【数学】2020届一轮复习苏教版函数模型及其应用学案 15页

§2.10　函数模型及其应用 考情考向分析 　考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、 最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度． 1．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝k x＋b(k，b 为常数且 k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b 为常数，a≠0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上 的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐 表现为与 y 轴平 行 随 x 的增大逐渐 表现为与 x 轴平 行 随 n 值变化而各 有不同 值的比较 存在一个 x0，当 x>x0 时，有 logax0，b≠1)增长速度越来越快的形象比 喻．(　×　) 题组二　教材改编 2．[P104 习题 T1]某县目前人口 100 万人，经过 x 年后为 y 万人，若人口年增长率是 1.2%， 则 y 关于 x 的函数关系式是________． 答案　y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*) 解析　本题属于简单的指数模型的应用问题，依题意有 y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)． 3．[P99 例 3]生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝1 2x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为 20 万元，为获取更大利润，该 企业一个月应生产该商品数量为________万件． 答案　18 解析　利润 L(x)＝20x－C(x)＝－1 2(x－18)2＋142， 当 x＝18 时，L(x)有最大值． 0xa 4．[P77 例 8]某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企 2016 年全年投 入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该民企全年 投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是______________年．(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) 答案　2020 解析　设从 2016 年起，过了 n(n∈N*)年该民企全年投入的研发资金超过 200 万元，则 130×(1＋12%)n≥200，则 n≥ lg 20 13 lg 1.12≈0.30－0.11 0.05 ＝3.8， 由题意取 n＝4，则 n＋2 016＝2 020. 题组三　易错自纠 5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这 两年生产总值的年平均增长率为____________． 答案　 (p＋1)(q＋1)－1 解析　设年平均增长率为 x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)， ∴x＝ (1＋p)(1＋q)－1. 6．已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y＝alog3(x＋1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到________只． 答案　200 解析　由题意知 100＝alog3(2＋1)， ∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)． 当 x＝8 时，y＝100log39＝200. 题型一　已知函数模型的实际问题 例 1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定 条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 p＝at2＋bt＋c(a，b，c 是常数)， 如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 ________分钟． 答案　3.75 解析　根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式， 联立方程组得Error! 消去 c 化简得Error!解得Error! 所以 p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－1 5(t2－15 2 t＋225 16 )＋45 16－2＝－1 5(t－15 4 )2＋13 16，所以当 t＝15 4 ＝3.75 时，p 取得最大值，即最佳加工时间为 3.75 分钟． (2)某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为 p 元，销售量 为 Q 件，则销售量 Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则 最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)________元． 答案　23 000 解析　设毛利润为 L(p)元，则由题意知 L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20) ＝(8 300－170p－p2)(p－20) ＝－p3－150p2＋11 700p－166 000， 所以 L′(p)＝－3p2－300p＋11 700. 令 L′(p)＝0，解得 p＝30 或 p＝－130(舍去)． 当 p∈(0,30)时，L′(p)>0，当 p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故 L(p)在 p＝30 时取得极大值， 即最大值，且最大值为 L(30)＝23 000. 思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题． 跟踪训练 1 (1)拟定甲、乙两地通话 m 分钟的电话费(单位：元)由 f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出， 其中 m>0，[m]是不超过 m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为______元． 答案　4.24 解析　∵m＝6.5，∴[m]＝6， 则 f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. (2)某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万 元．又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q)＝40Q－ 1 20Q2，则总利润 L(Q)的最大值是 ________万元． 答案　2 500 解析　L(Q)＝40Q－ 1 20Q2－10Q－2 000 ＝－ 1 20Q2＋30Q－2 000＝－ 1 20(Q－300)2＋2 500. 则当 Q＝300 时，L(Q)的最大值为 2 500 万元． 题型二　构建函数模型的实际问题 命题点 1　构造一次函数、二次函数模型 例 2 某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量 x(kg)与其运费 y(元)之间的关系由如图所示 的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg. 答案　19 解析　由图象可求得一次函数的解析式为 y＝30x－570，令 30x－570＝0，解得 x＝19. 命题点 2　构造指数函数、对数函数模型 例 3 一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐 到面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1 4，已 知到今年为止，森林剩余面积为原来的 2 2 . (1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解　(1)设每年降低的百分比为 x(00)型函数 例 4 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利 润 y(万元)与营运年数 x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每 辆客车营运年数为________． 答案　5 解析　根据图象求得 y＝－(x－6)2＋11， ∴年平均利润y x＝12－(x＋25 x )， 1 1011 .2x æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø ＝ － 1 10 21 1 ,2 2 m æ ö æ ö÷ ÷ç ç=÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø 3 10 21 1 ,2 2 n æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø ≥ ∵x＋25 x ≥10，当且仅当 x＝5 时等号成立． ∴要使平均利润最大，客车营运年数为 5. (2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为 60°(如图)，考虑防洪堤 坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 9 3 平方米，且高度不低于 3 米．记 防洪堤横断面的腰长为 x 米，外周长(梯形的上底线段 BC 与两腰长的和)为 y 米．要使防洪堤 的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长 x＝________ 米． 答案　2 3 解析　由题意可得 BC＝18 x －x 2(2≤x<6)， ∴y＝18 x ＋3x 2 ≥2 18 x × 3x 2 ＝6 3. 当且仅当18 x ＝3x 2 (2≤x<6)，即 x＝2 3时等号成立． 命题点 4　构造分段函数模型 例 5 已知某公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1 万只还需另投入 16 万美 元．设该公司一年内共生产该款手机 x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为 R(x)万美元， 且 R(x)＝Error! (1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万只)的函数解析式； (2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年 利润． 解　(1)当 040 时， W＝xR(x)－(16x＋40)＝－40 000 x －16x＋7 360. 所以 W＝Error! (2)①当 040 时，W＝－40 000 x －16x＋7 360， 由于40 000 x ＋16x≥2 40 000 x × 16x＝1 600， 当且仅当40 000 x ＝16x，即 x＝50∈(40，＋∞)时，取等号， 所以 W 取最大值 5 760. 综合①②，当年产量 x＝32 万只时，W 取最大值 6 104 万美元． 思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系， 将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的 限制． 跟踪训练 2 (1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过 0.1%，若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少1 3，至少应过滤__________次才能达到市场要求．(参考数 据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 答案　8 解析　设至少过滤 n 次才能达到市场要求， 则 2%(1－1 3 )n≤0.1%，即 (2 3 )n≤ 1 20， 所以 nlg 2 3≤－1－lg 2，所以 n≥7.39，所以 n＝8. (2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为 20 000 元，每天需 要房租、水电等费用 100 元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益 R(元) 与 门 面 经 营 天 数 x 的 关 系 是 R(x) ＝ Error! 则 当 总 利 润 最 大 时 ， 该 门 面 经 营 的 天 数 是 ________． 答案　300 解析　由题意，总利润 y＝Error! 当 0≤x≤400 时，y＝－1 2(x－300)2＋25 000， 所以当 x＝300 时，ymax＝25 000； 当 x>400 时，y＝60 000－100x<20 000. 综上，当门面经营的天数为 300 时，总利润最大为 25 000 元． 用数学模型求解实际问题 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量， 图形关系中抽象出数学概念，并且用数学符号和术语予以表征． 例 (1)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动 车时血液中酒精含量不得超过 0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到 3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时 50%的速度减少，则至少经过________小 时他才可以驾驶机动车．(精确到小时) 答案　4 解析　设 n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得 3(1－0.5)n≤0.2，即 2n≥15，故至少经过 4 小时他才可以驾驶机动车． (2)已知某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房．当每套房月租金定为 3 000 元时，这 70 套公寓房能全部租出去；当月租金每增加 50 元时(设月租金均为 50 元的整数倍)，就会多一 套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费 100 元的日常维修等费用(设没有出 租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________ 元． 答案　3 300 解析　设利润为 y 元，租金定为 3 000＋50x(0≤x≤70，x∈N)元．则 y＝(3 000＋50x)(70－x)－ 100(70－x)＝(2 900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50(58＋x＋70－x 2 )2，当且仅当 58＋x＝ 70－x，即 x＝6 时，等号成立，故每月租金定为 3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利 润． 素养提升　例题中通过用字母表示变量，将酒后驾车时间抽象为不等式问题，将租房最大利 润抽象为函数的最值问题． 1．用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长 度为________． 答案　3 解析　设隔墙的长度为 x(0280)，则有 280 × p%＋(x－280)(p＋2)% x ＝(p＋0.25)%， 解得 x＝320.故该公司的年收入为 320 万元． 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过 10 m3 的，按每 立方米 m 元收费；用水超过 10 m3 的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费 16m 元，则该 职工这个月实际用水为________ m3. 答案　13 解析　设该职工用水 x m3 时，缴纳的水费为 y 元，由题意得 y＝Error! 则 10m＋(x－10)·2m＝16m，解得 x＝13. 6．某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718… 为自然对数的底数，k，b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃的保鲜 时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃的保鲜时间是________小时． 答案　24 解析　由题意得Error!∴e22k＝ 48 192＝1 4， ∴e11k＝1 2，∴x＝33 时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝(1 2 )3·192＝1 8×192＝24(小时)． 7.某人根据经验绘制了 2018 年春节前后，从 12 月 21 日至 1 月 7 日自己种植的西红柿的销售 量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在 12 月 26 日大约卖出了西红柿 ______千克． 答案　190 9 解析　前 10 天满足一次函数关系，设为 y＝kx＋b(k≠0)，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解 析式得Error!解得 k＝20 9 ，b＝70 9 ， 所以 y＝20 9 x＋70 9 ，则当 x＝6 时，y＝190 9 . 8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为________m. 答案　20 解析　设内接矩形另一边长为 y m， 则由相似三角形性质可得 x 40＝40－y 40 ，解得 y＝40－x， 所以面积 S＝x(40－x)＝－x2＋40x ＝－(x－20)2＋400(00)(空闲率：空闲量与最大养殖量的比值)． (1)写出 y 关于 x 的函数关系式，并求其定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值； (3)当鱼群的年增长量达到最大时，求 k 的取值范围． 解　(1)y＝kx·m－x m ＝kx(1－x m )(0≤x0，所以 00， 则(150－x)＋ 100 150－x ≥2 (150－x)· 100 150－x＝2×10＝20， 当且仅当 150－x＝ 100 150－x， 即 x＝140 时等号成立，此时，Pmax＝－20＋120＝100. 所以每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，最大值为 100 元． 13．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度 v 的平方成正比，且比例系数为 k， 除燃料费外其他费用为每小时 96 元．当速度为 10 海里/时时，每小时的燃料费是 6 元．若匀 速行驶 10 海里，当这艘轮船的速度为________海里/时时，总费用最小． 答案　40 解析　设每小时的总费用为 y 元， 则 y＝kv2＋96，又当 v＝10 时，k×102＝6， 解得 k＝0.06， 所以每小时的总费用 y＝0.06v2＋96，匀速行驶 10 海里所用的时间为10 v 小时， 故总费用为 W＝10 v y＝10 v (0.06v2＋96)＝0.6v＋960 v ≥2 0.6v × 960 v ＝48， 当且仅当 0.6v＝960 v ，即 v＝40 时等号成立． 故总费用最小时轮船的速度为 40 海里/时． 14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 a，最 高销售限价 b(b>a)以及实数 x(0