高三数学总复习学案75 9页

学案75　坐标系与参数方程 导学目标：1.了解坐标系的有关概念，理解简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.理解直线、圆及椭圆的参数方程，会进行参数方程与普通方程的互化，并能进行简单应用．‎ 自主梳理 ‎1．极坐标系的概念 在平面上取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做________；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个____________．‎ 设M是平面上任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的__________，记作(ρ，θ)．‎ ‎2．极坐标和直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝__________，y＝__________.另一种关系为：ρ2＝__________，tan θ＝______________.‎ ‎3．简单曲线的极坐标方程 ‎(1)一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线上，那么方程φ(ρ，θ)＝0叫做曲线的____________．‎ ‎(2)常见曲线的极坐标方程 ‎①圆的极坐标方程 ‎____________表示圆心在(r,0)半径为|r|的圆；‎ ‎____________表示圆心在(r，)半径为|r|的圆；‎ ‎________表示圆心在极点，半径为|r|的圆．‎ ‎②直线的极坐标方程 ‎____________表示过极点且与极轴成α角的直线；‎ ‎____________表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；‎ ‎____________表示过(b，)且平行于极轴的直线；‎ ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)表示过(ρ0，θ0)且与极轴成α角的直线方程．‎ ‎4．常见曲线的参数方程 ‎(1)直线的参数方程 若直线过(x0，y0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为这是直线的参数方程，其中参数l有明显的几何意义．‎ ‎(2)圆的参数方程 若圆心在点M(a，b)，半径为R，则圆的参数方程为0≤α<2π.‎ ‎(3)椭圆的参数方程 中心在坐标原点的椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)．‎ ‎(4)抛物线的参数方程 抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为 自我检测 ‎1．(2010·北京)极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是(　　)‎ A．两个圆 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线 ‎2．(2010·湖南)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(　　)‎ A．圆、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．直线、直线 ‎3．(2010·重庆)直线y＝x＋与圆心为D的圆(θ∈[0,2π))交于A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为(　　)‎ A.π B.π C.π D.π ‎4．(2011·广州一模)在极坐标系中，直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．‎ ‎5．(2010·陕西)已知圆C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________________.‎ 探究点一　求曲线的极坐标方程 例1 在极坐标系中，以(，)为圆心，为半径的圆的方程为________．‎ 变式迁移1 如图，求经过点A(a,0)(a>0)，且与极轴垂直的直线l的极坐标方程．‎ 探究点二　极坐标方程与直角坐标方程的互化 例2 (2009·辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M、N分别为C与x轴，y轴的交点．‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ 变式迁移2 (2010·东北三校第一次联考)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin(θ－)＝，‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ 探究点三　参数方程与普通方程的互化 例3 将下列参数方程化为普通方程：‎ ‎(1)；(2)；(3).‎ 变式迁移3 化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图．‎ ‎(1)(θ为参数)；‎ ‎(2) (t为参数)．‎ 探究点四　参数方程与极坐标的综合应用 例4 求圆ρ＝3cos θ被直线(t是参数)截得的弦长．‎ 变式迁移4 (2011·课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)‎ M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2.‎ ‎(1)求C2的方程；‎ ‎(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.‎ 本节内容要注意以下两点：一、简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出．同直角坐标方程一样，由于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．在没有充分理解极坐标的前提下，可先化成直角坐标解决问题．二、在普通方程中，有些F(x，y)＝0不易得到，这时可借助于一个中间变量(即参数)来找到变量x，y之间的关系．同时，在直角坐标系中，很多比较复杂的计算(如圆锥曲线)，若借助于参数方程来解决，将会大大简化计算量．将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x，y(它们都是参数的函数)的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元等．同极坐标方程一样，在没有充分理解参数方程的前提下，可先化成直角坐标方程再去解决相关问题．‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．在极坐标系中，与点(3，－)关于极轴所在直线对称的点的极坐标是(　　)‎ A．(3，π) B．(3，) C．(3，π) D．(3，π)‎ ‎2．曲线的极坐标方程为ρ＝2cos2－1的直角坐标方程为(　　)‎ A．x2＋(y－)2＝ B．(x－)2＋y2＝ C．x2＋y2＝ D．x2＋y2＝1‎ ‎3．(2010·湛江模拟)在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sin θ，过点(4，)作曲线C的切线，则切线长为(　　)‎ A．4 B. C．2 D．2 ‎4．(2010·佛山模拟)已知动圆方程x2＋y2－xsin 2θ＋2·ysin(θ＋)＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹是(　　)‎ A．椭圆 B．椭圆的一部分 C．抛物线 D．抛物线的一部分 ‎5．(2010·安徽)设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．(2010·天津)已知圆C的圆心是直线(t为参数)与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝‎ ‎0相切，则圆C的方程为________．‎ ‎7．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．‎ ‎8．(2010·广东深圳高级中学一模)在直角坐标系中圆C的参数方程为(α为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程．‎ ‎10．(12分)(2010·福建)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.‎ ‎11．(14分)(2010·课标全国)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．‎ ‎(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；‎ ‎(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．‎ 学案75　坐标系与参数方程 自主梳理 ‎1．极轴　极坐标系　极径　极角　极坐标　2.ρcos θ　ρsin θ　x2＋y2　(x≠0)　3.(1)极坐标方程　(2)①ρ＝2rcos θ　ρ＝2rsin θ　ρ＝r　②θ＝α(ρ∈R)　ρcos θ＝a　ρsin θ＝b 自我检测 ‎1．C　2.A　3.C ‎4．4 ‎5．(－1,1)，(1,1)‎ 解析　∵y＝ρsin θ，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为y＝1.‎ 由得x2＋(y－1)2＝1.‎ 由得或 ‎∴直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)．‎ 课堂活动区 例1 解题导引　求曲线的极坐标方程的步骤：①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略．‎ 答案　ρ＝asin θ，0≤θ<π 解析　圆的直径为a，设圆心为C，在圆上任取一点A(ρ，θ)，‎ 则∠AOC＝－θ或θ－，‎ 即∠AOC＝|θ－|.‎ 又ρ＝acos∠AOC＝acos|θ－|＝asin θ.‎ ‎∴圆的方程是ρ＝asin θ，0≤θ<π.‎ 变式迁移1 解　设P(ρ，θ)是直线l上任意一点，OPcos θ＝OA，‎ 即ρcos θ＝a，‎ 故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝a.‎ 例2 解题导引　直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．‎ 解　(1)由ρcos＝1得 ρ＝1.‎ 从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，‎ 即x＋y＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，所以N.‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2,0)．‎ N点的直角坐标为(0，)．‎ 所以P点的直角坐标为，‎ 则P点的极坐标为，‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．‎ 变式迁移2 解　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0.‎ 直线l：ρsin(θ－)＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，‎ 即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1，)．‎ 例3 解题导引　参数方程通过消去参数化为普通方程．对于(1)直接消去参数k有困难，可通过两式相除，先降低k的次数，再运用代入法消去k；对于(2)可运用恒等式(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ消去θ；对于(3)可运用恒等式()2＋()2＝1消去t.‎ 另外，参数方程化为普通方程时，不仅要消去参数，还应注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．‎ 解　(1)两式相除，得k＝.将k＝代入，得x＝.‎ 化简，得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．‎ ‎(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，‎ 得y2＝2－x.‎ 又x＝1－sin 2θ∈[0,2]，‎ 得所求的普通方程是y2＝2－x，x∈[0,2]．‎ ‎(3)由()2＋()2＝1，‎ 得x2＋4y2＝1.‎ 又x＝≠－1，‎ 得所求的普通方程是x2＋4y2＝1(x≠－1)．‎ 变式迁移3 解　(1)由y2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x，‎ 得y2＝2x＋1.‎ ‎∵－≤sin 2θ≤，∴－≤x≤.‎ ‎∵－≤sin θ＋cos θ≤，∴－≤y≤.‎ 故所求普通方程为 y2＝2 (－≤x≤，－≤y≤)，图形为抛物线的一部分．‎ 图形如图甲所示．‎ ‎(2)由x2＋y2＝2＋2＝1及x＝≠0，xy＝≥0知，所求轨迹为两段圆弧x2＋y2＝1 (03，∴有2个点．]‎ ‎6．(x＋1)2＋y2＝2‎ 解析　直线(t为参数)与x轴的交点为(－1,0)，故圆C的圆心为(－1,0)．又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，∴圆C的半径为r＝＝，∴圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.‎ ‎7．(1，)‎ 解析　将两曲线的参数方程化为一般方程分别为＋y2＝1(0≤y≤1，－0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以 又直线l过点P(3，)，‎ 故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.(12分)‎ 方法二　(1)同方法一．‎ ‎(2)因为圆C的圆心为点(0，)，半径r＝，直线l的普通方程为y＝－x＋3＋.(8分)‎ 由得x2－3x＋2＝0.‎ 解得或(10分)‎ 不妨设A(1,2＋)，B(2,1＋)，又点P的坐标为(3，)，‎ 故|PA|＋|PB|＝＋＝3.(12分)‎ ‎11．解　(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1，联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，(，－)．(7分)‎ ‎(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.‎ A点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，‎ 故当α变化时，P点轨迹的参数方程为 (α为参数)．(9分)‎ P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝.(12分)‎ 故P点轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆．‎ ‎(14分)‎