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  • 2021-06-30 发布

【数学】2018届一轮复习苏教版第36课时曲线与方程学案

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第 36 课时 曲线与方程 【学习目标】 1.掌握求曲线与方程的一般步骤; 2.了解求轨迹方程的直接法、定义法、参数法、转移坐标法等方法; 3.理解掌握求两条曲线的交点的方法,进一步学习方程思想和数形结合的方法. 【自主练习】 1.观察表中的方程与曲线,说明它们有怎样的关系? 方程 y=x x2+y2=1 曲线 . 2. 已知点 ,动点 满足 ,则点 的轨迹方程是 . 3. 已知 ΔABC 中,∠A,∠B,∠C 所对应的边为 a,b,c,且 a>c>b,a,c,b 成等差数列,|AB|=2,则顶 点 C 的轨迹方程 . 4.若两条直线 2x-y+k=0 与 x-y-1=0 的交点在曲线 x2+y2=1 上,则 k 的值是 . 5.已知直线 y=x+m 与曲线 y=x2-x+2 有两个公共点,则 m 的取值范围是 . 6.设双曲线 C: ,直线 l:y=kx-2k+1,当 k 时,直线 l 与 C 只有 一个公共点,当 k 时,直线 l 与 C 没有公共点. 答案:1. 2. 3. 4. 或 5. 6. , [来源: ] 【典型例题】 例 1. 一动圆与圆 外切,同时与圆 内切,求动圆圆心 的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。 解:圆 即为 ,圆心 x y= ( 2 0) (3 0)A B− ,, , ( )P x y, 2PA PB x= · P 2 2 14 x y− = 2 6y x= + 2 2 1( 0)4 3 x y y+ = ≠ 2− 1− ( )1,+∞ 1 2  −   1 ,2  +∞  2 2 6 5 0x y x+ + + = 2 2 6 91 0x y x+ − − = M 2 2 6 5 0x y x+ + + = 2 2( 3) 4x y+ + = 1 1( 3,0), 2C r− = x y O x y O x y O 圆 即为 ,圆心 , , ,所以点 M 的轨迹是椭圆, 轨迹方程为: 例 2. 设点 A 和 B 为抛物线 y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知 OA⊥OB,OM⊥AB, 求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线。 解:如图,点 A,B 在抛物线 y2=4px 上, 设 ,OA、OB 的斜率分别为 kOA、kOB. ∴ 由 OA⊥AB,得 ① 依点 A 在 AB 上,得直线 AB 方程 ② 由 OM⊥AB,得直线 OM 方程 ③ 设点 M(x,y),则 x,y 满足②、③两式,将②式两边同时乘以 , 并利用③式整理得 ④ 由③、④两式得 由①式知,yAyB=﹣16p2 ∴x2+y2﹣4px=0 因为 A、B 是原点以外的两点,所以 x>0 所以 M 的轨迹是以(2p,0)为圆心,以 2p 为半径的圆,去掉坐标原点. 2 2 6 91 0x y x+ − − = 2 2( 3) 100x y− + = 2 2(3,0), 10C r = 1 2MC r= + 2 10MC r= − 1 2 12MC MC∴ + = 2 2 136 27 x y+ = 例 3. 若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于点 A、B,点 M 是 AB 的中点,直线 OM(O 为原 点)的斜率为 ,又 OA 垂直于 OB,求 a,b 的值. 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),M( , ). 由 x+y=1,ax2+by2=1, ∴(a+b)x2﹣2bx+b﹣1=0. ∴ = , =1﹣ = . ∴M( , ). ∵kOM= ,∴b= a.① ∵OA⊥OB,∴ • =﹣1. ∴x1x2+y1y2=0. ∵x1x2= ,y1y2=(1﹣x1)(1﹣x2), ∴y1y2=1﹣(x1+x2)+x1x2 =1﹣ + = . ∴ + =0. ∴a+b=2.② 由①②得 a=2( ﹣1),b=2 ( ﹣1). ∴所求方程为 2( ﹣1)x2+2 ( ﹣1)y2=1. 例 4. 设 F(1,0),M 点在 x 轴上,P 点在 y 轴上,且 。 (I)当点 P 在 y 轴上运动时,求 N 点的轨迹 C 的方程; 2 2 PFPMMPMN ⊥,2= (II)设 是曲线 C 上的三点,且 成 等差数列,当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0)时,求 B 点的坐标. 解:(1)设 N(x,y),则由 得 P 为 MN 的中点,[来源:Z|xx|k.Com] 所以 又 ,∴ ∵ , ∴y2=4x(x≠0) (2)由(1)知 F(1,0)为曲线 C 的焦点,由抛物线定义知抛物线上任一点 P0(x0,y0) 到 F 的距离等于其到准线的距离,即 故 , 又 成等差数列 ∴x1+x3=2x2 ∵直线 AD 的斜率 ∴AD 的中垂线方程为 又 AD 的中点 在直线上,代入上式,得 故所求点 B 的坐标为(1,±2) A x y B x y D x y( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , , , 、AF DFBF 、