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- 2021-06-30 发布
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第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求
真题举例
命题角度
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系;
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;
3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
2016,全国卷Ⅲ,16,5分(弦长问题)
2015,全国卷Ⅱ,7,5分(弦长问题)
2016,江苏卷,18,16分(圆的综合问题)
2016,山东卷,7,5分(圆与圆的位置关系)
1.考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断;根据位置关系求参数范围、最值、几何量的大小等是考查热点;
2.题型主要以选择题、填空题为主,要求相对较低,但内容很重要,有时也会在解答题中出现。
微知识 小题练
自|主|排|查
1.直线与圆的位置关系与判断方法
方法
过程
依据
结论
代数法
联立方程组消去x(或y)得一元二次方程,计算Δ=b2-4ac
Δ>0
相交
Δ=0
相切
Δ<0
相离
几何法
计算圆心到直线的距离d,比较d与半径r的关系。相交时弦长为2
d<r
相交
d=r
相切
d>r
相离
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r(r1>0),
圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r(r2>0)。
方法
位置关系
几何法:圆心距d与r1,r2的关系
代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1+r2
无解
外切
d=r1+r2
一组实数解
相交
|r1-r2|<d<r1+r2
两组不同的实数解
内切
d=|r1-r2|
(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1-r2|
(r1≠r2)
无解
3.两圆公切线的条数
位置关系
内含
内切
相交
外切
外离
公切线条数
0
1
2
3
4
微点提醒
1.对于圆的切线问题,一定要区分好是过圆上一点的切线,还是过圆外一点的切线。
2.利用圆这种几何图形的特殊性,多考虑用几何的方法解决位置关系、切线、弦长问题。
3.当两圆相交(切)时,两圆方程(x2,y2项系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程。
4.过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上一点(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y+D·+E·+F=0。
小|题|快|练
一 、走进教材
1.(必修2P132A组T5改编)直线l:3x-y-6=0与圆x2+y2-2x-4y=0相交于A,B两点,则|AB|=________。
【解析】 由x2+y2-2x-4y=0,得(x-1)2+(y-2)2=5,
所以该圆的圆心坐标为(1,2),半径r=,
又圆心(1,2)到直线3x-y-6=0的距离为d==,由2=r2-d2,得
|AB|2=4=10,即|AB|=。
【答案】
2.(必修2P132A组T9改编)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a=______。
【解析】 方程x2+y2+2ay-6=0与x2+y2=4。
两式相减得:2ay=2,则y=。
由已知条件 =,即a=1。
【答案】 1
二、双基查验
1.圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是( )
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.相交过圆心 D.相离
【解析】 由题意知圆心(1,-2)到直线2x+y-5=0的距离d==<。且2×1+(-2)-5≠0,因此该直线与圆相交但不过圆心。故选B。
【答案】 B
2.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是( )
A.相离 B.相交
C.外切 D.内切
【解析】 圆O1的圆心为(1,0),半径r1=1,圆O2的圆心为(0,2),半径r2=2,故两圆的圆心距|O1O2|=,而r2-r1=1,r1+r2=3,则有r2-r1<|O1O2|<r1+r2,故两圆相交。故选B。
【答案】 B
3.(2016·鞍山模拟)直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,若弦AB的中点为(-2,3),则直线l的方程为( )
A.x+y-3=0 B.x+y-1=0
C.x-y+5=0 D.x-y-5=0
【解析】 显然圆x2+y2+2x-4y+a=0的圆心C(-1,2),又弦AB的中点为(-2,3),所以圆心与中点连线的斜率k==-1,故kl=1,l的方程为y-3=x+2,即x-
y+5=0。故选C。
【答案】 C
4.圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相交,则a的取值范围为________。
【解析】 两圆圆心距为=,
又两圆相交,所以5-1<<5+1,0