【数学】2018届一轮复习苏教版第36课时曲线与方程学案 4页

第 36 课时 曲线与方程 【学习目标】 1.掌握求曲线与方程的一般步骤； 2.了解求轨迹方程的直接法、定义法、参数法、转移坐标法等方法； 3.理解掌握求两条曲线的交点的方法，进一步学习方程思想和数形结合的方法. 【自主练习】 1.观察表中的方程与曲线，说明它们有怎样的关系？ 方程 y=x x2+y2=1 曲线 . 2. 已知点 ，动点 满足 ，则点 的轨迹方程是 . 3. 已知 ΔABC 中，∠A,∠B,∠C 所对应的边为 a,b,c,且 a>c>b,a,c,b 成等差数列，|AB|=2,则顶 点 C 的轨迹方程 . 4.若两条直线 2x-y+k=0 与 x-y-1=0 的交点在曲线 x2+y2=1 上，则 k 的值是 . 5.已知直线 y=x+m 与曲线 y=x2-x+2 有两个公共点，则 m 的取值范围是 . 6.设双曲线 C： ，直线 l：y=kx-2k+1，当 k 时，直线 l 与 C 只有 一个公共点，当 k 时，直线 l 与 C 没有公共点. 答案：1. 2. 3. 4. 或 5. 6. ， [来源: ] 【典型例题】 例 1. 一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，求动圆圆心 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。 解：圆 即为 ，圆心 x y= ( 2 0) (3 0)A B− ，， ， ( )P x y， 2PA PB x= · P 2 2 14 x y− = 2 6y x= + 2 2 1( 0)4 3 x y y+ = ≠ 2− 1− ( )1,+∞ 1 2  −   1 ,2  +∞  2 2 6 5 0x y x+ + + = 2 2 6 91 0x y x+ − − = M 2 2 6 5 0x y x+ + + = 2 2( 3) 4x y+ + = 1 1( 3,0), 2C r− = x y O x y O x y O 圆 即为 ，圆心 ， ， ,所以点 M 的轨迹是椭圆， 轨迹方程为： 例 2. 设点 A 和 B 为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知 OA⊥OB，OM⊥AB， 求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 解：如图，点 A，B 在抛物线 y2=4px 上， 设 ，OA、OB 的斜率分别为 kOA、kOB． ∴ 由 OA⊥AB，得 ① 依点 A 在 AB 上，得直线 AB 方程 ② 由 OM⊥AB，得直线 OM 方程 ③ 设点 M（x，y），则 x，y 满足②、③两式，将②式两边同时乘以 ， 并利用③式整理得 ④ 由③、④两式得 由①式知，yAyB=﹣16p2 ∴x2+y2﹣4px=0 因为 A、B 是原点以外的两点，所以 x＞0 所以 M 的轨迹是以（2p，0）为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点． 2 2 6 91 0x y x+ − − = 2 2( 3) 100x y− + = 2 2(3,0), 10C r = 1 2MC r= + 2 10MC r= − 1 2 12MC MC∴ + = 2 2 136 27 x y+ = 例 3. 若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于点 A、B，点 M 是 AB 的中点，直线 OM(O 为原 点)的斜率为 ，又 OA 垂直于 OB，求 a,b 的值. 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），M（ ， ）． 由 x+y=1，ax2+by2=1， ∴（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0． ∴ = ， =1﹣ = ． ∴M（ ， ）． ∵kOM= ，∴b= a．① ∵OA⊥OB，∴ • =﹣1． ∴x1x2+y1y2=0． ∵x1x2= ，y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2）， ∴y1y2=1﹣（x1+x2）+x1x2 =1﹣ + = ． ∴ + =0． ∴a+b=2．② 由①②得 a=2（ ﹣1），b=2 （ ﹣1）． ∴所求方程为 2（ ﹣1）x2+2 （ ﹣1）y2=1． 例 4. 设 F（1，0），M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且 。 （I）当点 P 在 y 轴上运动时，求 N 点的轨迹 C 的方程； 2 2 PFPMMPMN ⊥,2= （II）设 是曲线 C 上的三点，且 成 等差数列，当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E（3，0）时，求 B 点的坐标. 解：（1）设 N（x，y），则由 得 P 为 MN 的中点，[来源:Z|xx|k.Com] 所以 又 ，∴ ∵ ， ∴y2=4x（x≠0） （2）由（1）知 F（1，0）为曲线 C 的焦点，由抛物线定义知抛物线上任一点 P0（x0，y0） 到 F 的距离等于其到准线的距离，即 故 ， 又 成等差数列 ∴x1+x3=2x2 ∵直线 AD 的斜率 ∴AD 的中垂线方程为 又 AD 的中点 在直线上，代入上式，得 故所求点 B 的坐标为（1，±2） A x y B x y D x y( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3， ， ， ， ， 、AF DFBF 、