h(x)max＝4×4－9＝7. 答案：7 已知实数 x，y 满足约束条件{y ≤ x， x＋y ≤ 1， y ≥ －1， 则 z＝2x＋y 的最大值为________． 解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由 z＝2x＋y，知 y＝－2x＋z，当目标函数过 点(2，－1)时直线在 y 轴上的截距最大，最大值为 3. 答案：3 　　　　　　二元一次不等式(组)表示的平面区域 [学生用书 P111] [典例引领] (1)不等式组{x ≥ 0， x＋3y ≥ 4， 3x＋y ≤ 4 所表示的平面区域的面积等于(　　) A.3 2　　　 B.2 3　　　　C.4 3　　　 D．3 4 (2)若不等式组{x＋y－2 ≤ 0， x＋2y－2 ≥ 0， x－y＋2m ≥ 0 表示的平面区域为三角形，且其面积等于4 3，则 m 的值 为________． (3)若不等式组 {x－y ≥ 0， 2x＋y ≤ 2， y ≥ 0， x＋y ≤ a 表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是 ________． 【解析】　(1)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A(0， 4 3 )，B(1，1)， C(0，4)，则△ABC 的面积为1 2×1×8 3＝4 3.故选 C. (2)不等式组表示的平面区域如图阴影部分，则图中 A 点纵坐标 yA＝1＋m，B 点纵坐标 yB ＝2m＋2 3 ， C 点横坐标 xC＝－2m， 所以 S△ABD＝SACD－S△BCD＝1 2×(2＋2m)×(1＋m)－1 2×(2＋2m)×2m＋2 3 ＝ （m＋1）2 3 ＝4 3， 所以 m＝1 或 m＝－3， 又因为当 m＝－3 时，不满足题意，应舍去， 所以 m＝1. (3)不等式组{x－y ≥ 0， 2x＋y ≤ 2， y ≥ 0 表示的平面区域如图所示(阴影部分)．　 解{y＝x， 2x＋y＝2得 A(2 3， 2 3 )；解{y＝0， 2x＋y＝2得 B(1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一 个三角形，则直线 x＋y＝a 中的 a 的取值范围是 00，数形结合知使目标函数 z＝x＋my 取得最小值的最优解不可能有无 穷多个； 若 m>0，则－1 m<0， 数形结合可知，当动直线与直线 AB 重合时， 有无穷多个点(x，y)在线段 AB 上， 使目标函数 z＝x＋my 取得最小值， 即－1 m＝－1，则 m＝1. 综上可知，m＝1. 答案：1 　　　　　　线性规划的实际应用问题[学生用书 P113] [典例引领] (2017·高考天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放 广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下 表所示： 连续剧播放 时长(分钟) 广告播放 时长(分钟) 收视 人次(万) 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间 不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍．分别用 x，y 表示 每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数． (1)用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 【解】　(1)由已知，x，y 满足的数学关系式为{70x＋60y ≤ 600， 5x＋5y ≥ 30， x ≤ 2y， x ≥ 0， y ≥ 0， 即{7x＋6y ≤ 60， x＋y ≥ 6， x－2y ≤ 0， x ≥ 0， y ≥ 0， 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分： (2)设总收视人次为 z 万，则目标函数为 z＝60x＋25y. 考虑 z＝60x＋25y，将它变形为 y＝－12 5 x＋ z 25，这是斜率为－12 5 ，随 z 变化的一族平行 直线. z 25为直线在 y 轴上的截距，当 z 25取得最大值时，z 的值最大．又因为 x，y 满足约束条 件，所以由图 2 可知，当直线 z＝60x＋25y 经过可行域上的点 M 时，截距 z 25最大，即 z 最 大． 解方程组{7x＋6y＝60， x－2y＝0， 得点 M 的坐标为(6，3)． 所以，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多． 解线性规划应用问题的一般步骤 (1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格 或图形理清变量之间的关系． (2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量 x，y，并列出相应的不等式组 和目标函数． (3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈． [注意]　在实际应用问题中，变量 x，y 除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐 含的制约条件，如在涉及以人数为变量的实际应用问题中，人数必须是自然数，在解题时不 要忽略了这些隐含的制约条件． [通关练习] 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲 材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时．生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该 企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产 品 B 的利润之和的最大值为________元． 解析：由题意，设产品 A 生产 x 件，产品 B 生产 y 件， 利润 z＝2 100x＋900y， 线性约束条件为 {1.5x＋0.5y ≤ 150， x＋0.3y ≤ 90， 5x＋3y ≤ 600， x ≥ 0， y ≥ 0， 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 又由 x∈N，y∈N， 可知取得最大值时的最优解为(60，100)， 所以 zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000 求目标函数最值的方法 (1)求二元一次目标函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a bx＋z b，通过求直线的截距z b的最值间接求出 z 的最值．最优解在顶点或边界取得． (2) x2＋y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离， （x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点 (a，b)的距离； (3)y x表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，y－b x－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率． 由目标函数求最值的方法 求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问 题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或 取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确 定最优解的位置，从而求出参数． [学生用书 P293(单独成册)] 1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线 3x－2y－a＝0 的两侧，则 a 的取值范围为(　　) A．(－24，7) B．(－7，24) C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 解析：选 B.根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0. 即(a＋7)(a－24)<0， 解得－7 －1， 则(x－2)2＋y2 的最小值为________． 解析：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分， 设 z＝(x－2)2＋y2，则 z 的几何意义为区域内的点到定点 D(2，0)的距离的平方， 由图知 C、D 间的距离最小，此时 z 最小． 由{y＝1， x－y＋1＝0得{x＝0， y＝1，即 C(0，1)， 此时 zmin＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5. 答案：5 8．已知实数 x，y 满足约束条件{x＋y ≥ 1， x－y ≥ －1， 2x－y ≤ 2， 则目标函数 z＝y＋2 x－5的最大值为________． 解析：作出约束条件所表示的平面区域，其中 A(0，1)，B(1，0)，C(3，4)． 目标函数 z＝y＋2 x－5表示过点 Q(5，－2)与点(x，y)的直线的斜率，且点(x，y)在△ABC 平 面区域内． 显然过 B，Q 两点的直线的斜率 z 最大，最大值为0＋2 1－5＝－1 2. 答案：－1 2 9. 如图所示，已知 D 是以点 A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括 边界与内部)． (1)写出表示区域 D 的不等式组； (2)设点 B(－1，－6)，C(－3，2)在直线 4x－3y－a＝0 的异侧，求 a 的取值范围． 解：(1)直线 AB，AC，BC 的方程分别为 7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0，4x＋y＋10＝ 0.原点(0，0)在区域 D 内，故表示区域 D 的不等式组为{7x－5y－23 ≤ 0， x＋7y－11 ≤ 0， 4x＋y＋10 ≥ 0. (2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0， 解得－180，作出不等式组 {x＋y ≥ 1， mx－y ≤ 0（m > 0）， 3x－2y＋2 ≥ 0 表示的平面区域，如图中阴影部分．因为 z＝3x－y， 所以 y＝3x－z，当直线 y＝3x－z 经过点 A 时，直线在 y 轴上的截距－z 最小，即目标函 数取得最大值 2.由{3x－2y＋2＝0， 3x－y＝2， 得 A(2，4)，代入直线 mx－y＝0 得 2m－4＝0，所以 m＝ 2. 2．若变量 x，y 满足{|x|＋|y| ≤ 1， xy ≥ 0， 则 2x＋y 的取值范围为________． 解析： 作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线 2x＋y＝0，经过点(1， 0)时，2x＋y 取得最大值 2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x＋y 取得最小值 2×(－1)＋0＝－ 2，所以 2x＋y 的取值范围为[－2，2]． 答案：[－2，2] 3．实数 x，y 满足不等式组{x－y＋2 ≥ 0， 2x－y－5 ≤ 0， x＋y－4 ≥ 0， 则 z＝|x＋2y－4|的最大值为________． 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝|x＋2y－4|＝ |x＋2y－4| 5 · 5，其几何含义为阴影区域内的点到直线 x＋2y－4＝0 的距离的 5倍．由 {x－y＋2＝0， 2x－y－5＝0，得点 B 坐标为(7，9)，显然点 B 到直线 x＋2y－4＝0 的距离最大，此时 zmax＝ 21. 答案：21 4．x，y 满足约束条件{x＋y－2 ≤ 0， x－2y－2 ≤ 0， 2x－y＋2 ≥ 0， 若 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一，则实 数 a 的值为________． 解析：法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知 A(0，2)，B(2，0)， C(－2，－2)，则 zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一， 只要 zA＝zB>zC 或 zA＝zC>zB 或 zB＝zC>zA，解得 a＝－1 或 a＝2. 法二：目标函数 z＝y－ax 可化为 y＝ax＋z，令 l0：y＝ax，平移 l0，则当 l0∥AB 或 l0∥ AC 时符合题意，故 a＝－1 或 a＝2. 答案：－1 或 2 5．已知点 A(5 3，5)，直线 l：x＝my＋n(n＞0)过点 A.若可行域{x ≤ my＋n x－ 3y ≥ 0 y ≥ 0 的外接圆 的直径为 20，求 n 的值． 解： 注意到直线 l′：x－ 3y＝0 也经过点 A，所以点 A 为直线 l 与 l′的交点． 画出不等式组 {x ≤ my＋n x－ 3y ≥ 0 y ≥ 0 表示的可行域如图中阴影部分所示． 设直线 l 的倾斜角为 α，则∠ABO＝π－α. 在△OAB 中，OA＝ （5 3）2＋52＝10. 根据正弦定理，得 10 sin（π－α）＝20，解得 α＝5π 6 或π 6. 当 α＝5π 6 时，1 m＝tan 5π 6 ，得 m＝－ 3. 又直线 l 过点 A(5 3，5)，所以 5 3＝－ 3×5＋n， 解得 n＝10 3. 当 α＝π 6时，同理可得 m＝ 3，n＝0(舍去)． 综上，n＝10 3. 6．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A，B，C 三种主要原料．生产 1 车皮甲种 肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 　原料 肥料　　 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 现有 A 种原料 200 吨，B 种原料 360 吨，C 种原料 300 吨，在此基础上生产甲、乙两种 肥料．已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利 润为 3 万元．分别用 x，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数． (1)用 x，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利 润． 解：(1)由已知，x，y 满足的数学关系式为{4x＋5y ≤ 200， 8x＋5y ≤ 360， 3x＋10y ≤ 300， x ≥ 0， y ≥ 0. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分． (2)设利润为 z 万元，则目标函数为 z＝2x＋3y. 考虑 z＝2x＋3y，将它变形为 y＝－2 3x＋z 3， 这是斜率为－2 3，随 z 变化的一族平行直线. z 3为直线在 y 轴上的截距，当z 3取最大值时，z 的值最大．又因为 x，y 满足约束条件，所以由 图 2 可知，当直线 z＝2x＋3y 经过可行域上的点 M 时，截距z 3最大，即 z 最大． 解方程组{4x＋5y＝200， 3x＋10y＝300，得点 M 的坐标为(20，24)． 所以 zmax＝2×20＋3×24＝112. 即生产甲种肥料 20 车皮、乙种肥料 24 车皮时利润最大，且最大利润为 112 万元．