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- 2021-06-30 发布
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高考数学经典易错题会诊(十四)
考点14
极限
►数学归纳法
►数列的极限
►函数的极限
►函数的连续性
►数学归纳法在数列中的应用
►数列的极限
►函数的极限
►函数的连续性
经典易错题会诊
命题角度 1
数学归纳法
1.(典型例题)已知a>0,数列{an}满足a1=a,an+1=a+,n=1,2,….
(Ⅰ)已知数列{an}极限存在且大于零,求A=(将A用a表示);
(Ⅱ)设bn=an-A,n=1,2…,证明:bn+1=-
(Ⅲ)若|bn|≤, 对n=1,2…都成立,求a的取值范围。
[考场错解] (Ⅰ)由,存在,且A=(A>0),对aa+1=a+两边取极限得,A=a+. 解得A=又A>0, ∴A=
(Ⅱ)由an+bn+A,an+1=a+得bn+1+A=a+.
∴
即对n=1,2…都成立。
(Ⅲ)∵对n=1,2,…|bn|≤,则取n=1时,,得
∴,解得。
[专家把脉] 第Ⅲ问中以特值代替一般,而且不知{bn}数列的增减性,更不能以b1取代bn.
[对症下药] (Ⅰ) (Ⅱ)同上。
25
(Ⅲ)令|b1|≤,得
∴
∴
现证明当时,对n=1,2,…都成立。
(i)当n=1时结论成立(已验证)。
(ii)假设当n=k(k≥1)时结论成立,即,那么
故只须证明,即证A|bk+A|≥2对a≥成立
由于
而当a≥时,而当a≥时,
∴即A|bk+A|≥2.
故当a≥时,
即n=k+1时结论成立。
根据(i)和(ii),可知结论对一切正整数都成立。
故|bn|≤对n=1,2,…都成立的a的取值范围为[]
2.(典型例题)已知数列{an}中,a1=3,前n项和Sn满足条件Sn=6-2an+1.计算a2、a3、a4,然后猜想an的表达式。并证明你的结论。
[考场错解] 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即an+1=an.因为a1=3,所以a2=a1=,a3=a2=,a4=a3=由此猜想an=
① 当n=1时,a1==3,结论成立;
② 假设当n=k(k≥1)时结论成立,即ak=成立,则当n=k+1时,因为ak+1=ak,所以又a1=3,所以{an}是首项为3公比为的等比数列。由此得ak+1=3·()k+1-1=,这表明,当n=k+1时结论也成立。
25
由①、②可知,猜想对任意n∈N*都成立。
[专家把脉] ①应由a1=S1=6-2a2,求得a2=,再由an+1=an(n≥2)求得a3=,a4=,进而由此猜想an=(n∈E*).
②用数学归纳法证明猜想时,没有利用归纳假设,而是根据等比列的通项公式求得ak+1=.这种证明不属于数学归纳法。
[对症下药] 由a1=S1=6-2a2,a1=3,得a2=当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即an+1=an.将a2=代入得a3=a2=,a4=a3=,由此猜想an=下面用数学归纳法证明猜想成立。
①当n=1时,a1=,猜想成立;
②假设当n=k(k≥1)时结论成立,即ak=成立,则当n=k+1时,因为ak+1=ak,所以ak+1=·=这表明,当n=k+1时结论也成立。
由①,②可知,猜想对n∈N*都成立。
3.(典型例题)已知不等式++…+>[log2n],其中n为大于2的整数,[log2n]表示不超过log2n的最大整数。设数列{an}的各项为正,且满足a1=b(b>0),an≤,n=2,3,4,….
(Ⅰ)证明:an≤,n=2,3,4,5,…;
(Ⅱ)猜测数列{an}是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明);
(Ⅲ)试确定一个正整数N,使得当n>N时,对任意b>0,都有an<.
[考场错解] (1)利用数学归纳法证明不等式:
1)当a=3时,知不等式成立。
2)假设n=k(k≤3)时,ak≤则即n=k+1时,不等式成立。
25
(Ⅱ)有极限,且
(Ⅲ)
解得n>10=1024.取N=1024,有an<.
[专家把脉] (1)在运用数学归纳证明时,第n-k+1步时,一定要运用归纳假设进行不等式放缩与转化,不能去拼凑。
[对症下药] (Ⅰ)证法1:∵当n≥2时,010,n>210=1024,故取N=1024,可使当n>N时 ,都有an<
专家会诊
1.一般与自然数相关的命题,或有关代数恒等式的证明,三角恒等式、三角不等式、整除性、与数列有关的问题和有关几何问题都可用数学归纳法。
2.运用数学归纳法证明时,第二步是关键、必须用到归纳假设,否则就不是数学归纳法的证明。
考场思维训练
1 用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3· 5…(2n-1)(n∈N+)”时,从n=k到n=k+1,给等式的左边需要增乘的代数式是 ( )
答案: C 解析:略
2 曲线C:xy=1(x>0)与直线l:y=x相交于A1,作A1B1⊥l交x轴于B1,作B1A2∥l交曲线C于A2…依此类推。
(1)求点A1、A2、A3和B1、B2、B3的坐标;
答案: A1(1,1)、A2(+1, -1)、A3(+,-)、B1(2,0)、B2(2,0)、B3(2,0)
(2)猜想An的坐标,并加以证明;
答案: An(,证明略.
(3)
答案:设An(
由题图:A1(1,1),B1(2,0) ∵a1=1,b1=2且
∴,分子分母乘以()
25
及
3 设数列a1,a2,…,an,…的前n项的和Sn和an的关系是Sn=1-ban-其中b是与n无关的常数,且b≠-1。
(1)求an和an-1的关系式;
答案: an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)-
解得an=
(2)猜想an的表达式(用n和b表示);
答案:∵a=S1=1-ba1-
由此猜想an=
把a1=代入上式得
an=
(3)当00,b>0).
(Ⅰ)当a=b时,求数列{un}的前项n项和Sn。
(Ⅱ)求。
[考场错解] (Ⅰ)当a+b时,rn=(n+1)an.∴Sn=2a+3a2+4a3+…+nan-1+(n+1)an.则aSn=2a2+3a3+4a4+…+nan+(n+1)an+1.两式相减:
Sn=
(Ⅱ) ===a.
[专家把脉] (Ⅰ)问运用错位相减时忽视a=1的情况。
(Ⅱ)a=b是(Ⅰ)的条件,当a≠b时,极限显然不一定是a.
[对症下药] (Ⅰ)当a=b时,un=(n+1)an.这时数列{un}的前n项和
Sn=2a+3a2+4a3+…+nan-1+(n+1)an.①
①式两边同乘以a,得aSn=2a2+3a3+4a4+…+nan+(n+1)an+1 ②
①式减去②式,得(1-a)Sn=2a+a2+a3+…+an-(n+1)an+1
25
若a≠1,(1-a)Sn=-(n+1)an+1+a
Sn=
若a=1,Sn=2+3+…+n+(n+1)=
(Ⅱ)由(Ⅰ),当a=b时,un=(n+1)an,则===a.
当a≠b时,un=an+an-1b+…+abn-1+bn=an[1+]
=
或a>b>0, ==
若b>a>0, =
专家会诊
1.充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限①C=C.(C为常数). ②=0.③qn=0,|q|<1.
2.对于型的数列极限,分子分母同除以最大数的最高次项,然后分别求极限。
3.运算法则中各个极限都应存在,都可推广到任意有限个极限的情况,不能推广到无限个。
考场思维训练
1 若q为二项式()8的展开式的常数项,则=___________.
答案:1/7 解析:可求得q=7,
2 已知点A(0,)、B(0,-)、C(4+,0)其中n为正整数,设Sn
25
为三角形ABC外接圆的面积,则Sn=_________.
答案:4π 解析;设外接圆的半径为Rn,则()2+(4+-Rn)2=Rn2, ∴Rn=
3 已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数,数到{yn}满足yn=2logaxn(a>0,a≠1),设y4=17,y7=11.
(1)求数列{yn}的前多少项最大,最大为多少?
答案:由已知得,数列为关数列,y4=17,y7=11,
∴公差d=的前12项最大,最大为144.
(2)设bn=2yn,sn=b1+b2+…+bn,求的值。
答案: ∵bn=2yn,Sn=b1+b2+…bn, ∴{bn}为等比数列.
且公比为q=,∴Sn=
∴
4 设an=1+q+q2+…+qn-1(n∈N+,q≠±),An=C1na1+C2na+…+Cnnan
(1)用q和n表示An;
答案:∵q≠1, ∴an=
(2)当-3
1时,f(x)==. (4)当x=1时f(x)==-1。 ∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)。 而在定域内,x=1时。 f(x)=0. f(x)=-1. ∴f(x)不存在。 故f(x)在x=1处不连续。∴f(x)在定义域内不连续。 专家会诊 1.在判断函数的连续性时,充分运用它的重要条件,即f(x)=f(x0).前提是f(x)在x0处的极限要存在。 2.在求函数的不连续点时,或不连续区间。首先是定义之外的点或区域一定不连续。往往只须考虑定义域内的不连续部分。 考场思维训练 1 f(x)在x=1处连续,且=2,则f(1)等于 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案: B.解析:略 2 =____________. 答案: 解析:利用函数的连续性,即 ∴ 3 设f(x)= A.(0,2) B.(0,1) C.(0,1)∪(1,2) D.(1,2) 25 答案: C.解析: 即f(x)D x=1点不连续,显知f(x)在(0,1)和(1,2)连续。 4 求函数f(x)=的不连续点和连续区间 答案:解:不连续点是x=1,连续区间是(-∞,1)∪(1 +∞). 探究开放题预测 预测角度 1 数学归纳法在数列中的应用 1.已知数列{an}满足条件(n-1)an+1=(n+1)(an-1)且a2=6,设bn=an+n(n∈N*), (1)求{bn}的通项公式; (2)求()的值。 [解题思路] (1)运用归纳—猜想—证明。(2)裂项法先求数列的和,再求和的极限。 [解答] 1.(1)当n=1时,代入已知式子中,得a1=1,当n=2时,得a3=6,同理可得a4=28,再代入bn=an+n,得b1=2,b2=8,b3=18, ∴猜想bn=2n2,用数学归纳法证明:1°当n=1时,b1=a1+1=2.显然成立。n=2时,.结论成立。2°假设n=k(k≥2)时命题成立,即bk=2k2,即ak+k=2k2,ak=2k2-k,则n=k+1时,bk+1=ak+1+k+1=+k+1=(2k2-k-1)+k+1=(k+1)(2k+1)+(k+1)=(k+1)(2k+2)=2(k+1)2 ∴当n=k+1时,结论成立。 由1°、2°可知bn=2n2. (2)原式=() . 2.设函数f(x)对所有的有理数m、n都有|f(m+n)-f(m)| ≤证明:对所有正整数k有|f(2k)-f(2i)| ≤ [解题思路] 运用数学归纳法证明。 25 [解答] 1°当k=1时,左=0=右,命题成立。2°假设k=n时,不等式成立,即|f(2k)-f(2i)| ≤则k=n+1时,|f(2k+1)-f(2i)|= |f(2k+1)-f(2i)+f(2n)-f(2i)| ≤|f(2k+1)-f(2i)|+= |f(2k+2n)-f(2i)|+ =n+=. 故当k=n+1时,命题也成立。 由1°,2°可知原不等式成立。 预测角度 2 数列的极限 1.已知(x)6的展开式的第五项等于,则(x-1+x-2+…+x-n)等于 A.0 B.1 C.2 D.-1 [ 解题思路] 利用二项式的通项公式求出x的值,再求数列和的极限。 [解答] B T5=C46(x-1)4()2=15x-1= ∴x-1=,∴lim(x-1+x-2+…+x-n)=lim()=. ∴选 B 2.设xn=,求数列{xn}的极限。 [解题思路] 由于的极限都不存在,所以应先将xn变形,使之变成极限可求的数列。 [解答] 因为xn==用除分子和分母,得xn=,而1< 由1+得知再应用除法运算,即求得xn=. *3.已知a、b是不相等的正数,若=2,则b的取值范围是 ( ) 25 A.02 [解题思路] B 讨论a与b的大小后,分子、分母同除以,后再求由极限值求范围。 [解答] 当a>b时, ∴00连续,只须判断,当x=0时,函数也连续时,从而求a的值。 25 ∵f(x)在x=0处有定义,且f(x)= f(x)=a. ∴只有当a=时。f(x)才存在,且值为。 又∵f(0)=a ∴当a=时。f(x)是连续函数。 专家会诊 1.深刻理解函数f(x)在x0处连续的概念,即函数f(x)在x0处有定义。f(x)在x0处有极限。f(x)=f(x0).函数f(x)在x0处连续反映在图像上是f(x)在x0处是不间断的。 2.由连续的定义,可以得到计算极限的一种方法:如果f(x)在定义区间内是连续的,则 f(x)=f(x0),只要求出函数值f(x0)即可。 考点高分解题综合训练 1 已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n),则最大的m的值为 ( ) A.30 B.26 C.36 D.6 答案: C.解析:∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1)、f(2)、f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整流器除。 证明:n=1、2时,由上得证,设n=k(kl≥2)时,f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,则n=k+1时,f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k =(6k+27)·3k-(2k+7)·3k=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2(k≥2)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的数整除,∴,所求最大的m的值等于36. 2 记二项式(1+2x)n展开式的各系数和为an,其二项系数为b,则等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D. 不存在 答案: B 解析:an=3n,bn=2n, ∴ 3 的展开式中的第五项是,则Sn等于 ( ) A.1 B. C. D. 答案: A 解析:略 4 已知a、b∈R,|a|>|b|,又,则a的取值范围是 ( ) 25 A.a>1 B.1-1 D.-11 答案: B 解析:略 5 若f(x)=在点x=0处连续,则f(0)等于 ( ) A. B. C.1 D.0 答案: A 解析:略f(x) 6 观察下列式子: …则可归纳出_________. 答案::1+ 归纳为1+ 7 =____________. 答案:0 解析:略 8 an是(3-)n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)则()=________。 答案:18 解析:略 9 (+an+b)=3则a+b=__________. 答案:3 解析:略 10 已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145 (1)求数列{an}的通项公式bn; 答案:解:设数列为{bn}的公差为d由题意知 25 (2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a>0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论。 答案:证明:由bn=3n-2知 Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+) =loga[(1+1)(1+)…(1+)] 而 取n=1,有(1+1)= 取n=2,有(1+1)(1+)> 推测:(1+1)(1+)…()1+ ①当n=1时,已验证(*)式成立. ②假设n=k(k≥1时(*)式成立,即(1+1)(1+)…(1+) 则当n=k+1时,(1+1)(1+)…(1+ = 25 ∵ 即当n=k+1时,(*)式成立由①②知,(*)式任意正整数n都成立. 于是,当a>1时,Sn>logabn+1,当00且a≠1),若数列:2,f(a1),f(2),…,f(an),2n+4(n∈N*)成等差数列。 (1)求数列{an}的通项an; 答案:2n+4=2+(n+2-1)d, ∴d=2, ∴f(an)=2+(n+1-1)·2=2n+2, ∴an=a2n+2 (2)若0f-1(t),求实数t的取值范围。 答案: bn=an·f(an)=(2n+2)a2n+2 =(2n+2)·22n+2 =(n+1)·22n+3· ∴{bn}为递增数列 ∴bn中最小的项为b1=2·25=26 f-1(t)2t, ∴26>2t, ∴t<6 12 设实数q满足|q|<1,数列{an}满足:a1=2,a2≠0,an·an+1=-qn,求an表达式,又如果S2n<3,求q的取值范围。 答案:解:∵a1·a2=-q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=-, ∵anan+1=-qn,an+1·an+2=q·an 于是,a1=2,a3=2·q,a =2·qn…猜想: 25 a2n+1=- 综合①②,猜想通项公式为 下证:(1)当n=1,2时猜想成立 (2)设n=2k-1时,a2k-1=2·qk-1则n=2k+1时,由于a2k+1=q·a2k-1 ∴a2k+1=2·qk即n=2k-1成立. 可推知n=2k+1也成立. 设n=2k时,a2k=-qk,则n=2k+2时,由于a2k+2=q·a2k,所以,a2k+2=-qk+1,这说明n=2k成立,可推知n=2k+2也成立. 综合所述,对一切自然数n,猜想都成立. 这样所求通项公式为 S2n=(a1+a3…a2n-1)+(a2+a4+…+a2n) =2(1+q+q2+…+qn-1)-(q+q2+…+qn) = 由于|q|<1, ∴ 依题意知,并注意1-q>0,|q|<1解得-12. 又n≥2时, 25 an-an+1=an- ∴a1,…an>an+1>…>2,即{an}是行列增后减数列,(an)max=a2= (2)已知圆锥曲线Cn的方程为:设Cn=C,求曲线C的方程并求曲线C的面积。 答案:由上可知,所以圆锥曲线Cn为椭圆. 由于{an} 存在极限,所以可设 又由an>0得A>0,从而A= 由此可得曲线C的方程即是n→∞时曲线Cn的方程为: 25
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