- 194.00 KB
- 2021-06-30 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第七章 不等式 7.1 不等关系与不等式
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法(a,b∈R);
(2)作商法(a∈R,b>0).
2.不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔bb,b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a+c>b+c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒acb+d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1)
a,b同为正数
可开方性
a>b>0⇒>(n∈N,n≥2)
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>b,ab>0⇒<.
②a<0b>0,0.
④0b>0,m>0,则
①<;>(b-m>0).
②>;<(b-m>0).
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a1,则a>b.( × )
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( × )
(4)一个非零实数越大,则其倒数就越小.( × )
(5)a>b>0,c>d>0⇒>.( √ )
(6)若ab>0,则a>b⇔<.( √ )
1.(教材改编)已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是___________.
答案 a>-b>b>-a
解析 ∵a+b>0,b<0,∴a>-b>0,-a-b>0>b>-a,即a>-b>b>-a.
2.(教材改编)若a,b都是实数,则“->0”是“a2-b2>0”的__________条件.
答案 充分不必要
解析 ->0⇒>⇒a>b⇒a2>b2,
但由a2-b2>0⇏->0.
3.(2016·南京模拟)若a,b∈R,且a+|b|<0,则下列不等式中正确的是________.
①a-b>0; ②a3+b3>0;
③a2-b2<0; ④a+b<0.
答案 ④
解析 由a+|b|<0知,a<0,且|a|>|b|,
当b≥0时,a+b<0成立,
当b<0时,a+b<0成立,∴a+b<0.
4.如果a∈R,且a2+a<0,则a,a2,-a,-a2的大小关系是___________.
答案 a<-a2-1,∴a<-a21且2a<1,
∴a<2b·a=2a(1-a)=-2a2+2a
=-22+<.
即a<2ab<,
又a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=,
即a2+b2>,
a2+b2-b=(1-b)2+b2-b=(2b-1)(b-1),
又2b-1>0,b-1<0,
∴a2+b2-b<0,
∴a2+b2b;==log6251 024>1,
所以b>c.即ce时,函数f(x)单调递减.
因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),
即c0,试比较a与的大小.
解 因为a-==,
因为a>0,所以当a>1时,>0,有a>;
当a=1时,=0,有a=;
当01时,a>;当a=1时,a=;
当00,1618>0,
∴1816<1618,即aac; ②c(b-a)<0;
③cb20.
(2)已知a,b,c,d为实数,则“a>b且c>d”是“ac+bd>bc+ad”的_________条件.
答案 (1)① (2)充分不必要
解析 (1)由c0.
由b>c得ab>ac一定成立.
(2)因为c>d,所以c-d>0.
又a>b,所以两边同时乘以(c-d),
得a(c-d)>b(c-d),
即ac+bd>bc+ad.
若ac+bd>bc+ad,则a(c-d)>b(c-d),也可能ab且c>d”是“ac+bd>bc+ad”的充分不必要条件.
思维升华 解决此类问题常用两种方法:一是直接使用不等式的性质逐个验证;二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.
若a>0>b>-a,cbc;②+<0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中成立的个数是________.
答案 3
解析 方法一 ∵a>0>b,c0,
∴ad0>b>-a,∴a>-b>0,
∵c-d>0,
∴a(-c)>(-b)(-d),
∴ac+bd<0,∴+=<0,故②正确.
∵c-d,
∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),
∴a-c>b-d,故③正确.
∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),
故④正确.
方法二 取特殊值.
题型三 不等式性质的应用
命题点1 应用性质判断不等式是否成立
例3 已知a>b>0,给出下列四个不等式:
①a2>b2;②2a>2b-1;③>-;④a3+b3>2a2b.
其中一定成立的不等式为________.
答案 ①②③
解析 方法一 由a>b>0可得a2>b2,①成立;
由a>b>0可得a>b-1,而函数f(x)=2x在R上是增函数,
∴f(a)>f(b-1),即2a>2b-1,②成立;
∵a>b>0,∴>,
∴()2-(-)2=2-2b=2(-)>0,
∴>-,③成立;
若a=3,b=2,则a3+b3=35,2a2b=36,
a3+b3<2a2b,④不成立.
方法二 令a=3,b=2,
可以得到①a2>b2,②2a>2b-1,③>-均成立,而④a3+b3>2a2b不成立.
命题点2 求代数式的取值范围
例4 已知-1; ②a2bn.
(2)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:
①>;②acloga(b-c).
其中所有正确结论的序号是________.
答案 (1)③ (2)①②③
解析 (1)(特值法)取a=-2,b=-1,逐个检验,可知①,②,④均不正确;
③中,<⇔|b|(|a|+1)<|a|(|b|+1)
⇔|a||b|+|b|<|a||b|+|a|⇔|b|<|a|,
∵ab>1知<,
又c<0,∴>,①正确;
构造函数y=xc,
∵c<0,∴y=xc在(0,+∞)上是减函数,
又a>b>1,∴acb>1,c<0,∴a-c>b-c>1,
∴logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),③正确.
6.利用不等式变形求范围
典例 设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是________.
错解展示
解析 由已知得
①+②得3≤2a≤6,∴6≤4a≤12,
又由①可得-2≤-a+b≤-1, ③
②+③得0≤2b≤3,∴-3≤-2b≤0,
又f(-2)=4a-2b,∴3≤4a-2b≤12,
∴f(-2)的取值范围是[3,12].
答案 [3,12]
现场纠错
解析 方法一 由
得
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.
方法二 由
确定的平面区域如图阴影部分所示,
当f(-2)=4a-2b过点A(,)时,
取得最小值4×-2×=5,
当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时,
取得最大值4×3-2×1=10,∴5≤f(-2)≤10.
答案 [5,10]
纠错心得 在求式子的范围时,如果多次使用不等式的可加性,式子中的等号不能同时取到,会导致范围扩大.
1.(教材改编)当x>1时,x3与x2-x+1的大小关系为______________.
答案 x3>x2-x+1
解析 ∵x3-(x2-x+1)
=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x2+1).
又∵x>1,
故(x-1)(x2+1)>0,
∴x3-(x2-x+1)>0,
即x3>x2-x+1.
2.(2016·苏州模拟)下列命题中,正确的是______.
①若a>b,c>d,则ac>bd;
②若ac>bc,则a>b;
③若<,则ab,c>d,则a-c>b-d.
答案 ③
解析 取a=-1,b=-2,c=2,d=1,
则ac=bd,a-c=b-d,故①,④错误;
取a=2,b=3,c=-1,则ac>bc,ay>z,x+y+z=0,则下列不等式成立的是________.
①xy>yz; ②xz>yz;
③xy>xz; ④x|y|>z|y|.
答案 ③
解析 ∵x>y>z且x+y+z=0,∴x>0,z<0,
又y>z,∴xy>xz.
4.设a,b∈R,则“(a-b)·a2<0”是“ab,则ac2>bc2;
②若>,则a>b;
③若a3>b3且ab<0,则>;
④若a2>b2且ab>0,则<.
答案 ③
解析 当c=0时,可知①不正确;
当c<0时,可知②不正确;
对于③,由a3>b3且ab<0,知a>0且b<0,
所以>成立,③正确;
当a<0且b<0时,可知④不正确.
7.若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是________.
①a+>b+; ②>;
③a->b-; ④>.
答案 ①
解析 取a=2,b=1,排除②与④;另外,函数f(x)=x-是(0,+∞)上的增函数,但函数g(x)=x+在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增,所以,当a>b>0时,f(a)>f(b)必定成立,即a->b-⇔a+>b+,但g(a)>g(b)未必成立.
8.若a>b>0,则下列不等式一定不成立的是________.
①<; ②log2a>log2b;
③a2+b2≤2a+2b-2; ④b<<0(由a>b>0,a,b不能同时为1),
∴a2+b2-2a-2b+2>0,∴a2+b2>2a+2b-2,
∴③一定不成立.
9.下列四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是_____.
①a>b+1; ②a>b-1;
③a2>b2; ④a3>b3.
答案 ①
解析 由a>b+1,得a>b+1>b,即a>b,而由a>b不能得出a>b+1,因此,使a>b成立的充分而不必要的条件是a>b+1.
10.已知a,b,c,d均为实数,有下列命题
①若ab>0,bc-ad>0,则->0;
②若ab>0,->0,则bc-ad>0;
③若bc-ad>0,->0,则ab>0.
其中正确的命题是________.
答案 ①②③
解析 ∵ab>0,bc-ad>0,
∴-=>0,∴①正确;
∵ab>0,又->0,即>0,
∴bc-ad>0,∴②正确;
∵bc-ad>0,又->0,即>0,
∴ab>0,∴③正确.故①②③都正确.
11.(教材改编)一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程将超过2 200 km,用不等式表示为____________.
答案 8(x+19)>2 200
解析 因为该汽车每天行驶的路程比原来多19 km,所以汽车每天行驶的路程为(x+19)
km,则在8天内它的行程为8(x+19) km,因此,不等关系“在8天内它的行程将超过2 200 km”可以用不等式8(x+19)>2 200来表示.
12.已知-1<2x-1<1,则-1的取值范围是________.
答案 (1,+∞)
解析 -1<2x-1<1⇒01⇒>2
⇒-1>1.
13.已知-1≤x+y≤4,且2≤x-y≤3,则z=2x-3y的取值范围是______(用区间表示).
答案 [3,8]
解析 ∵z=-(x+y)+(x-y),
∴3≤-(x+y)+(x-y)≤8,
∴z的取值范围是[3,8].
14.已知m∈R,a>b>1,f(x)=,试比较f(a)与f(b)的大小.
解 f(x)=m(1+),f(a)=m(1+),
f(b)=m(1+).
由a>b>1,知a-1>b-1>0.
∴<,∴1+<1+.
①当m>0时,m(1+)m(1+),f(a)>f(b).
综上所述,当m>0时,f(a)f(b).