高三数学总复习学案18 9页

学案18　同角三角函数的基本关系式及诱导公式 导学目标： 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.‎ 自主梳理 ‎1．同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系：____________________.‎ ‎(2)商数关系：______________________________.‎ ‎2．诱导公式 ‎(1)sin(α＋2kπ)＝________，cos(α＋2kπ)＝__________，tan(α＋2kπ)＝__________，k∈Z.‎ ‎(2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.‎ ‎(3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.‎ ‎(4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.‎ ‎(5)sin＝________，cos＝________.‎ ‎(6)sin＝__________，cos＝____________________________________.‎ ‎3．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：‎ 上述过程体现了化归的思想方法．‎ 自我检测 ‎1．(2010·全国Ⅰ)cos 300°等于 (　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎2．(2009·陕西)若3sin α＋cos α＝0，则的值为 (　　)‎ A. B. C. D．－2‎ ‎3．(2010·福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角，tan α＝，则sin α等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎4．cos(－π)－sin(－π)的值是 (　　)‎ A. B．－ C．0 D. ‎5．(2011·清远月考)已知cos(－α)＝，则sin(α－)＝________.‎ 探究点一　利用同角三角函数基本关系式化简、求值 例1　已知－0，‎ 即sin x－cos x<0.‎ 则sin x－cos x ‎＝－ ‎＝－＝－.‎ ‎(1)sin2x－cos2x＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)‎ ‎＝×＝－.‎ ‎(2)由，‎ 得，则tan x＝－.‎ 即＝＝.‎ 变式迁移1　解　∵sin(3π＋α)＝2sin，‎ ‎∴－sin α＝－2cos α.‎ ‎∴sin α＝2cos α，即tan α＝2.‎ 方法一　(直接代入法)：‎ ‎(1)原式＝＝－.‎ ‎(2)原式＝＝＝.‎ 方法二　(同除转化法)：‎ ‎(1)原式＝＝＝－.‎ ‎(2)原式＝sin2α＋2sin αcos α ‎＝＝＝.‎ 例2　解题导引　三角诱导公式记忆有一定规律：的本质是：奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把α看成是锐角)．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α<2π；(2)转化为锐角三角函数．‎ 解　(1)∵sin＝－，α∈(0，π)，‎ ‎∴cos α＝－，sin α＝.‎ ‎∴＝＝－.‎ ‎(2)∵cos α＝－，sin α＝，‎ ‎∴sin 2α＝－，cos 2α＝－，‎ cos＝－cos 2α＋sin 2α＝－.‎ 变式迁移2　 解析　∵f(α)＝ ‎＝＝＝，‎ ‎∴f＝ ‎＝＝＝.‎ 例3　解题导引　先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cos A．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．诱导公式在三角形中常用结论有：A＋B＝π－C；＋＋＝.‎ 解　由已知得 ‎①2＋②2得2cos‎2A＝1，即cos A＝±.‎ ‎(1)当cos A＝时，cos B＝，‎ 又A、B是三角形的内角，‎ ‎∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π.‎ ‎(2)当cos A＝－时，cos B＝－.‎ 又A、B是三角形的内角，‎ ‎∴A＝π，B＝π，不合题意．‎ 综上知，A＝，B＝，C＝π.‎ 变式迁移3　解　(1)∵sin A＋cos A＝，①‎ ‎∴两边平方得1＋2sin Acos A＝，‎ ‎∴sin A·cos A＝－.‎ ‎(2)由(1)sin A·cos A＝－<0，且00，cos A<0，∴sin A－cos A>0，‎ ‎∴sin A－cos A＝，②‎ ‎∴由①，②得sin A＝，cos A＝－，‎ ‎∴tan A＝＝－.‎ 课后练习区 ‎1．D　[∵A为△ABC中的角，＝－，‎ ‎∴sin A＝－cos A，A为钝角，∴cos A<0.‎ 代入sin‎2A＋cos‎2A＝1，求得cos A＝－.]‎ ‎2．C　[已知tan α＝－，且α为第二象限角，‎ 有cos α＝－＝－，所以sin α＝.]‎ ‎3．C　[∵f(α)＝＝－cos α，∴f(－π)‎ ‎＝－cos(－π)＝－cos(10π＋)＝－cos＝－.]‎ ‎4．C　[∵f(2 002)＝asin(2 002π＋α)＋bcos(2 002π＋β)‎ ‎＝asin α＋bcos β＝－1，‎ ‎∴f(2 003)＝asin(2 003π＋α)＋bcos(2 003π＋β)‎ ‎＝asin[2 002π＋(π＋α)]＋bcos[2 002π＋(π＋β)]‎ ‎＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asin α＋bcos β)＝1.]‎ ‎5．B　[∵cos(－80°)＝cos 80°＝k，‎ sin 80°＝＝.‎ ‎∴tan 100°＝－tan 80°＝－.]‎ ‎6．－ 解析　∵tan α＝－，∴＝－，‎ 又∵sin2α＋cos2α＝1，α是第二象限的角，‎ ‎∴cos α＝－.‎ ‎7. 解析　sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°‎ ‎＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋‎ sin2(90°－1°)‎ ‎＝sin21°＋sin22°＋…＋2＋…＋cos22°＋cos21°‎ ‎＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋＝44＋＝.‎ ‎8. 解析　原式＝＋ ‎＝3＋＝3＋＝.‎ ‎9．解　(1)f(α)＝ ‎＝＝－cos α.…………………………………………………………(5分)‎ ‎(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sin α＝，‎ ‎∴sin α＝－，……………………………………………………………………………(8分)‎ ‎∴cos α＝－＝－＝－，‎ ‎∴f(α)＝－cos α＝.…………………………………………………………………(12分)‎ ‎10．解　当k为偶数2n (n∈Z)时，‎ 原式＝ ‎＝ ‎＝＝＝－1；……………………………………………………(6分)‎ 当k为奇数2n＋1 (n∈Z)时，‎ 原式＝ ‎＝＝＝－1.‎ ‎∴当k∈Z时，原式＝－1.………………………………………………………………(12分)‎ ‎11．解　由已知原方程的判别式Δ≥0，‎ 即(－a)2－‎4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分)‎ 又，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a2－‎2a－1＝0，(6分)‎ 从而a＝1－或a＝1＋(舍去)，‎ 因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－.…………………………………………………(8分)‎ ‎(1)cos3(－θ)＋sin3(－θ)＝sin3θ＋cos3θ ‎＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝(1－)[1－(1－)]＝－2.………(11分)‎ ‎(2)tan(π－θ)－＝－tan θ－ ‎＝－(＋)＝－＝－＝1＋.‎ ‎……………………………………………………………………………………………(14分)‎