第09章检测B卷-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析 21页

平面解析几何 章节验收测试卷B卷 姓名 班级 准考证号 1．如图，是平面的斜线段，为斜足，点满足，且在平面内运动，则（ ）‎ A．当时，点的轨迹是抛物线 B．当时，点的轨迹是一条直线 C．当时，点的轨迹是椭圆 D．当时，点的轨迹是双曲线抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 在中，∵，由正弦定理可得：，‎ 当时，，过的中点作线段的垂面，‎ 则点在与的交线上，即点的轨迹是一条直线，‎ 当时，，‎ 设在平面内的射影为，连接，，设，，则，‎ 在平面内，以所在直线为轴，以的中点为轴建立平面直角坐标系，‎ 设，则，，，‎ ‎∴，化简可得.‎ ‎∴的轨迹是圆．‎ 故选：B．‎ ‎ 2．已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设，．．，直线的方程为.‎ ‎∵原点是的重心，∴与的高之比为，‎ 又与的面积之比为，则.即，…①‎ 联立.‎ ‎，…②，由①②整理可得：…③‎ ‎∵原点是的重心，∴，.‎ ‎∵，∴…④．‎ 由③④可得，∵．∴.‎ 故选：C．‎ ‎ 3．设是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若，c=2,，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可得，可得，‎ 可得，可得a=1，，‎ 可得渐近线方程为：，可得双曲线的渐近线的夹角为，‎ 故选D. 4．已知为椭圆上的两个动点，,且满足,则的取值范围为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 为椭圆上的两个动点，为其左焦点.‎ ‎，则有.‎ ‎.‎ 设，则.‎ ‎.‎ 由，得.‎ 故选C. 5．长方体中，， ，设点关于直线的对称点为，则与两点之间的距离为（ ）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 将长方体中含有的平面取出，过点作，垂足为，延长到，使，则是关于的对称点，如图所示，过作，垂足为，连接，，依题意，，，，，，，，所以.‎ 故选.‎ ‎ 6．下列命题中：‎ ‎①若命题，，则，；‎ ‎②将的图象沿轴向右平移个单位，得到的图象对应函数为；‎ ‎③“”是“”的充分必要条件；‎ ‎④已知为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆相交.‎ 其中正确的个数是（ ）‎ A．4 B．‎3 ‎C．2 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 对于①，若命题，，则，；故①正确；‎ 对于②，将的图象沿轴向右平移个单位，得到的图象对应函数为，故②错误；‎ 对于③，“”是“”的充分必要条件，故③正确；‎ 对于④，因为为圆内异于圆心的一点，则，所以圆心到直线的距离，所以该直线与该圆相离，故④错误，故选C. 7．已知双曲线的一条渐近线为，圆与交于第一象限、两点，若，且，其中为坐标原点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 双曲线的一条渐近线为：‎ 圆的圆心坐标为，半径为 ‎ 是边长为的等边三角形 ‎，圆心到直线的距离为 又 ，‎ 在，中，由余弦定理得：‎ ‎，解得：‎ 圆心到直线的距离为，有：‎ 本题正确选项： 8．已知双曲线（）的焦距为，直线与双曲线的一条斜率为负值的渐近线垂直且在轴上的截距为；以双曲线的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 双曲线的渐近线的方程为，‎ ‎∵直线与双曲线的一条斜率为负值的渐近线垂直且在轴上的截距为，‎ ‎∴直线的方程为，即，‎ ‎∵双曲线的右焦点为，其到的距离，‎ 又∵半径为的圆与直线交于两点且，‎ ‎∴，化简得，即，‎ 得或，即或（舍去），‎ 故选C. 9．已知双曲线的左焦点为，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的两点，若四边形的面积为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据题意，，双曲线的焦点到的一条渐近线的距离为，则，所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为. 10．已知为抛物线上的两个动点，以为直径的圆经过抛物线的焦点，且面积为，若过圆心作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据题意，，‎ ‎∴.‎ 设，过点作于，过点作于，‎ 由抛物线定义，得，在梯形中，‎ ‎∴，‎ 由勾股定理得，，‎ ‎∵，‎ 所以（当且仅当时，等号成立）. 11．在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点，对于下列结论：‎ 符合的点的轨迹围成的图形面积为8；‎ 设点是直线：上任意一点，则；‎ 设点是直线：上任意一点，则使得“最小的点有无数个”的充要条件是；‎ 设点是椭圆上任意一点，则．‎ 其中正确的结论序号为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由，根据新定义得：，由方程表示的图形关于轴对称和原点对称，且，画出图象如图所示：‎ 四边形为边长是的正方形，面积等于8，故正确；‎ 为直线上任一点，可得，‎ 可得，‎ 当时，；当时，；‎ 当时，可得，综上可得的最小值为1，故正确；‎ ‎，当时，，满足题意；‎ 而，当时，，满足题意，即都能 “使最小的点有无数个”，不正确；‎ 点是椭圆上任意一点，因为求最大值，所以可设，，，，，，正确．‎ 则正确的结论有：、、，故选D． 12．已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则双曲线的离心率为　　‎ A．4 B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图，设圆M与的三边、、分别相切于点E、F、G，连接ME、MF、MG，‎ 则，，，它们分别是 ‎，，的高，‎ ‎，‎ ‎，其中r是的内切圆的半径．‎ 两边约去得：‎ 根据双曲线定义，得，‎ 离心率为 故选：C．‎ ‎ 13．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设切点为，连接，过作，垂足为，如下图：‎ 由圆的切线性质可知：,，由三角形中位线定理可知：，，在中，，在中，，所以，，由双曲线定义可知：，‎ 即，所以，而，所以，因此 ‎，即双曲线的离心率为. 14．在平面直角坐标系中，已知点，分别为椭圆：的右顶点、右焦点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，若，，三点共线，则椭圆的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意知：，关于原点对称，可设，‎ 又，，则 ‎，‎ ‎，，三点共线 ‎ ‎，整理可得：‎ 即椭圆的离心率：‎ 本题正确结果： 15．已知椭圆=1的左、右焦点分别为，过的直线与过的直线交于点M，设M的坐标为，若，则下列结论序号正确的有______．‎ ‎①+＜1②+＞1③+＜1 ④‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎，因为，，‎ 所以即，‎ 在圆上，它在椭圆的内部，故，故①正确，②错误；‎ 到直线的距离为，在直线的下方，‎ 故圆在其下方即，故③正确；‎ ‎，但不同时成立，‎ 故，故④成立，综上，填①③④． 16．已知是抛物线的焦点，，在抛物线上，且的重心坐标为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设点A,B,焦点F(1,0),的重心坐标为,‎ 由重心坐标公式可得,，即， ，‎ 由抛物线的定义可得,‎ 由点在抛物线上可得，作差，‎ 化简得，‎ 代入弦长公式得|AB|=，‎ 则，‎ 故答案为： 17．已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，点在第一象限，且，．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设、为椭圆上不重合的两点且异于、，若的平分线总是垂直于轴，问是否存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求取得最大值时的的长．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵，∴，‎ ‎∵．即，‎ ‎∴是等腰直角三角形，‎ ‎∵，∴，‎ 而点在椭圆上，∴，，∴，‎ ‎∴所求椭圆方程为．‎ ‎（2）对于椭圆上两点，，‎ ‎∵的平分线总是垂直于轴，‎ ‎∴与所在直线关于对称，‎ ‎，则，‎ ‎∵，∴的直线方程为，①‎ 的直线方程为，②‎ 将①代入，得，③‎ ‎∵在椭圆上，∴是方程③的一个根，‎ ‎∴，‎ 以替换，得到．‎ ‎∴，‎ ‎∵，，，弦过椭圆的中心，‎ ‎∴，，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴存在实数，使得，‎ ‎，‎ 当时，即时取等号，‎ ‎，‎ 又， ，‎ ‎∴取得最大值时的的长为． 18．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且垂直于轴，连结并延长交椭圆于另一点，设.‎ ‎（1）若点的坐标为，求椭圆的方程及的值；‎ ‎（2）若，求椭圆的离心率的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为垂直于轴，且点的坐标为，‎ 所以，，‎ 解得，，所以椭圆的方程为.‎ 所以，直线的方程为，‎ 将代入椭圆的方程，解得，‎ 所以.‎ ‎（2）因为轴，不妨设在轴上方，，.设，因为在椭圆上，所以，解得，即.‎ ‎（方法一）因为，由得，，，解得，，所以.‎ 因为点在椭圆上，所以，即 ‎，所以，从而.‎ 因为，所以.‎ 解得，‎ 所以椭圆的离心率的取值范围. 19．已知椭圆：离心率为，直线被椭圆截得的弦长为.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）设直线交椭圆于，两点，且线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）由直线被椭圆截得的弦长为，得椭圆过点，即，‎ 又，得，‎ 所以，，即椭圆方程为.‎ ‎（2）由得，‎ 由，‎ 得.‎ 由，‎ 设的中点为，‎ 得，即，‎ ‎∴.‎ ‎∴的中垂线方程为.‎ 即，故的中垂线恒过点. 20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于两点A，B，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝﹣3于点D（﹣3，m）．‎ ‎（1）求m2+k2的最小值；‎ ‎（2）若|OG|2＝|OD|•|OE|，求证：直线l过定点．‎ ‎【答案】（1）2；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）设直线l的方程为y＝kx+t（k＞0），由题意，t＞0，‎ 由方程组，得（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3＝0，由题意△＞0，所以3k2+1＞t2，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得，所以，‎ 由于E为线段AB的中点，因此，‎ 此时，所以OE所在直线的方程为，‎ 又由题意知D（﹣3，m），令x＝﹣3，得，即mk＝1，‎ 所以m2+k2≥2mk＝2，当且仅当m＝k＝1时上式等号成立，‎ 此时由△＞0得0＜t＜2，因此当m＝k＝1且0＜t＜2时，m2+k2取最小值2．‎ ‎（2）证明：由（1）知D所在直线的方程为，‎ 将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，解得，又，‎ 由距离公式及t＞0得，，，‎ 由|OG|2＝|OD|•|OE|，得t＝k，‎ 因此直线l的方程为y＝k（x+1），所以直线l恒过定点（﹣1，0）． 21．已知点，动点到直线的距离与动点到点的距离之比为.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点作任一直线交曲线于，两点，过点作的垂线交直线于点，求证：平分线段.‎ ‎【答案】（1）（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎（1）设，由动点到直线的距离与动点到点的距离之比为，‎ 则，化简得.‎ ‎（2）设的直线方程为，则的直线方程为，‎ 联立，解得，∴直线的方程为，‎ 联立得，‎ 设，，则，‎ 设的中点为，则，‎ ‎∴，∴，‎ 将点坐标代入直线的方程，‎ ‎∴点在直线上，∴平分线段. 22．已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点的坐标为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由已知，又，则.‎ 椭圆方程为，将代入方程得，，‎ 故椭圆的方程为；‎ ‎（2）不妨设直线的方程，‎ 联立消去得.‎ 设，，则有，①‎ 又以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，∴，‎ 由，得，‎ 将，代入上式得 ‎，‎ 将①代入上式求得或（舍），‎ 则直线恒过点.‎ ‎∴，‎ 设，则在上单调递增，‎ 当时，取得最大值. ‎