高三数学总复习学案76 9页

学案76　不等式选讲 ‎(一)绝对值不等式 导学目标：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|，(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.‎ 自主梳理 ‎1．含________________的不等式叫做绝对值不等式．‎ ‎2．解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：‎ ‎(1)分段讨论：‎ 根据|f(x)|＝去掉绝对值符号．‎ ‎(2)利用等价不等式：‎ ‎|f(x)|≤g(x)⇔－g(x)≤f(x)≤g(x)；‎ ‎|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≤－g(x)或f(x)≥g(x)．‎ ‎(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝对值符号．‎ ‎3．形如|x－a|＋|x－b|≥c (a≠b)与|x－a|＋|x－b|≤c (a≠b)的绝对值不等式的解法主要有三种：‎ ‎(1)运用绝对值的几何意义；‎ ‎(2)____________________；‎ ‎(3)构造分段函数，结合函数图象求解．‎ ‎4．(1)定理：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当____________时，等号成立．‎ ‎(2)重要绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.‎ 使用时(特别是求最值时)要注意等号成立的条件，即 ‎|a＋b|＝|a|＋|b|⇔ab≥0；‎ ‎|a－b|＝|a|＋|b|⇔ab≤0；‎ ‎|a|－|b|＝|a＋b|⇔b(a＋b)≤0；‎ ‎|a|－|b|＝|a－b|⇔b(a－b)≥0；‎ 注：|a|－|b|＝|a＋b|⇔|a|＝|a＋b|＋|b|⇔|(a＋b)－b|＝|a＋b|＋|b|⇔b(a＋b)≤0.‎ 同理可得|a|－|b|＝|a－b|⇔b(a－b)≥0.‎ 自我检测 ‎1．(2010·江西)不等式＞的解集是(　　)‎ A．(0,2) B．(－∞，0)‎ C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ ‎2．(2011·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)}，则集合A∩B＝________.‎ ‎3．(2011·潍坊模拟)已知不等式|x＋2|＋|x－3|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a<5 B．a≤5‎ C．a>5 D．a≥5‎ ‎4．若不等式|x＋1|＋|x－2|7＋x；‎ ‎(3)|x－1|＋|2x＋1|<2.‎ 变式迁移1 (2011·江苏)解不等式x＋|2x－1|<3.‎ 探究点二　绝对值不等式的恒成立问题 例2　(2011·商丘模拟)已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.‎ ‎(1)若不等式有解；‎ ‎(2)若不等式解集为R；‎ ‎(3)若不等式解集为∅.‎ 分别求出实数m的取值范围．‎ 变式迁移2　设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若f(x)>a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．‎ 探究点三　绝对值三角不等式定理的应用 例3　“|x－A|<，且|y－A|<”是“|x－y|<ε”(x，y，A，ε∈R)的(　　)‎ A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式迁移3　(1)求函数y＝|x＋2|－|x－2|的最大值；‎ ‎(2)求函数y＝|x－3|＋|x＋2|的最小值．‎ 转化与化归思想的应用 例　(10分)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a (－1≤x≤1)，‎ ‎(1)若|a|≤1，求证：|f(x)|≤；(2)求a的值，使函数f(x)有最大值.‎ 多角度审题　第(1)问|f(x)|≤⇔－≤f(x)≤，因此证明方法有两种，一是利用放缩法直接证出|f(x)|≤；二是证明－≤f(x)≤亦可．第(2)问实质上是已知f(x)的最大值为，求a的值．由于x∈[－1,1]，f(x)是关于x的二次函数，那么就需判断对称轴对应的x值在不在区间[－1,1]上．‎ ‎【答题模板】‎ 证明　(1)方法一　∵－1≤x≤1，∴|x|≤1.又∵|a|≤1，‎ ‎∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|‎ ‎＝－2＋≤.[3分]‎ ‎∴若|a|≤1，则|f(x)|≤.[5分]‎ 方法二　设g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x.‎ ‎∵－1≤x≤1，‎ ‎∴当x＝±1，‎ 即x2－1＝0时，|f(x)|＝|g(a)|＝1≤；[1分]‎ 当－12 B．|a＋b|＋|a－b|<2‎ C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小 ‎3．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－‎3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)‎ C．[1,2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)‎ ‎4．若不等式|8x＋9|<7和不等式ax2＋bx>2的解集相等，则实数a、b的值分别为(　　)‎ A．a＝－8，b＝－10 B．a＝－4，b＝－9‎ C．a＝－1，b＝9 D．a＝－1，b＝2‎ ‎5．若关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－‎2a－1在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a<－1或a>3 B．－13，则<.其中所有正确命题的序号是________________．‎ ‎7．(2010·陕西)不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________．‎ ‎8．(2011·深圳模拟)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是_____________________________________________________________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)(2010·福建)已知函数f(x)＝|x－a|.‎ ‎(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎10．(12分)(2009·辽宁)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.‎ ‎(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；‎ ‎(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．‎ ‎11．(14分)对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，试求实数x的取值范围．‎ 学案76　不等式选讲 ‎(一)绝对值不等式 自主梳理 ‎1．绝对值符号　3.(2)零点分区间讨论法 ‎4．(1)(a－b)(b－c)≥0‎ 自我检测 ‎1．A　[∵＞，∴＜0，∴0＜x＜2.]‎ ‎2．{x|－2≤x≤5}‎ 解析　|x＋3|＋|x－4|≤9，‎ 当x<－3时，－x－3－(x－4)≤9，即－4≤x<－3；‎ 当－3≤x≤4时，x＋3－(x－4)＝7≤9恒成立；‎ 当x>4时，x＋3＋x－4≤9，即40，又∵x<0，∴x不存在；‎ 当0≤x<时，原不等式可化为－2x＋10，‎ 又∵0≤x<，∴07＋x，‎ 可得2x＋5>7＋x或2x＋5<－(7＋x)，‎ 整理得x>2，或x<－4.‎ ‎∴原不等式的解集是{x|x<－4，或x>2}．‎ ‎(3)由题意x＝1时，|x－1|＝0，x＝－时，2x＋1＝0(以下分类讨论)．‎ 所以①当x<－时，原不等式等价于得－1时，原不等式等价于得x无解．‎ 由①②③得原不等式的解集为{x|－m恒成立，须有[f(x)]min>m；‎ ‎(3)不等式的解集为R，即不等式恒成立；‎ ‎(4)不等式的解集为∅，即不等式无解．‎ 解　因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)、B(－3)距离的差．‎ 即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.‎ 易知(|PA|－|PB|)max＝1，‎ ‎(|PA|－|PB|)min＝－1.‎ 即|x＋2|－|x＋3|∈[－1,1]．‎ ‎(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1.‎ ‎(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m小于|x＋2|－|x＋3|的最小值即可，所以m<－1.‎ ‎(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1.‎ 变式迁移2　解　由|x－1|＋|x－2|的几何意义，即数轴上的点x到数轴上的点1,2的距离之和知，|x－1|＋|x－2|≥1，要使|x－1|＋|x－2|>a恒成立，只须1>a.‎ 即实数a的取值范围为(－∞，1)．‎ 例3　解题导引　对绝对值三角不等式 ‎|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.‎ ‎(1)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；‎ 当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|.‎ ‎(2)该定理可以推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推证．‎ ‎(3)利用“＝”成立的条件可求函数的最值．‎ A　[∵|x－y|＝|x－A－(y－A)|，‎ ‎∴由三角不等式定理 ‎|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|‎ 得：|x－y|≤|x－A|＋|y－A|<＋＝ε.‎ 反过来由|x－y|<ε，得不出|x－A|<且|y－A|<，‎ 故选A.]‎ 变式迁移3　解　(1)|x＋2|－|x－2|‎ ‎≤|(x＋2)－(x－2)|＝4，‎ 当x>2时，“＝”成立．‎ 故函数y＝|x＋2|－|x－2|的最大值为4.‎ ‎(2)|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5.‎ 当－2≤x≤3时，取“＝”．‎ 故y＝|x－3|＋|x＋2|的最小值为5.‎ 课后练习区 ‎1．A　[∵|x2－x|<2，∴－20 (b<0时同理)．‎ ‎(1)当－13，∴<，∴<，即||<.‎ 故①、②、③都正确．‎ ‎7．{x|x≥1}‎ 解析　原不等式可化为：‎ 或 或 ‎∴x∈∅或1≤x<2或x≥2.∴不等式的解集为{x|x≥1}．‎ ‎8．(－∞，0)∪{2}‎ 解析　由|x＋1|＋|x－3|的几何意义知，‎ ‎|x＋1|＋|x－3|∈[4，＋∞)，∴a＋≤4.‎ 当a>0时，a＋≥4，当且仅当a＝2时，取等号，‎ 当a<0，显然符合题意．‎ ‎9．解　方法一　(1)由f(x)≤3‎ 得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.(3分)‎ 又已知不等式f(x)≤3的解集为 ‎{x|－1≤x≤5}，‎ 所以解得a＝2.(6分)‎ ‎(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，‎ 于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|‎ ‎＝(8分)‎ 所以当x<－3时，g(x)>5；‎ 当－3≤x≤2时，g(x)＝5；‎ 当x>2时，g(x)>5.‎ 综上可得，g(x)的最小值为5.(10分)‎ 从而若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)min≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．(12分)‎ 方法二　(1)同方法一．(6分)‎ ‎(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|.‎ 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.‎ 由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)得，‎ g(x)的最小值为5.(10分)‎ 从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，‎ 即g(x)min≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．(12分)‎ ‎10．解　(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.‎ 由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3.‎ ‎①当x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3，即－2x≥3.‎ 不等式组的解集为.(2分)‎ ‎②当－11时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3.‎ 不等式组的解集为.‎ 综上得，f(x)≥3的解集为∪.(6分)‎ ‎(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件．‎ 若a<1，f(x)＝(8分)‎ f(x)的最小值为1－a.(9分)‎ 若a>1，f(x)＝(11分)‎ f(x)的最小值为a－1.‎ 所以∀x∈R.f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(12分)‎ ‎11．解　由题知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立．‎ 故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．‎ ‎(2分)‎ ‎∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，当且仅当(a＋b)(a－b)≥0时取等号，‎ ‎∴的最小值等于2.(6分)‎ ‎∴x的取值范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解．‎ 解不等式得≤x≤.(14分)‎