福建省三明市2020届高三毕业班质量检查A卷（5月联考）数学（文）试题 Word版含解析 23页

www.ks5u.com ‎2020年三明市普通高中毕业班质量检查A卷 数学（文科）‎ ‎（试卷总分：150分考试时间：120分钟）‎ 注意事项：‎ ‎1.答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.‎ ‎2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.‎ ‎3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.‎ ‎4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.‎ ‎5.考试结束后，只将答题卡交回.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的）‎ ‎1. 设全集为，集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用列举法表示全集,再根据集合运算法则求解即可.‎ ‎【详解】全集,‎ 又集合,,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的综合运算,属于简单题.‎ - 23 -‎ ‎2. 设复数满足（为虚数单位），则复数为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简,再利用共轭复数的定义求出.‎ ‎【详解】∵,‎ ‎∴,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的模以及共轭复数的定义,属于基础题.‎ ‎3. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（ ）‎ A. 甲的极差是29 B. 甲的中位数是24‎ C. 甲罚球命中率比乙高 D. 乙的众数是21‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对．‎ ‎【详解】由茎叶图知 甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对 甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为故B不对 甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对 乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对 - 23 -‎ 故选B．‎ ‎【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．‎ ‎4. 下列说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ B. 命题“，”的否定是“，”‎ C. “在处有极值”是“”的充要条件 D. 命题“若函数有零点，则“或”的逆否命题为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 选项A，否命题，条件否定，结论也要否定；选项B，命题的否定，只对结论否定；选项C，在处有极值，既要满足，也要满足函数在两边的单调性要相反；选项D，若函数有零点，等价于，原命题与逆否命题同真假．‎ ‎【详解】选项A，命题“若，则”的否命题是“若，则”，错误；选项B，命题“，”的否定是“，”，错误；选项C，不能得到在处有极值，例如在时，导数为0，但不是函数极值点，错误；选项D，若函数有零点，即方程有解，所以，解得或，所以原命题为真命题，又因为原命题与逆否命题同真假，所以逆否命题也是真命题，正确．‎ 或 ‎【点睛】本题主要考查命题真假性的判断，涉及到四个命题、充要条件以及特称命题的否定．‎ ‎5. 函数的图象大致是（ ）‎ - 23 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象．‎ ‎【详解】当x<0时，f（x）0．排除AC，‎ f′（x），令g(x)‎ g′（x），当x∈（0，2），g′（x）＞0，函数g(x)是增函数，‎ 当x∈（2，+∞），g′（x）＜0，函数g(x)是减函数，g(0)=，g(3)=3>0， g(4)=<0，‎ 存在，使得g()=0，‎ 且当x∈（0，），g(x)>0，即f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，‎ 当x∈（，+∞），g(x)<0，即f′（x）＜0，函数f（x）是减函数，‎ ‎∴B不正确，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．‎ ‎6.‎ - 23 -‎ ‎ 我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍灯塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）.根据此诗，可求出塔的正中间一层有（ ）‎ A. 12盏灯 B. 24盏灯 C. 48盏灯 D. 96盏灯 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知每层灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列,且公比为2,然后由等比数列的前7项和为381列式计算即可.‎ ‎【详解】设灯塔每层的灯数满足数列,顶层的灯数为,前项和为,‎ 则为公比为2等比数列,‎ 根据题意有,解得,‎ ‎∴,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的前项和公式,考查了学生的分析理解能力,属于简单题.‎ ‎7. 在中，，，，则在方向上的投影为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. -4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 由可推出,因此在方向上的投影为.‎ ‎【详解】在中,∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,∴.‎ - 23 -‎ 又,,∴,‎ ‎∴在方向上的投影为:,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的应用,考查投影的求法,难度不大.‎ ‎8. 在执行如图所示的程序框图时，若输入的的值分别为6，1，则输出的为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运行程序，当时退出循环，输出.‎ ‎【详解】开始，‎ 则，‎ 当，‎ 当，‎ 当，‎ 当退出循环，‎ 则输出．‎ - 23 -‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，属于基础题.‎ ‎9. 一个球与一个正三棱柱（底面为等边三角形，侧棱与底面垂直）的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的表面积为，那么这个正三棱柱的体积是（ ）‎ A. B. 48 C. D. 54‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由球的表面积公式求出球半径,从而三棱柱的高,再根据俯视图求出棱柱的底面边长,最后利用棱柱体积计算公式求解即可.‎ ‎【详解】由球的表面积公式得,∴,‎ ‎∴正三棱柱的高为,‎ 设正三棱柱的底面边长为,如下图所示:‎ 则其内切圆的半径,解得,‎ ‎∴该正三棱柱的体积,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查棱柱内切球的相关问题,考查学生的空间思维与计算能力,属于中档题.‎ ‎10. 已知、分别是曲线：，：上的两个动点，为直线上的一个动点，则的最小值为（ ）‎ A. B. 3 C. D. 4‎ - 23 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 曲线是以为圆心,2为半径的圆,是以为圆心,1为半径的圆,则的最小值为,的最小值为,求出关于直线的对称点,可知,当且仅当,,三点共线时取得最小值,从而可得到的最小值.‎ ‎【详解】曲线:是以为圆心,2为半径的圆,‎ ‎:是以为圆心,1为半径的圆,‎ 则的最小值为,的最小值为,‎ 如下图所示,作点关于直线的对称点,设其坐标为,‎ ‎ ‎ 可得,解得,即,‎ 连接,分别交直线､圆于点,,连接,交圆于点,‎ 可得,‎ 当且仅当,,三点共线时的最小值为,‎ 则的最小值为,‎ 故选:A.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题综合考查了点与圆,点关于直线对称的应用,需要学生能灵活运用所学知识.‎ ‎11. 已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，得或．当时，，当时，．又在单调递增，∴．∴在上的值域为，在上的值域为，∴，∴，即．故选D.‎ 考点：1、幂函数的定义和性质；2、函数的单调性及值域.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质，函数的单调性及函数的值域的求法，属于难题.求函数值域的常见方法有 ①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式 - 23 -‎ ‎ 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值，本题主要是利用方法④求出两函数值域后再根据题意解答的.‎ ‎12. 已知A、B是抛物线上的两点，直线AB垂直于轴，F为抛物线的焦点，射线BF交抛物线的准线于点C，且，的面积为，则的值为（ ）‎ A. B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义，即抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离．注意到，然后结合三角形的面积来列出方程解出.‎ ‎【详解】过点A做AH垂直于准线，垂足为H，做CG垂直于AB，垂足为G，根据抛物线的定义AH=AF，，因此DE=AH=CG=AF，‎ 由，，得 又，则，，可得，又因，所以EF=2，因为EF正好是焦点到准线的距离，即.故选C.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的性质和利用三角形剖分和切补来计算其面积，是一道有难度的综合题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 曲线在点处的切线方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对求导,再求出,最后利用点斜式写出切线方程,化简即可.‎ ‎【详解】,则,‎ ‎∴,‎ 又,‎ ‎∴所求切线方程为,即,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查求曲线上某点处的切线方程,属于基础题.‎ ‎14. 若，满足约束条件，则的最大值为______.‎ ‎【答案】21‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出满足约束条件的可行域,再根据目标函数的几何意义,结合图象即可得出结论.‎ ‎【详解】作出不等式组对应的平面区域如下图阴影部分所示:‎ ‎ ‎ 由得,‎ 平移直线,由图象知当直线经过点时,最大,‎ 联立,解得,∴,‎ ‎∴目标函数最大值为,‎ 故答案为:21.‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划,考查数形结合思想的应用,能正确理解目标函数的几何意义是解题关键,常见目标函数的几何意义有截距､斜率和距离等.‎ ‎15. 若，且，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵且,∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴cosα+sinα=0或cosα−sinα= (不合题意,舍去)，‎ ‎∴，‎ 故答案为−1.‎ ‎16. 设正项数列的前项和满足，，且，，‎ - 23 -‎ 成等比数列，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得,两式相减后化简可得,即数列从第二项开始是公差为2的等差数列,再由,,成等比数列可列式计算出,然后结合时的情况可得,最后利用裂项相消法计算出答案即可.‎ ‎【详解】由,可得,‎ 以上两式相减可得:,即,‎ 又∵为正项数列,∴,‎ 由等差数列的定义可知数列从第二项开始是公差为2的等差数列,‎ 又,,成等比数列,所以,‎ 即,∴,∴,‎ 当时,,∴,满足通项公式,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查数列通项的求法,考查裂项相消法求和,需要学生能综合运用所学知识,属于中档题.‎ 三、解答题（共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）‎ - 23 -‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17. 的周长为，且．‎ ‎（1）求边的长；‎ ‎（2）若的面积为，求角的度数．‎ ‎【答案】（1）1；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，利用正弦定理可得，结合周长，可解得；（2）根据三角形的面积公式可求出，结合（1）由余弦定理求出，从而可得结果．‎ ‎【详解】（1）因为三角形周长为，所以①，‎ 因为，‎ 所以由正弦定理可得②， ‎ 两式相减，解得．　‎ ‎（2）由的面积 由余弦定理，得 ‎，所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ - 23 -‎ ‎18. 某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图.若立定跳远成绩落在区间的左侧，则认为该学生属“体能不达标的学生，其中分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.‎ ‎（1）若该校高三某男生的跳远距离为，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？‎ ‎（2）该校利用分层抽样的方法从样本区间中共抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，求选出的两人中恰有一人跳远距离在的概率.‎ ‎【答案】（1）该生属于“体能不达标”的学生（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可知，根据频率=纵坐标×组距，分别求出各组频率=各组小矩形面积，便可频率分布直方图的平均数，即可判断；‎ ‎（2）由频数=频率×样本容量，可求出对应的人数，再按分层抽样抽取5人，分别抽出1人，2人，2人，再从5人中抽2人，最后用一一列举出来，用古典概型即可求出答案.‎ ‎【详解】（1）由题意可知：各小矩形面积从左至右依次为0.1，0.2，0.2，0.3，0.15，0.05‎ ‎∵∴该生属于“体能不达标”的学生 - 23 -‎ ‎（2）由题意，跳远距离在的人数分别为12人、24人、24人 按分层抽样抽取5人，则抽1人，抽2人，抽2人 设抽出的人编号为，抽出的人编号为，‎ 抽出人编号为 从中选两人，，共有10种情况 记选出的两人中恰有一人跳远距离在为事件，满足条件的基本事件有6种，分别为 ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用以及古典概型及其概率的计算，其中要会计算频率分布直方图的频率、频数、平均数等，以及分层抽样和利用古典概型及其概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎19. 已知在直三棱柱中，，，侧面为正方形，为的中点.‎ ‎（1）若在平面内存在动点，满足平面，画出动点的轨迹图形（写出画法）‎ ‎（2）在（1）问中画出的动点的轨迹上任取一点，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）作图见解析，详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ ‎(1)过点作平面内线段的平行线,得到一个平行于平面的新平面,该平面与平面的交线即为所求轨迹;‎ ‎(2)由可计算出,再由等体积法可知,最后根据体积公式计算即可.‎ ‎【详解】(1)过点作交于点,再过点作交于点,‎ 则的轨迹为这条线段,如下图所示:‎ ‎(2)∵为的中点,,,四边形是正方形,‎ ‎∴,,‎ 由(1)知,在直线上任取点,‎ 则,‎ ‎∴,‎ 即三棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本题考查空间中平行的应用,考查等体积法求几何体的体积,需要学生具备一定的空间思维与计算能力,难度不大.‎ ‎20. 设椭圆：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，求 - 23 -‎ 面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出双曲线离心率,从而得到椭圆离心率,再根据题意列出对应的等式,求出,即可得椭圆方程;‎ ‎(2)联立直线与椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,得到三角形的面积,最后结合基本不等式或运用二次函数性质得出所求的最大值.‎ ‎【详解】(1)由题知,双曲线的离心率为,则椭圆的离心率,‎ 由,解得,故椭圆的标准方程为;‎ ‎(2)联立方程,得,‎ 由,得,‎ 设,,则,‎ 所以,‎ 又到直线的距离为,所以 - 23 -‎ ‎,‎ 当且仅当“”时取等号,所以.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆联立,运用韦达定理和弦长公式解决面积问题,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.‎ ‎21. 已知函数f （x）=ax﹣ex（a∈R），g（x）=．‎ ‎（Ⅰ）求函数f （x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）∃x0∈（0，+∞），使不等式f （x）≤g（x）﹣ex成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）答案见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）f′（x）=a﹣ex，x∈R．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出；‎ ‎（Ⅱ）由∃x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex，即a≤．设h（x）=，则问题转化为a，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．‎ 解：（Ⅰ）∵f′（x）=a﹣ex，x∈R．‎ 当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减；‎ 当a＞0时，令f′（x）=0得x=lna．‎ 由f′（x）＞0得f（x）的单调递增区间为（﹣∞，lna）；‎ 由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（lna，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）∵∃x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex，则，即a≤．‎ 设h（x）=，则问题转化为a，‎ 由h′（x）=，令h′（x）=0，则x=．‎ 当x在区间（0，+∞） 内变化时，h′（x）、h（x）变化情况如下表：‎ - 23 -‎ 由上表可知，当x=时，函数h（x）有极大值，即最大值为．‎ ‎∴．‎ 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）以曲线上的动点为圆心、为半径的圆恰与直线相切，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由可化极坐标方程为直角坐标方程，由公式消元可化参数方程为普通方程；‎ ‎（2）用参数方程表示点坐标，求出到直线的距离的最大值即可．‎ ‎【详解】解：（1）由，得，‎ 将，代入上式，‎ 得直线的直角坐标方程为.‎ - 23 -‎ 由曲线的参数方程（为参数），‎ 得曲线的普通方程为.‎ ‎（2）设点的坐标为，‎ 则点到直线：的距离为 ‎（其中，为锐角），‎ 当时，圆与直线相切，‎ 故当时，取最大值，且的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，参数方程与普通方程互化，考查椭圆参数方程的应用，属于中档题．‎ ‎23. 已知.‎ ‎(1)求证： ；‎ ‎(2)若，且，求证：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 已知直接对使用均值不等式；‎ ‎(2)不等式分母为，通过降次构造，再使用均值不等式．‎ ‎【详解】证明：(1)；‎ ‎(2)‎ - 23 -‎ ‎，当且仅当或时取“=”.‎ ‎【点睛】“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式．‎ - 23 -‎ - 23 -‎