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- 2021-06-30 发布
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第4讲 基本不等式
1.基本不等式:≤
(1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
(3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(3)≥(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(4)+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0,y≥0,则
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2.(简记:积定和最小)
(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是.(简记:和定积最大)
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=x+的最小值是2.( )
(2)ab≤成立的条件是ab>0.( )
(3)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件.( )
(4)若a>0,则a3+的最小值是2.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
(教材习题改编)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为( )
A.80 B.77
C.81 D.82
解析:选C.xy≤==81,当且仅当x=y=9时等号成立,故选C.
若x<0,则x+( )
A.有最小值,且最小值为2
B.有最大值,且最大值为2
C.有最小值,且最小值为-2
D.有最大值,且最大值为-2
解析:选D.因为x<0,所以-x>0,-x+≥2=2,当且仅当x=-1时,等号成立,所以x+≤-2.
若x>1,则x+的最小值为________.
解析:x+=x-1++1≥4+1=5.
当且仅当x-1=,即x=3时等号成立.
答案:5
(教材习题改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是________.
解析:设矩形的长为x m,宽为y m,则x+y=10,
所以S=xy≤=25,当且仅当x=y=5时取等号.
答案:25 m2
利用基本不等式求最值(高频考点)
利用基本不等式求最值是高考的常考内容,题型主要为选择题、填空题.高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度:
(1)求不含等式条件的函数最值;
(2)求含有等式条件的函数最值;
(3)已知不等式恒成立求参数范围.
[典例引领]
角度一 求不含等式条件的函数最值
(1)函数f(x)=(x>0)的最大值为________.
(2)已知x<,则f(x)=4x-2+的最大值为________.
【解析】 (1)因为x>0,则f(x)==≤=,当且仅当x=时等号成立.
(2)因为x<,所以5-4x>0,
则f(x)=4x-2+=-+3≤-2+3=1.
当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.
故f(x)=4x-2+的最大值为1.
【答案】 (1) (2)1
角度二 求含有等式条件的函数最值
(1)(2017·高考山东卷)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为________.
(2)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值为________.
【解析】 (1)由题设可得+=1,因为a>0,b>0,
所以2a+b=(2a+b)=2+++2≥4+2=8.
故2a+b的最小值为8.
(2)因为x>0,y>0,
所以8=x+2y+x·2y≤(x+2y)+,
令x+2y=t,则
8≤t+,即t2+4t-32≥0,
解得t≥4或t≤-8,
即x+2y≥4或x+2y≤-8(舍去),
当且仅当x=2y,即x=2,y=1时等号成立.
【答案】 (1)8 (2)4
角度三 已知不等式恒成立求参数范围
已知不等式(x+y)≥9对任意的正实数x,y恒成立,则正实数a
的最小值为________.
【解析】 (x+y)=1+a++≥1+a+2=(+1)2(x,y,a>0),
当且仅当y=x时取等号,
所以(x+y)·的最小值为(+1)2,
于是(+1)2≥9恒成立.
所以a≥4.
【答案】 4
利用基本不等式求最值的方法
(1)知和求积的最值:“和为定值,积有最大值”.但应注意以下两点:①具备条件——正数;②验证等号成立.
(2)知积求和的最值:“积为定值,和有最小值”,直接应用基本不等式求解,但要注意利用基本不等式求最值的条件.
(3)构造不等式求最值:在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用“变量替换”或“常数1”的替换,构造不等式求解.
[通关练习]
1.(2018·石家庄市教学质量检测(一))已知直线l:ax+by-ab=0(a>0,b>0)经过点(2,3),则a+b的最小值为________.
解析:因为直线l经过点(2,3),所以2a+3b-ab=0,
则+=1,
所以a+b=(a+b)=5++≥5+2.
当且仅当=,
即a=3+,b=2+时等号成立.
答案:5+2
2.(2017·高考天津卷)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为________.
解析:因为ab>0,所以≥==4ab+≥2=4,当且仅当时取等号,故的最小值是4.
答案:4
3.当x∈R时,32x-(k+1)3x+2>0恒成立,则k的取值范围是________.
解析:由32x-(k+1)·3x+2>0,解得k+1<3x+.
因为3x+≥2
),
所以3x+的最小值为2.
又当x∈R时,32x-(k+1)3x+2>0恒成立,
所以当x∈R时,k+1<,
即k+1<2,即k<2-1.
答案:(-∞,2-1)
利用基本不等式解决实际问题
[典例引领]
某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损?
【解】 (1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为=x+-200≥2-200=200,
当且仅当x=,即x=400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.
(2)不获利.设该单位每月获利为S元,则S=100x-y=100x-=-x2+300x-80 000=-(x-300)2-35 000,因为x∈[400,600],所以S∈[-80 000,-40 000].
故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损.
(1)利用基本不等式求解实际问题的注意事项
①根据实际问题抽象出目标函数的表达式,再利用基本不等式求得函数的最值.
②设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
③解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
④在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.
(2)此类问题还常与一元二次函数(如本例(2))、一元二次不等式结合命题,求解关键是构建函数与不等关系,在实际条件下解决.
某公司生产的商品A,当每件售价为5元时,年销售10万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销量相应减少1万件,要使销售收入不低于原销售收入,该商品的销售价格最多可提高多少元?
(2)为了扩大该商品的影响力,公司决定对该商品的生产进行技术革新,将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元,公司拟投入(x2+x)万元作为技改费用,投入万元作为宣传费用.试问:技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时,才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和?
解:(1)设商品的销售价格提高a元,
则(10-a)(5+a)≥50,解得0≤a≤5.
所以商品的价格最多可以提高5元.
(2)由题意知,技术革新后的销售收入为mx万元,
若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和,只需满足mx=(x2+x)++50(x>5)即可,
此时m=x++≥2+=,
当且仅当x=,即x=10时,取“=”.
故销售量至少应达到万件,才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和.
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点.
对于基本不等式,不仅要记住原始形式,
而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等,例如:ab≤≤,≤≤ (a>0,b>0)等,同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
对使用基本不等式时等号取不到的情况,可考虑使用函数y=x+(m>0)的单调性.
易错防范
(1)使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )
A.a2+b2>2ab
B.a+b≥2
C.+>
D.+≥2
解析:选D.因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以A错误.对于B,C,当a<0,b<0时,明显错误.
对于D,因为ab>0,
所以+≥2 =2.
2.(2018·安徽省六校联考)若正实数x,y满足x+y=2,且≥M恒成立,则M的最大值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选A.因为正实数x,y满足x+y=2,
所以xy≤==1,
所以≥1;
又≥M恒成立,
所以M≤1,即M的最大值为1.
3.一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,则菜园的最大面积为( )
A. B.
C. D.L2
解析:选A.设菜园的长为x,宽为y,则x+2y=L,面积S=xy,
因为x+2y≥2.
所以xy≤=.
当且仅当x=2y=,
即x=,y=时,
Smax=,故选A.
4.(2018·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则+的最小值是( )
A.2 B.2
C.4 D.2
解析:选C.因为lg 2x+lg 8y=lg 2,所以lg(2x·8y)=lg 2,
所以2x+3y=2,所以x+3y=1.
因为x>0,y>0,所以+=(x+3y)=2++≥2+2=4,当且仅当x=3y=时取等号.所以+的最小值为4.故选C.
5.不等式x2+x<+对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数x的取值范围是( )
A.(-2,0) B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-2,1) D.(-∞,-4)∪(2,+∞)
解析:选C.根据题意,由于不等式x2+x<+对任意a,b∈(0,+∞)恒成立,则x2+x<
,因为+≥2 =2,当且仅当a=b时等号成立,所以x2+x<2,求解此一元二次不等式可知-2-1)的最小值为________.
解析:因为y==x-1+=x+1+-2,x>-1,
所以y≥2-2=0,
当且仅当x=0时,等号成立.
答案:0
7.(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.
解析:一年购买次,则总运费与总存储费用之和为×6+4x=4≥8=240,当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
答案:30
8.已知不等式2x+m+>0对一切x∈(1,+∞)恒成立,则实数m的取值范围是________.
解析:不等式2x+m+>0可化为2(x-1)+>-m-2,
因为x>1,所以2(x-1)+≥2=8,
当且仅当x=3时取等号.
因为不等式2x+m+>0对一切x∈(1,+∞)恒成立,
所以-m-2<8.
解得m>-10.
答案:(-10,+∞)
9.(1)已知00,所以a-1>0,所以+=+=+≥2=2,当且仅当=和+=1同时成立,即a=b=3时等号成立,所以+的最小值为2,故选A.
2.已知x>0,y>0,2x+y=1,若4x2+y2+-m<0恒成立,则m的取值范围是( )
A.(-1,0)∪ B.
C. D.
解析:选B.4x2+y2+-m<0恒成立,即m>4x2+y2+恒成立.因为x>0,y>0,2x+y=1,所以1=2x+y≥2,所以0<≤(当且仅当2x=y=时,等号成立).因为4x2+y2+=(2x+y)2-4xy+=1-4xy+=-4+,所以4x2+y2+的最大值为,故m>,选B.
3.若a2-ab+b2=1,a,b是实数,则a+b的最大值是________.
解析:由a2-ab+b2=1,
可得(a+b)2=1+3ab≤1+3×,
则(a+b)2≤1,-2≤a+b≤2,所以a+b的最大值是2.
答案:2
4.若对x,y∈[1,2],xy=2,总有不等式2-x≥成立,则实数a的取值范围是________.
解析:由题意知a≤(2-x)(4-y)恒成立,则只需a≤[(2-x)(4-y)]min,
(2-x)(4-y)=8-4x-2y+xy
=8-(4x+2y)+2=10-(4x+2y)
=10-.
令f(x)=10-,x∈[1,2],
则f′(x)=-=,f′(x)≤0,
故f(x)在x∈[1,2]是减函数,
所以当x=2时f(x)取最小值0,
即(2-x)(4-y)的最小值为0,所以a≤0.
答案:a≤0
5.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求
(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
解:(1)由2x+8y-xy=0,
得+=1,
又x>0,y>0,则1=+≥2 =.
得xy≥64,
当且仅当x=16,y=4时,等号成立.
所以xy的最小值为64.
(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,
则x+y=·(x+y)
=10++≥10+2 =18.
当且仅当x=12且y=6时等号成立,
所以x+y的最小值为18.
6.如图,某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树,已知角A为120°,AB,AC的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.
(1)若围墙AP,AQ总长度为200米,如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?
(2)已知AP段围墙高1米,AQ段围墙高1.5米,造价均为每平方米100元.若围围墙用了20 000元,问如何围可使竹篱笆用料最省?
解:设AP=x米,AQ=y米.
(1)则x+y=200,△APQ的面积S=xy·sin 120°=xy.所以S≤=2 500.
当且仅当即x=y=100时取“=”.
即AP与AQ的长度都为100米时,可使得三角形地块APQ的面积最大.
(2)由题意得100×(x+1.5y)=20 000,即x+1.5y=200.要使竹篱笆用料最省,只需其长度PQ最短,所以PQ2=x2+y2-2xycos 120°=x2+y2+xy=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40 000=1.75+,当y=时,PQ有最小值,此时x=.
即AP长为米,AQ长为米时,可使竹篱笆用料最省.