上海市静安区2020届高三上学期第一次模拟考试（期末）数学试题 含解析 7页

静安区2019学年第一学期教学质量检测 高三数学试卷 2019.12‎ 一、填空题：（本大题12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1.计算_____.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】1‎ ‎2.双曲线在单位圆中，的圆心角所对的弧长为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎3.若直线和直线的倾斜角分别为和则与的夹角为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎4.若直线的一个法向量为，则若直线的斜率_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，则单位向量，‎ ‎5.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则小时后，个此种细胞将分裂为_____个.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎6.设是等腰直角三角形，斜边, 现将（及其内部）绕斜边所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎7.如图，在平行四边形中，，,则的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎8.三倍角的正切公式为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ 9. 设集合共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为________.‎ ‎【答案】2880‎ ‎【解析】4种类型的矩阵 10. 现将函数的反函数定义为正反割函数，记为：. 则________.（请保留两位小数）‎ ‎【答案】1.82‎ ‎【解析】，，故可知，.‎ 11. 设双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到坐标原点的距离的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,时，可知.‎ 12. 设我们可以证明对数的运算性质如下： .我们将式称为证明的“‎ 关键步骤”.则证明（其中）的“关键步骤”为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,.‎ 二、 选择题 9. ‎“三个实数成等差数列”是“”的 （ ）‎ ‎.充分不必要条件 .必要不充分条件 ‎.充要条件 .既不充分也不必要条件 ‎【答案】‎ ‎【解析】因为三个实数成等差数列”，所以.‎ 10. 设，若复数是纯虚数，则点一定满足 （ ）‎ ‎. . . .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，并且为纯虚数，则，.‎ ‎15.若展开，则展开式中的系数等于 ( )‎ ‎.在中所有任取两个不同的数的乘积之和；‎ ‎.在中所有任取三个不同的数的乘积之和；‎ ‎.在中所有任取四个不同的数的乘积之和；‎ ‎.以上结论都不对.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二项式定理可知展开式中的系数等于在中所有任取两个不同的数的乘积之和.‎ ‎16.某人驾驶一艘小游艇位于湖面处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东方向，且塔顶的仰角为，此人驾驶游艇向正东方向行驶‎1000米后到达处，此时测得塔底位于北偏西方向，则该塔的高度约为 （ ）‎ ‎.265米‎ ‎.279米 ‎.292米 ‎‎.306米 ‎【答案】‎ ‎【解析】米.‎ 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题8分）‎ 如图，在正六棱锥中，已知底边为2，侧棱与底面所成角为.‎ ‎（）求该六棱锥的体积；（）求证：‎ ‎【答案】（）12；（）见解析.‎ ‎【解析】（）连接、，设交点为，连接 ‎ 为正六棱锥 为正六边形 侧棱与底面所成角即 ‎ ‎ （2） 面，面 ‎ ‎ ‎ 底面为正六边形 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 面 ‎ 面 ‎ ‎ ‎18.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）‎ 请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.‎ ‎（）如图1，要在一个半径为‎1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.‎ ‎（）如图2，要在一个长半轴为‎2米，短半轴为‎1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.‎ ‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎【答案】（1）1（2）2‎ ‎【解析】（1）设，‎ 当且仅当，即时等号成立 （2） 椭圆方程为 设 当且仅当，即时取得最大值 面积最大值为2，此时，.‎ 19. ‎（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）‎ 设是等差数列，公差为，前项和为.‎ （1） 设，，求的最大值.‎ （2） 设，，数列的前项和为，且对任意的，都有，求 的取值范围.‎ ‎【答案】（1）2020（2）‎ ‎【解析】（1）有等差数列可知，，由，可知=，‎ 由可得，，所以当=100或者=101时取得最大值，由公式可知为2020.‎ ‎（2）设，得，可知为等比数列，‎ 对任意的，都有 恒成立且 20. ‎（本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）‎ 已知抛物的准线方程为.焦点为.‎ ‎（1）求证：抛物线上任意一点的坐标都满足方程：‎ ‎（2）请支出抛物线的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；‎ ‎（3）设垂直于轴的直线与抛物线交于两点，求线段的中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）关于对称。（3）（在抛物线内）‎ ‎【解析】（1）根据定义得：啊 （2） 将对称互换方程没有发生变化，若在图像上也在图像上，所以图像关于对称，同 （3） 设，所以中点的轨迹方程是（在抛物线内）‎ 20. ‎（本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）‎ ‎ 现定义：设是非零实常数，若对于任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数”‎ （1） 请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明 （2） 设定义域为的“关于的偶型函数”在区间上单调递增，求证在区间上单调递减 （3） 设定义域为的“关于的偶型函数”是奇函数，若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论 ‎【答案】（1）答案不唯一 （2）证明见解析 （3）‎ ‎【解析】（1）的 ‎（2）.任取啊因为函数在单调递增，所以.所以函数在上单调递减 ‎（3）猜测数学归纳法：‎ ‎1.当时因为是奇函数，所以得证 ‎2.假设当，成立，因为，又因为奇函数所以，所以当时，，所以得证。 ‎