2015三明1月份质检理数试卷(2) 12页

三明市B片区高中联盟校2014-2015学年第一学期阶段性考试 高三数学（理科）试题 ‎(考试时间 ‎2015年2月6日下午3：00-5：00 满分150分)‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 注意事项:‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎4．保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式 s= 　　　　V=Sh 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh ，‎ 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 ‎ 第I卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．函数的最小正周期为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知是虚数单位，则= ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．已知向量 ，则 是的 ‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 理科数学第1页（共5页）‎ ‎4．设集合，，则 ‎ ‎ A． B. C． D．‎ ‎5.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），则这个几何体的体积是 ‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 正视图 侧视图 俯视图 第6题图 A． B． C． D． ‎ ‎6．执行如右图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为 ‎ A．2　　　　B．‎3　‎　　　C．4　　　　D．5‎ ‎7．下列函数中，为偶函数且在内为增函数的是 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为 ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知幂函数的图像过点，令，，记数列的前项和为，则=10时，的值是 A. 110 B. ‎120 ‎ C. 130 D. 140‎ ‎10．设是一个非负整数，的个位数记作，如，，，‎ 称这样的函数为尾数函数．给出下列有关尾数函数的结论：‎ ‎①；‎ ‎②若，都有；‎ ‎③；‎ ‎④．‎ 则正确的结论的个数为 A．1 B．‎2 C ．3 D．4‎ 理科数学第2页（共5页）‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎11．由三条直线和曲线所围成的图形的面积为 ▲▲▲▲▲ ．‎ 七年级 八年级 九年级 女生 ‎204‎ a ‎120‎ 男生 ‎198‎ ‎222‎ b ‎12．某初中校共有学生1200名，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取l名，抽到八年级女生的概率是0.18，现用分层抽样的方法在全校抽取200名学生，则在九年级应抽取▲▲▲▲▲名学生.‎ ‎13.已知等比数列的第项是二项式展开式的 ‎ 常数项，则▲▲▲▲▲．‎ ‎14．已知实数满足 ，，若z的最大值为12，则的最小值为▲▲▲▲▲．‎ ‎15．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为▲▲▲▲▲．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16． (本小题满分13分)‎ 已知向量，函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期和对称轴方程；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若且，，求的值．‎ ‎17．(本小题满分13分)‎ ‎2014年11月6日‎，第十届海峡两岸林业博览会暨投资贸易洽谈会在福建三明召开．为了做好林博会期间的接待服务工作，三明学院学生实践活动中心从7名学生会干部(其中男生4人，女生3人)中选3人参加志愿者服务活动．‎ ‎（Ⅰ）所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅱ）在男生甲被选中的条件下，求女生乙也被选中的概率．‎ ‎18．(本小题满分13分)‎ A B C D Q P M 如图，四边形是正方形，面，，且，M为PC中点．‎ ‎（Ⅰ）求证： ；‎ ‎（Ⅱ）求二面角大小的余弦值．‎ 理科数学第3页（共5页）‎ ‎19．(本小题满分13分)‎ 已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶 点分别为A，B，经过椭圆左焦点的直线与椭圆交于C、D（异于A，B）两点．‎ ‎(I)求椭圆标准方程；‎ ‎(II)求四边形的面积的最大值；‎ ‎(III)若是椭圆上的两动点，且满，动点满足（其中O为坐标原点），是否存在两定点使得为定值，若存在求出该定值，若不存在 ‎ x y O A B D C 说明理由．‎ ‎20．(本小题满分14分)‎ 已知函数常数）在处的切线垂直于轴．‎ ‎(I)求实数的关系式；‎ ‎(II)当时，函数与函数的图象有两个不同的公共点，求实数的取值范围；‎ ‎(III)数列满足 （且），，数列的前项和为，‎ 求证：（,是自然对数的底）．‎ 理科数学第4页（共5页）‎ ‎21．(本小题满分14分)‎ 本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵的两个特征值为6和1．‎ ‎（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求矩阵．‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，），以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出圆的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆上的点到直线的最大距离为3，求半径的值．‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲 若为正实数且满足．‎ ‎（Ⅰ）求的最大值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ 理科数学第5页（共5页）‎ 三明市B片区高中联盟校2014-2015学年第一学期阶段性考试 高三数学（理科）参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D B A B C C D A B B ‎11、4 12、60 13、 14、 15、‎ ‎16. 解：（Ⅰ）由 于是 …………………3分 所以的最小正周期为， …………………4分 由，得． …………………6分 ‎（2）由，得．‎ 为锐角，∴，，∴． …………………9分 ‎∵，，∴． …………………10分 在△ABC中，由正弦定理得，即． ………13分 ‎17. 解：（1）得可能取值为 0,1,2,3‎ 由题意P(=0)=, P(=1)=, P(=2)=，P(=3)=…4分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴的分布列、期望分别为：‎ ‎ ‎ ‎ Eξ=0×+1×+2×+3×= …………8分 ‎（2）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C 男生甲被选中的种数为,男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为 …………10分 ‎ ‎∴P(C)= ……12分 理科数学第1页（共6页）‎ 在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 ……13分.‎ A B C D Q P M N ‎18. 解：法一：（1）取中点，连接，‎ 则，又面，‎ 所以，‎ 于是，‎ A B C D P M Q F E 又面，面，‎ 所以面，由面，得…………6分 ‎（2）延长交于，过作交于，连接，‎ 则易证的二面角的平面角，不妨取，‎ A B C D P M N Q 则由已知可得，于是，所以…………13分 法二：（1）过作交于，‎ 则易得边边形为平行四边形，‎ 又面，面，‎ ‎…………6分 ‎（2）同法一 法三：（1）由题意可知，两两互相垂直，‎ 以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，不妨取，‎ 则 A B C D M P Q x y z ‎，得，，‎ 由，…………6分 理科数学第2页（共6页）‎ ‎（2）由（1）知 设面的法向量为，‎ 由，得，取，…………9分 又面的法向量为，…………10分 设二面角的大小为，则.…………13分 ‎19. 解：(I)由题设知：因为抛物线的焦点为，‎ 所以椭圆中的，又由椭圆的长轴为4，得， …………2分 ‎ 椭圆的标准方程为： …………4分 ‎(II) 法一直线斜率不为零，，代入椭圆方程得： ‎ 则有： …………6分 ‎（当且仅当，即时等号成立）…………8分 ‎ 四边形的面积的最大值为4 …………9分 理科数学第3页（共6页）‎ 法二：当直线斜率不存在时 ，的方程为：，此时…………5分 当直线斜率存在时，设的方程为： (其中) 即代入椭圆方程得：，‎ ‎…………6分 ‎ …………8分 综上所述：四边形的面积的最大值为4 …………9分 ‎ (III)由，可得……①‎ 又因为 ……② …………10分 由①②可得： ‎ ‎ ……12分 由椭圆的定义存在两定点使得 ………13分 理科数学第4页（共6页）‎ ‎20. 解：（1），由，得。…………………3分 ‎（2）当时，，。‎ 令，即，‎ 于是函数与函数的图象有两个不同的公共点，‎ 等价于有两个不同的根。…………………4分 令，， …………………6分 ‎∴在上单调递减，在上单调递增，且…………………7分 当 时，， 当 时，，‎ ‎∴当 时 ，函数与函数的图象有两个不同的公共点。……8分 ‎（3），∴ ，∴ ，∴ ‎ ‎∴ …………………9分 由（2）知，‎ 令 得 即…………………11分 ‎∴ ‎ 累加得 …………………13分 即 ∴ 得证 …………………14分 理科数学第5页（共6页）‎ ‎21. 解：（1）（Ⅰ）依题1，6是关于的方程，‎ 的两个根，由韦达定理有 …………4分 ‎（Ⅱ），所以 …………7分 ‎（2）（Ⅰ）圆C的普通方程为：，‎ ‎ 直线的直角坐标方程为： …………3分 ‎（Ⅱ）圆C的圆心C到的距离 圆C上的点到的距离的最大值为，所以 …………7分 ‎（3）（Ⅰ） ‎ 当且仅当即时等号成立。所以的最大值为 …………3分 ‎（Ⅱ）‎ 当且仅当即时等号成立 所以的最大值为。 …………7分 命题：范仁忠老师 审题：范训库老师 ‎ ‎ 理科数学第6页（共6页）‎