【数学】2019届一轮复习北师大版一题多解，玩透轨迹方程学案 15页

一、典例分析，融合贯通 ‎ 典例1 2010年江南十校联考（理 ）A C D B R H E X Y O F 如图，过圆与轴的两个交点A，B作圆的切线AC，BD，再过圆上任意一点H作圆的切线交AC，BD于C，D，设AD，BC的交点为R，求动点R的轨迹E的方程 ‎【解法1】点斜式+交轨法 由（1）×（2）得 得代入（3）式可得 . . ]‎ 当时， 也满足方程，故 的轨迹 的方程是 ‎【点睛之笔】利用点斜式，直点要害！‎ ‎【点睛之笔】斜截式，在此有点“邪”! ‎ ‎【解法3】平几法一 设 不妨设 ，由圆的切线性质可知 过 作 交 于 ，故 ，由勾股定理知 ‎ 而 ，令 ‎ 化简可得 ‎ ‎【点睛之笔】平几与解几双剑合璧，天下无敌！‎ ‎【解法4】平几法二 连接 交轴于 ，‎ 故 轴。‎ 故 为 的中点，设，‎ ‎，故 的轨迹的方程是 ‎【点睛之笔】相似比，没有比它更牛逼的了！‎ ‎【解后反思】‎ 解法一 比较直接，但计算量比较大.‎ 解法二 巧用斜截式，降低计算量。‎ 解法三 运用平几与解几相结合，回避了求直线方程，简化了计算，妙哉！‎ 解法四 运用相似比巧妙地求出R是H 点沿纵向压缩一半而得，从而便捷地求出R的轨迹方程,美哉！‎ 典例2 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，3)、B(－2，0)、C(2，0)，则∠A平分线所在直线l的方程为_____________。‎ B C D x y l A(2,3)‎ M(x,y)‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ O ‎【解法1】角平分线性质法一 设 是上任一点，又，‎ 则由点到两直线 的距离相等及线性规划知识得，化简得 ，此即为所求.‎ ‎【点睛之笔】建立方程，寻找通项成功的桥梁！‎ ‎【解法2】角平分线性质法二 设是上任一点，又，则由点到两直线的距离相等得 ‎ 化简得 ，或 (结合图象舍去斜率为负的)，‎ 故所求直线.‎ ‎【点睛之笔】有图就有真相，爱怎么办就怎么办！‎ ‎【解法3】角平分线性质法三 设与 轴的交点为 ，又，点 与点 在直线 的同侧，则点到直线的距离相等及线性规划知识得 ，∴ ，即点.由两点式及点斜式得直线. ‎ ‎【点睛之笔】滴水见太阳，两点窥全线！ ‎ B C x A(2,3)‎ y I ‎·‎ O ‎2‎ ‎－2‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎【点睛之笔】平几知识，一马平川！‎ ‎【解法5】等积法一 依题意知直线必过的内切圆的内心，‎ 设半径为，则 ，‎ ‎ ,‎ 又 ‎∴ 即 ，‎ 由两点 ，得直线.‎ ‎【点睛之笔】等积法，一等的好方法！‎ B C D x y l A(2,3)‎ ‎·‎ O ‎·‎ d ‎【点睛之笔】等积法，一等就过关！ ‎ ‎【解后反思】‎ ‎1.解法，灵活运用了角平分线的定义、点到直线的距离公式、线性规划知识、轨迹法，巧求点 的坐标等，快捷的求得直线 的方程.‎ ‎2.解法 、解法都巧用了三角形内角平分线和圆的切线性质，解法挖掘了内切圆半径 与 的三边关系，解法 灵活运用了三角形面积计算的等积法，从而快捷地求得内心 的坐标及直线的方程.‎ ‎3.解法 紧扣切入点 的面积计算，巧妙地运用等积法，迅速而又准确地求得点 的坐标和直线的方程.‎ 典例3由圆外一点引圆的割线交圆于两点，求弦的中点的轨迹方程。‎ ‎【点睛之笔】直接法 图4－2－3‎ P M B A O y x 如图4－2－3，设弦的中点的坐标为，连接，‎ 则，在中，由两点间的距离公式和勾股定理有 整理，得 其中 ‎【点睛之笔】直接法，直奔主题，直捣黄龙！‎ ‎【解法2】定义法 ‎ 因为是的中点，所以，‎ 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为,‎ 半径为该圆的方程为 ‎ 化简，得 其中 ‎【点睛之笔】定义法，先定再议系数！ [ | | ]‎ ‎【点睛之笔】交轨法，在相遇中擦出“思想”火花！‎ ‎【解法4】参数法 ‎ 设过点的割线方程为 ‎ 它与圆的两个交点为，的中点为.‎ 解方程组 ‎ 利用韦达定理和中点坐标公式，可求得点的轨迹方程为 ‎ 其中 ‎【点睛之笔】参数法，边参边数，好处多多！‎ ‎【解法5】点差法 ‎ 设则 两式相减，整理，得 ‎ 所以 ‎ 即为的斜率，而对斜率又可表示为 化简并整理，得 其中 ‎【点睛之笔】代点作差，绝对不差！‎ ‎【解后反思】‎ 上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法 局限于曲线是圆的条件，而解法 适用于一般的过定点且与二次曲线交于两点，求中点的轨迹问题。具有普遍意义，值得重视。对于解法 通常利用可较简捷地求出轨迹方程，比解法 计算量要小，要简捷得多。‎ 二、精选试题，能力升级 ‎1.已知动点到点与点的斜率之积为，求点的轨迹方程．‎ ‎【解析】设，由题意知，‎ ‎∴，‎ 化简得曲线方程为．‎ ‎2. 动点到点的距离比它到直线的距离大，则点的轨迹方程为 ‎______ _ ．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎3．已知动圆过定点，且与圆相外切，‎ 求动圆圆心的轨迹方程．‎ ‎【解析】依题意，，‎ 说明点到定点的距离的差为定值，‎ ‎∴动点的轨迹是双曲线的一支，‎ ‎∵，∴．‎ ‎∵，∴．[ ]‎ ‎∴ 动圆圆心的轨迹方程是． ‎ ‎4. 已知中、，的周长为，‎ ‎（1）顶点的轨迹是什么图形？（2）求顶点的轨迹方程 ‎ ‎ ‎5．圆 ，点为圆上一点，点的坐标为．当点在圆 上运动时，求线段的中点的轨迹方程．‎ ‎【解析】设，‎ ‎∵为线段的中点，∴，‎ ‎∴，又∵点在圆上，∴，‎ ‎∴，即，∴点的轨迹方程为 ‎6. 已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称．线段的中垂线分别与交于两点．‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）斜率为1的直线与曲线交于两点,若[‎ ‎（为坐标原点），求直线的方程．‎ ‎（2）设直线的方程为,由 ‎ 可得 …………………………………………………………… 8分 则,即 ① …………………………………9分 设,则[ | | ]‎ 由可得,即 …………………10分 整理可得 ‎ 化简可得,满足①式，故直线]的方程为 …………………12分 ‎7. 已知一动圆M,恒过点F(1,0)，且总与直线相切,（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）在曲线C上是否存在异于原点的两点,当时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【解析】(1) 因为动圆 ,过点 且与直线相切,‎ 所以圆心到的距离等于到直线的距离. …………2分 所以,点的轨迹是以为焦点, 为准线的抛物线,且,, ……4分 所以所求的轨迹方程为……………6分 ‎8．【2018湖南两市九月调研】已知动圆经过点，并且与圆相切.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设为轨迹内的一个动点，过点且斜率为的直线交轨迹于两点，当为何值时？ 是与无关的定值，并求出该值定值.[ ]‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ 试题解析 ‎ ‎（1）由题设得 ，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，‎ 椭圆方程为.‎ ‎（2）设，直线，‎ 由得，‎ ‎.‎ ‎.‎ 的值与无关， ，‎ 解得.此时.[ ]‎ ‎（方法 ①当时，…；②当时，设直线，…；可以减少计算量.） ‎ ‎9.【2018湖南永州市一模】已知动圆与圆相切，且经过点.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知点，若为曲线上的两点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎ 10.【2018吉林百校联盟九月联考】已知椭圆 过点，点， 是椭圆上异于长轴端点的两个点．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）已知直线 ，且，垂足为， ，垂足为，若且，求中点的轨迹方程．‎ ‎【答案】(1) ;(2) 点的轨迹方程为（）.‎ 试题解析 ‎ ‎（1）依题意， ，解得，‎ 故椭圆的方程为，则其离心率为．‎ ‎（2）设直线与轴相交于点， ， ，‎ 由于，即，且，‎ 得， （舍去）或，‎ 即直线经过点，设， ， 的中点，‎ ‎①直线垂直于轴时，则的重担为；‎ ‎②直线与轴不垂直时，设的方程为，则 整理得，‎ ‎， ， ，‎ 消去，整理得（）．经检验，点也满足此方程．‎ 综上所述，点的轨迹方程为（）．‎