高三数学总复习学案18 9页

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  • 2021-06-30 发布

高三数学总复习学案18

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学案18 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 导学目标: 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x.‎ 自主梳理 ‎1.同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系:____________________.‎ ‎(2)商数关系:______________________________.‎ ‎2.诱导公式 ‎(1)sin(α+2kπ)=________,cos(α+2kπ)=__________,tan(α+2kπ)=__________,k∈Z.‎ ‎(2)sin(π+α)=________,cos(π+α)=________,tan(π+α)=________.‎ ‎(3)sin(-α)=________,cos(-α)=__________,tan(-α)=________.‎ ‎(4)sin(π-α)=__________,cos(π-α)=__________,tan(π-α)=________.‎ ‎(5)sin=________,cos=________.‎ ‎(6)sin=__________,cos=____________________________________.‎ ‎3.诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般步骤为:‎ 上述过程体现了化归的思想方法.‎ 自我检测 ‎1.(2010·全国Ⅰ)cos 300°等于 (  )‎ A.- B.- C. D. ‎2.(2009·陕西)若3sin α+cos α=0,则的值为 (  )‎ A. B. C. D.-2‎ ‎3.(2010·福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角,tan α=,则sin α等于(  )‎ A. B. C.- D.- ‎4.cos(-π)-sin(-π)的值是 (  )‎ A. B.- C.0 D. ‎5.(2011·清远月考)已知cos(-α)=,则sin(α-)=________.‎ 探究点一 利用同角三角函数基本关系式化简、求值 例1 已知-0,‎ 即sin x-cos x<0.‎ 则sin x-cos x ‎=- ‎=-=-.‎ ‎(1)sin2x-cos2x=(sin x+cos x)(sin x-cos x)‎ ‎=×=-.‎ ‎(2)由,‎ 得,则tan x=-.‎ 即==.‎ 变式迁移1 解 ∵sin(3π+α)=2sin,‎ ‎∴-sin α=-2cos α.‎ ‎∴sin α=2cos α,即tan α=2.‎ 方法一 (直接代入法):‎ ‎(1)原式==-.‎ ‎(2)原式===.‎ 方法二 (同除转化法):‎ ‎(1)原式===-.‎ ‎(2)原式=sin2α+2sin αcos α ‎===.‎ 例2 解题导引 三角诱导公式记忆有一定规律:的本质是:奇变偶不变(对k而言,指k取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把α看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成2kπ+α,0≤α<2π;(2)转化为锐角三角函数.‎ 解 (1)∵sin=-,α∈(0,π),‎ ‎∴cos α=-,sin α=.‎ ‎∴==-.‎ ‎(2)∵cos α=-,sin α=,‎ ‎∴sin 2α=-,cos 2α=-,‎ cos=-cos 2α+sin 2α=-.‎ 变式迁移2  解析 ∵f(α)= ‎===,‎ ‎∴f= ‎===.‎ 例3 解题导引 先利用诱导公式化简已知条件,再利用平方关系求得cos A.求角时,一般先求出该角的某一三角函数值,再确定该角的范围,最后求角.诱导公式在三角形中常用结论有:A+B=π-C;++=.‎ 解 由已知得 ‎①2+②2得2cos‎2A=1,即cos A=±.‎ ‎(1)当cos A=时,cos B=,‎ 又A、B是三角形的内角,‎ ‎∴A=,B=,∴C=π-(A+B)=π.‎ ‎(2)当cos A=-时,cos B=-.‎ 又A、B是三角形的内角,‎ ‎∴A=π,B=π,不合题意.‎ 综上知,A=,B=,C=π.‎ 变式迁移3 解 (1)∵sin A+cos A=,①‎ ‎∴两边平方得1+2sin Acos A=,‎ ‎∴sin A·cos A=-.‎ ‎(2)由(1)sin A·cos A=-<0,且00,cos A<0,∴sin A-cos A>0,‎ ‎∴sin A-cos A=,②‎ ‎∴由①,②得sin A=,cos A=-,‎ ‎∴tan A==-.‎ 课后练习区 ‎1.D [∵A为△ABC中的角,=-,‎ ‎∴sin A=-cos A,A为钝角,∴cos A<0.‎ 代入sin‎2A+cos‎2A=1,求得cos A=-.]‎ ‎2.C [已知tan α=-,且α为第二象限角,‎ 有cos α=-=-,所以sin α=.]‎ ‎3.C [∵f(α)==-cos α,∴f(-π)‎ ‎=-cos(-π)=-cos(10π+)=-cos=-.]‎ ‎4.C [∵f(2 002)=asin(2 002π+α)+bcos(2 002π+β)‎ ‎=asin α+bcos β=-1,‎ ‎∴f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β)‎ ‎=asin[2 002π+(π+α)]+bcos[2 002π+(π+β)]‎ ‎=asin(π+α)+bcos(π+β)=-(asin α+bcos β)=1.]‎ ‎5.B [∵cos(-80°)=cos 80°=k,‎ sin 80°==.‎ ‎∴tan 100°=-tan 80°=-.]‎ ‎6.- 解析 ∵tan α=-,∴=-,‎ 又∵sin2α+cos2α=1,α是第二象限的角,‎ ‎∴cos α=-.‎ ‎7. 解析 sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°‎ ‎=sin21°+sin22°+…+sin245°+…+sin2(90°-2°)+‎ sin2(90°-1°)‎ ‎=sin21°+sin22°+…+2+…+cos22°+cos21°‎ ‎=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+=44+=.‎ ‎8. 解析 原式=+ ‎=3+=3+=.‎ ‎9.解 (1)f(α)= ‎==-cos α.…………………………………………………………(5分)‎ ‎(2)∵α是第三象限角,且cos(α-)=-sin α=,‎ ‎∴sin α=-,……………………………………………………………………………(8分)‎ ‎∴cos α=-=-=-,‎ ‎∴f(α)=-cos α=.…………………………………………………………………(12分)‎ ‎10.解 当k为偶数2n (n∈Z)时,‎ 原式= ‎= ‎===-1;……………………………………………………(6分)‎ 当k为奇数2n+1 (n∈Z)时,‎ 原式= ‎===-1.‎ ‎∴当k∈Z时,原式=-1.………………………………………………………………(12分)‎ ‎11.解 由已知原方程的判别式Δ≥0,‎ 即(-a)2-‎4a≥0,∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分)‎ 又,(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,则a2-‎2a-1=0,(6分)‎ 从而a=1-或a=1+(舍去),‎ 因此sin θ+cos θ=sin θcos θ=1-.…………………………………………………(8分)‎ ‎(1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ ‎=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.………(11分)‎ ‎(2)tan(π-θ)-=-tan θ- ‎=-(+)=-=-=1+.‎ ‎……………………………………………………………………………………………(14分)‎