高考一轮总复习人教A版数学108 15页

基础巩固强化 一、选择题 ‎1．某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为a，第2道工序的废品率为b，假定这2道工序出废品的概率彼此无关，那么产品的合格率是(　　)‎ A．ab－a－b＋1　　　　 　B．1－a－b C．1－abD．1－2ab ‎[答案]A ‎[解析]由于第一道工序与第二道工序出废品的概率彼此无关，故产品的合格率为p＝(1－a)(1－b)＝ab－a－b＋1.‎ ‎2．(2013·揭阳二模)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于(　　)‎ A.B. C.D. ‎[答案]A ‎[解析]A与B相互独立，∴P(B|A)＝P(B)＝.‎ ‎3．已知随机变量ξ满足条件ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝12，D(ξ)＝，则n与p的值分别为(　　)‎ A．16与B．20与 C．15与D．12与 ‎[答案]C ‎[解析]∵ξ～B(n，p)，∴E(ξ)＝np＝12，D(ξ)＝np(1－p)＝，∴n＝15，p＝.‎ ‎4．(2013·济南模拟)位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是(　　)‎ A.B. C.D. ‎[答案]D ‎[解析]依题意得，质点P移动五次后位于点(1,0)，则这五次移动中必有两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于C·()2·()3＝，选D.‎ ‎5．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为(　　)‎ A．3 B．4 ‎ C．5 D．2‎ ‎[答案]A ‎[解析]设白球x个，则黑球7－x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，‎ P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ ‎∴0×＋1×＋2×＝，‎ ‎∴x＝3.‎ ‎6．设两个相互独立事件A、B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率的取值范围是(　　)‎ A．[0，] B．[，]‎ C．[，] D．[0，]‎ ‎[答案]D ‎[解析]设事件A、B发生的概率分别为P(A)＝x，P(B)＝y，则P()＝P()·P()＝(1－x)·(1－y)＝⇒1＋xy＝＋x＋y≥＋2.当且仅当x＝y时取“＝”，∴≤或≥(舍)，∴0≤xy≤.‎ ‎∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝xy∈[0，]．‎ 二、填空题 ‎7．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A，“两颗骰子的点数和大于‎8”‎为事件B，则P(B|A)＝________.‎ ‎[答案] ‎[解析]因为“红骰子向上的点数是3的倍数”的事件为A，“两颗骰子的点数和大于‎8”‎的事件为B，用枚举法可知A包含的基本事件为12个，A、B同时发生的基本事件为5个，即(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．所以P(B|A)＝.‎ ‎8．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．‎ ‎[答案] ‎[解析]由条件知，‎ ‎∴P(ξ＝x2)＝，‎ ‎∵P(ξ＝xi)≥0，∴公差d取值满足－≤d≤.‎ ‎9．(2013·临沂模拟)随机变量X的分布列如下：‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________.‎ ‎[答案] ‎[解析]由条件知， ‎∴a＋c＝，‎ ‎∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝a＋c＝.‎ 三、解答题 ‎10．(2012·广东理，17)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．‎ ‎(1)求图中x的值；‎ ‎(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．‎ ‎[分析]　(1)利用频率和为1，可求X值；‎ ‎(2)先确定各部分人数，再确定ξ取值，利用组合知识，用古典概型求ξ的分布列，再求数学期望．‎ ‎[解析](1)图中x所在组为[80,90)即第五组，‎ ‎∵由频率分布直方图的性质知，10×(0.054＋x＋0.01＋3×0.006)＝1，‎ ‎∴x＝0.018.‎ ‎(2)成绩不低于80分的学生所占的频率为，‎ f＝10×(0.018＋0.006)＝0.24.‎ 所以成绩不低于80分的学生有：‎50f＝50×0.24＝12人；‎ 成绩不低于90分的学生人数为：50×10×0.006＝3人，‎ 所以ξ的取值为0,1,2.‎ P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.‎ 能力拓展提升 ‎11.(2013·江西理，18)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．‎ ‎(1)求小波参加学校合唱团的概率；‎ ‎(2)求X的分布列和数学期望．‎ ‎[解析](1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28种．‎ X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，‎ 所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.‎ ‎(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1,0,1，‎ X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1× ‎＝－.‎ ‎12．(2013·山东烟台一模)从参加某次高三数学摸底考试的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成6组后，得到部分频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题．‎ ‎(1)补全这个频率分布直方图，并估计本次考试的平均分；‎ ‎(2)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40,70)记0分，在[70,100]记1分，用X表示抽取结束后的总得分，求X的分布列和数学期望．‎ ‎[解析](1)设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，则有(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，可得x＝0.3，‎ 所以频率分布直方图如图所示．‎ 平均分为：‎ ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.‎ ‎(2)学生成绩在[40,70)的有(0.01＋0.015×2)×10×60＝24人，在[70,100]的有(0.03＋0.025＋0.005)×10×60＝36人，并且X的所有可能取值是0,1,2.‎ 则P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；‎ P(X＝2)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎13．(2013·北京理，16)下图是某市‎3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择‎3月1日至‎3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．‎ ‎(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；‎ ‎(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；‎ ‎(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)‎ ‎[解析]设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)，‎ 根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)．‎ ‎(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8，‎ 所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.‎ ‎(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且 P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)‎ ‎＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，‎ P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)‎ ‎＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，‎ P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎(3)从‎3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．‎ ‎14．(2013·北京海淀期末)某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择：‎ ‎(1)投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的概率分布列如下表所示：‎ X1‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎17‎ P a ‎0.4‎ b 且X1的数学期望E(X1)＝12；‎ ‎(2)投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0