【数学】2018届一轮复习北师大版第2讲　两直线的位置关系学案 17页

第2讲　两直线的位置关系 ‎ [学生用书P158])‎ ‎1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系 条件 两直线位 置关系 斜率的关系 两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2‎ 平行 k1＝k2‎ k1与k2都不存在 垂直 k1k2＝－1‎ k1与k2一个为零、‎ 另一个不存在 ‎2.两条直线的交点 ‎3．三种距离 点点距 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 ‎|P1P2|＝‎ 点线距 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 线线距 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ ‎1．辨明三个易误点 ‎(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据相应公式或性质判断，若直线无斜率，要单独考虑．‎ ‎(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．‎ ‎(3)在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式．‎ ‎2．与已知直线垂直及平行的直线系的设法 与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：‎ ‎(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；‎ ‎(2)平行：Ax＋By＋n＝0(n∈R，且n≠C)．‎ ‎1．直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是(　　)‎ A．3x＋2y－1＝0　　　　　　 B．3x＋2y＋7＝0‎ C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0‎ ‎　A　[解析] 由题意知，直线l的斜率是－，因此直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.‎ ‎2. 已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　)‎ A．1　　 B． C. D．2‎ ‎　B　[解析] l1与l2之间的距离d＝＝＝，故选B．‎ ‎3. 已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则实数a的值是(　　)‎ A．－3　　 B．2‎ C．－3或2 D．3或－2‎ ‎　A　[解析] 由直线l1与l2平行，可得解得a＝－3.‎ ‎4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝________．‎ ‎[解析] 由解得 将其代入x＋by＝0，得b＝－.‎ ‎[答案] － ‎5．已知坐标平面内两点A(x，－x)和B，那么这两点之间距离的最小值是________．‎ ‎[解析] 由题意可得两点间的距离 d＝＝≥，即最小值为.‎ ‎[答案] ‎　两条直线平行与垂直[学生用书P159]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．‎ ‎【解析】　(1)当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．‎ ‎(2)法一：由方程组得 即P(0，2)．‎ 因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－，‎ 所以直线l的方程为y－2＝－x，‎ 即4x＋3y－6＝0.‎ 法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，‎ 所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，‎ 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.‎ 因为l与l3垂直，‎ 所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，所以λ＝11，‎ 所以直线l的方程为12x＋9y－18＝0，‎ 即4x＋3y－6＝0.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)4x＋3y－6＝0‎ ‎ 将本例(2)中条件“与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直”改为“与直线l3：3x－4y＋5＝0平行”，求此时直线l的方程．‎ ‎[解] 法一：由方程组得即P(0，2)．因为l∥l3，所以直线l的斜率k＝，‎ 所以直线l的方程为y－2＝x，即3x－4y＋8＝0.‎ 法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，‎ 所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，‎ 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.因为l与l3平行，‎ 所以3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，所以λ＝，所以直线l的方程为3x－4y＋8＝0.‎ 由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)‎ l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)‎ l1与l2垂直 的充要条件 A1A2＋B1B2＝0‎ l1与l2平行 的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0)‎ l1与l2相交 的充分条件 ≠(A2B2≠0)‎ l1与l2重合 ＝＝(A2B2C2≠0)‎ 的充分条件 ‎　已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．‎ ‎(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；‎ ‎(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．‎ ‎[解] (1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0.‎ 又因为直线l1过点(－3，－1)，‎ 所以－3a＋b＋4＝0.‎ 故a＝2，b＝2.‎ ‎(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，‎ 所以直线l1的斜率存在．‎ 所以＝1－a.①‎ 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，‎ 所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.②‎ 联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.‎ ‎　距离公式(高频考点)[学生用书P160]‎ 距离包括两点间、点到直线和两平行线间的距离．在高考中经常出现，试题难度不大．‎ 高考中对距离公式的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)求距离；‎ ‎(2)已知距离求参数值；‎ ‎(3)已知距离求点的坐标．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(1)已知A(2，0)，B(0，2)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)‎ A．4　　　　　　　　　　　 B．3‎ C．2 D．1‎ ‎(2)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．‎ ‎【解析】　(1)设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，‎ ‎|AB|＝2.‎ 由于△ABC的面积为2，‎ 则这个三角形中AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝.‎ 由点到直线的距离公式得＝，‎ 即|t＋t2－2|＝2，即t2＋t－2＝2或者t2＋t－2＝－2.‎ 因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．‎ ‎(2)依题意知，＝≠，‎ 解得a＝－4，c≠－2，‎ 即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，‎ 又两平行线之间的距离为，‎ 所以＝，因此c＝2或－6.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)2或－6‎ 距离的求法 ‎(1)点到直线的距离 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．‎ ‎(2)两平行直线间的距离 ‎①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；‎ ‎②利用两平行线间的距离公式．　 ‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　求距离 ‎1．已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB 的中点为P(0，)，则线段AB的长为________．‎ ‎[解析] 依题意，a＝2，P(0，5)，设A(x，2x)、B(－2y，y)，故，则A(4，8)、B(－4，2)，‎ 所以|AB|＝＝10.‎ ‎[答案] 10‎ ‎ 角度二　已知距离求参数值 ‎2．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是(　　)‎ A．[－10，10]　　 B．[－10，5]‎ C．[－5，5] D．[0，10]‎ ‎　D　[解析] 由题意得，点P到直线的距离为 ＝.‎ 又≤3，即|15－3a|≤15，‎ 解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．‎ ‎ 角度三　已知距离求点的坐标 ‎3．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P点到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为(　　)‎ A．(1，2)　　 B．(2，1)‎ C．(1，2)或(2，－1) D．(2，1)或(－1，2)‎ ‎　C　[解析] 设P点坐标为(x，5－3x)，则P点到直线x－y－1＝0的距离d＝＝＝，所以|2x－3|＝1，所以x＝1或x＝2.‎ 所以P点坐标为(1，2)或(2，－1)．‎ ‎　对称问题[学生用书P160]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：‎ ‎(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；‎ ‎(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；‎ ‎(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．‎ ‎【解】　(1)设A′(x，y)，由已知 解得所以A′.‎ ‎(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，‎ 则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．‎ 设M′(a，b)，则 解得M′.‎ 设直线m与直线l的交点为N，‎ 则由 得N(4，3)．‎ 又因为m′经过点N(4，3)，‎ 所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.‎ ‎(3)设P(x，y)为l′上任意一点，‎ 则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，‎ 因为P′在直线l上，‎ 所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，‎ 即2x－3y－9＝0.‎ ‎　 ‎ ‎　直线x＋2y－3＝0与直线ax＋4y＋b＝0关于点A(1，0)对称，则b＝________．‎ ‎[解析] 法一：由题知，点A不在直线x＋2y－3＝0上，‎ 所以两直线平行，‎ 所以－＝－，所以a＝2.‎ 又点A到两直线距离相等，‎ 所以＝，‎ 所以|b＋2|＝4，所以b＝－6或b＝2.‎ 因为点A不在直线x＋2y－3＝0上，‎ 所以两直线不能重合，所以b＝2.‎ 法二：在直线x＋2y－3＝0上取两点P1(1，1)、P2(3，0)，‎ 则P1、P2关于点A的对称点P′1、P′2都在直线ax＋4y＋b＝0上．‎ 因为易知P′1(1，－1)、P′2(－1，0)，‎ 所以 所以b＝2.‎ ‎[答案] 2‎ ‎ [学生用书P161])‎ ‎——与直线有关的交汇问题 ‎　设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m ‎＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．‎ ‎【解析】　因为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A，B，‎ 所以A(0，0)，B(1，3)．‎ 当点P与点A(或B)重合时，|PA|·|PB|为零；‎ 当点P与点A，B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，‎ 所以△APB为直角三角形，所以|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10，‎ 所以|PA|·|PB|≤＝＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时，上式等号成立．‎ ‎【答案】　5‎ ‎　(1)本题是直线与不等式的交汇，把直线问题和基本不等式进行结合，体现了当今数学命题的新动向，其解题思路是利用图形找出关系式|AP|2＋|BP|2＝|AB|2，再利用基本不等式求解．‎ ‎(2)直线方程还可以与集合、向量、概率等知识交汇．‎ ‎　1.(2017·湖北省八校联考)已知M＝，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且M∩N＝∅，则a＝(　　)‎ A．－6或－2　　　　　　　 B．－6‎ C．2或－6 D．－2‎ ‎　A　[解析] 集合M表示去掉一点A(2，3)的直线3x－y－3＝0，集合N表示恒过定点B(－1，0)的直线ax＋2y＋a＝0，因为M∩N＝∅，所以两直线要么平行，要么直线ax＋2y＋a＝0与直线3x－y－3＝0相交于点A(2，3)．因此＝3或2a＋6＋a＝0，即a＝－6或a＝－2.‎ ‎2．(2017·南昌模拟)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是(　　)‎ A.，　　 B．， C.， D．， ‎　A　[解析] 由题意知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，所以ab＝c，a＋b＝－1.‎ 又直线x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0的距离d＝，‎ 所以d2＝＝＝＝－2c，‎ 而0≤c≤，所以－2×≤－2c≤－2×0，‎ 得≤－2c≤，‎ 所以≤d≤.‎ ‎ [学生用书P298(独立成册)]‎ ‎1．已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A(3，2)、B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于(　　)‎ A．－4　　　　　　　　　　 B．－2‎ C．0 D．2‎ ‎　B　[解析] 由题意知l的斜率为－1，则l1的斜率为1，即kAB＝＝1，所以a＝0.由l1∥l2，得－＝1(b≠0)，所以b＝－2(经检验满足题意)，所以a＋b＝－2，故选B．‎ ‎2．(2017·石家庄模拟)已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)‎ A．x－y＋1＝0　　 B．x－y＝0‎ C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0‎ ‎　A　[解析] 由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ＝－1，所以直线l的斜率k＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.‎ ‎3．(2017·福建厦门联考)“C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的(　　)‎ A．充要条件 ‎ B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎　B　[解析] 点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3等价于＝3，解得C＝5或C＝－25，所以“C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B．‎ ‎4．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)‎ A．x＋2y－1＝0　　 B．2x＋y－1＝0‎ C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0‎ ‎　D　[解析] 由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＝1的交点坐标为(1，1)．‎ 又直线x－2y＋1＝0上的点(－1，0)关于直线x＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得＝，即x＋2y－3＝0.‎ ‎5．已知点A(－1，2)，B(3，4)．P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为(　　)‎ A．15　　 B． C．6 D． ‎　D　[解析] 设AB的中点坐标为M(1，3)，‎ kAB＝＝，‎ 所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)．‎ 即2x＋y－5＝0.‎ 令y＝0，则x＝，‎ 即P点的坐标为(，0)，‎ ‎|AB|＝＝2.‎ P到AB的距离为|PM|＝＝.‎ 所以S△PAB＝|AB|·|PM|＝×2×＝.‎ ‎6．(2017·洛阳统考)已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　)‎ A．过点P且与l垂直的直线 B．过点P且与l平行的直线 C．不过点P且与l垂直的直线 D．不过点P且与l平行的直线 ‎　D　[解析] 因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，排除A、B；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C，故选D．‎ ‎7．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是________．‎ ‎[解析] l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋|，解得c＝－，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.‎ ‎[答案] 12x＋8y－15＝0‎ ‎8．已知P是直线2x－3y＋6＝0上一点，O为坐标原点，且点A的坐标为(－1，1)，若|PO|＝|PA|，则P点的坐标为________．‎ ‎[解析] 法一：设P(a，b)，则 ，‎ 解得a＝3，b＝4.‎ 所以P的坐标为(3，4)．‎ 法二：线段OA的中垂线方程为x－y＋1＝0，‎ 则由 解得，则P的坐标为(3，4)．‎ ‎[答案] (3，4)‎ ‎9．直线l：mx－2y＋3m＋4＝0(m∈R)恒过定点为M，则|OM|＝________．‎ ‎[解析] 由mx－2y＋3m＋4＝0，得(x＋3)m＋(－2y＋4)＝0.‎ 令得 即l恒过定点(－3，2)，‎ 所以|OM|＝＝.‎ ‎[答案] ‎10．(2017·淮安调研)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．‎ ‎[解析] 设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，‎ 则反射光线所在直线过点M′，解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.‎ ‎[答案] 6x－y－6＝0‎ ‎11．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．‎ ‎(1)若l1∥l2，求b的取值范围；‎ ‎(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．‎ ‎[解] (1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，‎ 即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－＋，‎ 因为a2≥0，所以b≤0.‎ 又因为a2＋1≠3，所以b≠－6.‎ 故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]．‎ ‎(2)因为l1⊥l2，‎ 所以(a2＋1)－a2b＝0，‎ 显然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，‎ 当且仅当a＝±1时等号成立，‎ 因此|ab|的最小值为2.‎ ‎12．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．‎ ‎[解] 依题意知，kAC＝－2，A(5，1)，‎ 所以lAC为2x＋y－11＝0，‎ 联立lAC，lCM得所以C(4，3)．‎ 设B(x0，y0)，AB的中点M为，‎ 代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，‎ 所以 所以B(－1，－3)，‎ 所以kBC＝，‎ 所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，‎ 即6x－5y－9＝0.‎ ‎13．(2017·湖南衡阳八中一模)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2，3)对称，则直线l的方程是________．‎ ‎[解析] 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b.所以b＝3－4k＋b，解得k＝.所以直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b，设直线l上的一点P，则点P关于点(2，3)的对称点为，所以6－b－m＝(4－m)＋b＋，解得b＝.所以直线l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋1＝0.‎ ‎[答案] 6x－8y＋1＝0‎ ‎14．(2017·河南焦作一模)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为________．‎ ‎[解析] 因为f(x)＝＋＝＋，所以f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和，设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A′，则A′为(－2，－4)．‎ 要求f(x)的最小值，可转化为|MA|＋|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，即f(x)＝＋的最小值为5.‎ ‎[答案] 5 ‎15．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.‎ ‎(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；‎ ‎(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．‎ ‎[解] (1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 ‎(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，‎ 所以＝3，解得λ＝或λ＝2.‎ 所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.‎ ‎(2)由 解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，‎ 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．‎ 所以dmax＝|PA|＝.‎ ‎16．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：‎ ‎(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；‎ ‎(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．‎ ‎[解] (1)如图，设B关于l的对称点为B′，AB′的延长线交l于P0，在l上另任取一点P，则|PA|－|PB|＝|PA|－|PB′|<|AB′|＝|P0A|－|P0B′|＝|P0A|－|P0B|，则P0即为所求．‎ 易求得直线BB′的方程为x＋3y－12＝0，‎ 设B′(a，b)，则a＋3b－12＝0，①‎ 又线段BB′的中点在l上，故3a－b－6＝0.②‎ 由①②解得a＝3，b＝3，所以B′(3，3)．‎ 所以AB′所在直线的方程为2x＋y－9＝0.‎ 由可得P0(2，5)．‎ ‎(2)设C关于l的对称点为C′，与(1)同理可得C′.‎ 连接AC′交l于P1，在l上另任取一点P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|P1C′|＋|P1A|＝|P1C|＋|P1A|，故P1即为所求．‎ 又AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，‎ 故由可得P1.‎