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  • 2021-06-30 发布

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理7-4基本不等式学案

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第4讲 基本不等式 ‎1.基本不等式:≤ ‎(1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0.‎ ‎(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.‎ ‎(3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.‎ ‎2.几个重要的不等式 ‎(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.‎ ‎(2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.‎ ‎(3)≥(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.‎ ‎(4)+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.‎ ‎3.利用基本不等式求最值 已知x≥0,y≥0,则 ‎(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2.(简记:积定和最小)‎ ‎(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是.(简记:和定积最大)‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y=x+的最小值是2.(  )‎ ‎(2)ab≤成立的条件是ab>0.(  )‎ ‎(3)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件.(  )‎ ‎(4)若a>0,则a3+的最小值是2.(  )‎ 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×‎ ‎ (教材习题改编)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为(  )‎ A.80    B.77‎ C.81 D.82‎ 解析:选C.xy≤==81,当且仅当x=y=9时等号成立,故选C.‎ ‎ 若x<0,则x+(  )‎ A.有最小值,且最小值为2‎ B.有最大值,且最大值为2‎ C.有最小值,且最小值为-2‎ D.有最大值,且最大值为-2‎ 解析:选D.因为x<0,所以-x>0,-x+≥2=2,当且仅当x=-1时,等号成立,所以x+≤-2.‎ ‎ 若x>1,则x+的最小值为________.‎ 解析:x+=x-1++1≥4+1=5.‎ 当且仅当x-1=,即x=3时等号成立.‎ 答案:5‎ ‎ (教材习题改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________.‎ 解析:设矩形的长为x m,宽为y m,则x+y=10,‎ 所以S=xy≤=25,当且仅当x=y=5时取等号.‎ 答案:25 m2‎ ‎      利用基本不等式求最值(高频考点) ‎ 利用基本不等式求最值是高考的常考内容,题型主要为选择题、填空题.高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度:‎ ‎(1)求不含等式条件的函数最值;‎ ‎(2)求含有等式条件的函数最值;‎ ‎(3)已知不等式恒成立求参数范围.‎ ‎ [典例引领]‎ 角度一 求不含等式条件的函数最值 ‎ (1)函数f(x)=(x>0)的最大值为________.‎ ‎(2)已知x<,则f(x)=4x-2+的最大值为________.‎ ‎【解析】 (1)因为x>0,则f(x)==≤=,当且仅当x=时等号成立.‎ ‎(2)因为x<,所以5-4x>0,‎ 则f(x)=4x-2+=-+3≤-2+3=1.‎ 当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.‎ 故f(x)=4x-2+的最大值为1.‎ ‎【答案】 (1) (2)1‎ 角度二 求含有等式条件的函数最值 ‎ (1)(2017·高考山东卷)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为________.‎ ‎(2)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值为________.‎ ‎【解析】 (1)由题设可得+=1,因为a>0,b>0,‎ 所以2a+b=(2a+b)=2+++2≥4+2=8.‎ 故2a+b的最小值为8.‎ ‎(2)因为x>0,y>0,‎ 所以8=x+2y+x·2y≤(x+2y)+,‎ 令x+2y=t,则 ‎8≤t+,即t2+4t-32≥0,‎ 解得t≥4或t≤-8,‎ 即x+2y≥4或x+2y≤-8(舍去),‎ 当且仅当x=2y,即x=2,y=1时等号成立.‎ ‎【答案】 (1)8 (2)4‎ 角度三 已知不等式恒成立求参数范围 ‎ 已知不等式(x+y)≥9对任意的正实数x,y恒成立,则正实数a 的最小值为________.‎ ‎【解析】 (x+y)=1+a++≥1+a+2=(+1)2(x,y,a>0),‎ 当且仅当y=x时取等号,‎ 所以(x+y)·的最小值为(+1)2,‎ 于是(+1)2≥9恒成立.‎ 所以a≥4.‎ ‎【答案】 4‎ 利用基本不等式求最值的方法 ‎(1)知和求积的最值:“和为定值,积有最大值”.但应注意以下两点:①具备条件——正数;②验证等号成立.‎ ‎(2)知积求和的最值:“积为定值,和有最小值”,直接应用基本不等式求解,但要注意利用基本不等式求最值的条件.‎ ‎(3)构造不等式求最值:在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用“变量替换”或“常数1”的替换,构造不等式求解.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.(2018·石家庄市教学质量检测(一))已知直线l:ax+by-ab=0(a>0,b>0)经过点(2,3),则a+b的最小值为________.‎ 解析:因为直线l经过点(2,3),所以2a+3b-ab=0,‎ 则+=1,‎ 所以a+b=(a+b)=5++≥5+2.‎ 当且仅当=,‎ 即a=3+,b=2+时等号成立.‎ 答案:5+2 ‎2.(2017·高考天津卷)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为________.‎ 解析:因为ab>0,所以≥==4ab+≥2=4,当且仅当时取等号,故的最小值是4.‎ 答案:4‎ ‎3.当x∈R时,32x-(k+1)3x+2>0恒成立,则k的取值范围是________.‎ 解析:由32x-(k+1)·3x+2>0,解得k+1<3x+.‎ 因为3x+≥2 ),‎ 所以3x+的最小值为2.‎ 又当x∈R时,32x-(k+1)3x+2>0恒成立,‎ 所以当x∈R时,k+1<,‎ 即k+1<2,即k<2-1.‎ 答案:(-∞,2-1)‎ ‎      利用基本不等式解决实际问题 ‎ [典例引领]‎ ‎ 某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.‎ ‎(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?‎ ‎(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损?‎ ‎【解】 (1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为=x+-200≥2-200=200,‎ 当且仅当x=,即x=400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.‎ ‎(2)不获利.设该单位每月获利为S元,则S=100x-y=100x-=-x2+300x-80 000=-(x-300)2-35 000,因为x∈[400,600],所以S∈[-80 000,-40 000].‎ 故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损.‎ ‎(1)利用基本不等式求解实际问题的注意事项 ‎①根据实际问题抽象出目标函数的表达式,再利用基本不等式求得函数的最值.‎ ‎②设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.‎ ‎③解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.‎ ‎④在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.‎ ‎(2)此类问题还常与一元二次函数(如本例(2))、一元二次不等式结合命题,求解关键是构建函数与不等关系,在实际条件下解决.  ‎ ‎ 某公司生产的商品A,当每件售价为5元时,年销售10万件.‎ ‎(1)据市场调查,若价格每提高1元,销量相应减少1万件,要使销售收入不低于原销售收入,该商品的销售价格最多可提高多少元?‎ ‎(2)为了扩大该商品的影响力,公司决定对该商品的生产进行技术革新,将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元,公司拟投入(x2+x)万元作为技改费用,投入万元作为宣传费用.试问:技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时,才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和?‎ 解:(1)设商品的销售价格提高a元,‎ 则(10-a)(5+a)≥50,解得0≤a≤5.‎ 所以商品的价格最多可以提高5元.‎ ‎(2)由题意知,技术革新后的销售收入为mx万元,‎ 若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和,只需满足mx=(x2+x)++50(x>5)即可,‎ 此时m=x++≥2+=,‎ 当且仅当x=,即x=10时,取“=”.‎ 故销售量至少应达到万件,才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和.‎ ‎ 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.‎ ‎ 对于基本不等式,不仅要记住原始形式,‎ 而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等,例如:ab≤≤,≤≤ (a>0,b>0)等,同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.‎ ‎ 对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数y=x+(m>0)的单调性.‎ ‎ 易错防范 ‎(1)使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.‎ ‎(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.                                         ‎ ‎1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(  )‎ A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 C.+> D.+≥2‎ 解析:选D.因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以A错误.对于B,C,当a<0,b<0时,明显错误.‎ 对于D,因为ab>0,‎ 所以+≥2 =2.‎ ‎2.(2018·安徽省六校联考)若正实数x,y满足x+y=2,且≥M恒成立,则M的最大值为(  )‎ A.1  B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:选A.因为正实数x,y满足x+y=2,‎ 所以xy≤==1,‎ 所以≥1;‎ 又≥M恒成立,‎ 所以M≤1,即M的最大值为1.‎ ‎3.一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,则菜园的最大面积为(  )‎ A. B. C. D.L2‎ 解析:选A.设菜园的长为x,宽为y,则x+2y=L,面积S=xy,‎ 因为x+2y≥2.‎ 所以xy≤=.‎ 当且仅当x=2y=,‎ 即x=,y=时,‎ Smax=,故选A.‎ ‎4.(2018·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则+的最小值是(  )‎ A.2 B.2 C.4 D.2 解析:选C.因为lg 2x+lg 8y=lg 2,所以lg(2x·8y)=lg 2,‎ 所以2x+3y=2,所以x+3y=1.‎ 因为x>0,y>0,所以+=(x+3y)=2++≥2+2=4,当且仅当x=3y=时取等号.所以+的最小值为4.故选C.‎ ‎5.不等式x2+x<+对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数x的取值范围是(  )‎ A.(-2,0) B.(-∞,-2)∪(1,+∞)‎ C.(-2,1) D.(-∞,-4)∪(2,+∞)‎ 解析:选C.根据题意,由于不等式x2+x<+对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则x2+x<‎ ,因为+≥2 =2,当且仅当a=b时等号成立,所以x2+x<2,求解此一元二次不等式可知-2-1)的最小值为________.‎ 解析:因为y==x-1+=x+1+-2,x>-1,‎ 所以y≥2-2=0,‎ 当且仅当x=0时,等号成立.‎ 答案:0‎ ‎7.(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.‎ 解析:一年购买次,则总运费与总存储费用之和为×6+4x=4≥8=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.‎ 答案:30‎ ‎8.已知不等式2x+m+>0对一切x∈(1,+∞)恒成立,则实数m的取值范围是________.‎ 解析:不等式2x+m+>0可化为2(x-1)+>-m-2,‎ 因为x>1,所以2(x-1)+≥2=8,‎ 当且仅当x=3时取等号.‎ 因为不等式2x+m+>0对一切x∈(1,+∞)恒成立,‎ 所以-m-2<8.‎ 解得m>-10.‎ 答案:(-10,+∞)‎ ‎9.(1)已知00,所以a-1>0,所以+=+=+≥2=2,当且仅当=和+=1同时成立,即a=b=3时等号成立,所以+的最小值为2,故选A.‎ ‎2.已知x>0,y>0,2x+y=1,若4x2+y2+-m<0恒成立,则m的取值范围是(  )‎ A.(-1,0)∪ B. C. D. 解析:选B.4x2+y2+-m<0恒成立,即m>4x2+y2+恒成立.因为x>0,y>0,2x+y=1,所以1=2x+y≥2,所以0<≤(当且仅当2x=y=时,等号成立).因为4x2+y2+=(2x+y)2-4xy+=1-4xy+=-4+,所以4x2+y2+的最大值为,故m>,选B.‎ ‎3.若a2-ab+b2=1,a,b是实数,则a+b的最大值是________.‎ 解析:由a2-ab+b2=1,‎ 可得(a+b)2=1+3ab≤1+3×,‎ 则(a+b)2≤1,-2≤a+b≤2,所以a+b的最大值是2.‎ 答案:2‎ ‎4.若对x,y∈[1,2],xy=2,总有不等式2-x≥成立,则实数a的取值范围是________.‎ 解析:由题意知a≤(2-x)(4-y)恒成立,则只需a≤[(2-x)(4-y)]min,‎ ‎(2-x)(4-y)=8-4x-2y+xy ‎=8-(4x+2y)+2=10-(4x+2y)‎ ‎=10-.‎ 令f(x)=10-,x∈[1,2],‎ 则f′(x)=-=,f′(x)≤0,‎ 故f(x)在x∈[1,2]是减函数,‎ 所以当x=2时f(x)取最小值0,‎ 即(2-x)(4-y)的最小值为0,所以a≤0.‎ 答案:a≤0‎ ‎5.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求 ‎(1)xy的最小值;‎ ‎(2)x+y的最小值.‎ 解:(1)由2x+8y-xy=0,‎ 得+=1,‎ 又x>0,y>0,则1=+≥2 =.‎ 得xy≥64,‎ 当且仅当x=16,y=4时,等号成立.‎ 所以xy的最小值为64.‎ ‎(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,‎ 则x+y=·(x+y)‎ ‎=10++≥10+2 =18.‎ 当且仅当x=12且y=6时等号成立,‎ 所以x+y的最小值为18.‎ ‎6.如图,某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树,已知角A为120°,AB,AC的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.‎ ‎(1)若围墙AP,AQ总长度为200米,如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?‎ ‎(2)已知AP段围墙高1米,AQ段围墙高1.5米,造价均为每平方米100元.若围围墙用了20 000元,问如何围可使竹篱笆用料最省?‎ 解:设AP=x米,AQ=y米.‎ ‎(1)则x+y=200,△APQ的面积S=xy·sin 120°=xy.所以S≤=2 500.‎ 当且仅当即x=y=100时取“=”.‎ 即AP与AQ的长度都为100米时,可使得三角形地块APQ的面积最大.‎ ‎(2)由题意得100×(x+1.5y)=20 000,即x+1.5y=200.要使竹篱笆用料最省,只需其长度PQ最短,所以PQ2=x2+y2-2xycos 120°=x2+y2+xy=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40 000=1.75+,当y=时,PQ有最小值,此时x=.‎ 即AP长为米,AQ长为米时,可使竹篱笆用料最省.‎